1、函数专题突破8二次函数与三角形二次函数综合提升卷【类型一】二次函数之面积最值求与函数图像相关的三角形的面积：（1）结合方程组用待定系数法求函数的解析式；（2）根据坐标求出三角形面积；公式法：三角形一边与坐标轴平行或重合时可以直接根据三角形面积公式求解；割补法：公式法无法使用是，把三角形补成矩形或梯形或直角三角形，然后根据矩形或梯形或直角三角形的面积公式解决；等积转化法；铅锤法；利用 S=铅垂高 水平宽 2, 可以避免求一些比较复杂的点的坐标；特殊情况下可以利用反比例函数的几何意义进行解答。*遇到动点最值问题时，需要利用未知数将实际问题中的情形代数化，利用二次函数性质解答1.如图，某厂有许多形状
2、为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）铁皮备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长 x ，y 应分别为（ ）A. x =10， y =14 B. x =14， y =10 C. x =12 ， y =15 D. x =15 ， y =12（第 1题） （第 2题）2.如图，在平面直角坐标系中，己知点 O（0，0）， A（5，0）， B（4，4）（1）求过 O、B、A 三点的抛物线的解析式（2）在第一象限的抛物线上存在点 M，使以 O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点 M的坐标（3）作直线 x=m交抛物线于点 P，交线段 OB于点 Q，当
3、 PQB为等腰三角形时，求 m的值3.如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（ m， m），点 B 的坐标为（ n，n），抛物线经过 A、 O、 B 三点，连接 OA、OB、 AB，线段 AB交 y 轴于点 C已知实数 m、n（mn）分2别是方程 x 2x3=0 的两根（2）若点 P 为线段 OB上的一个动点（不与点 O、B 重合），直线 PC与抛物线交于 D、E 两点（点 D 在 y 轴右侧），连接 OD、BD当 OPC为等腰三角形时，求点 P 的坐标；求 BOD面积的最大值，并写出此时点 D 的坐标【类型二】二次函数与全等三角形在实际考试中会出现全等三角形点的存在性问题，解题的关键在于
4、全等三角形对应边相等或对应角相等，利用某一个特殊角度角展开分类讨论，将所有的情形都讨论到位 .4.如图 , 在第一象限内作射线 OC,与 x 轴的夹角为 30 , 在射线 OC上取一点 A, 过点 A作 AHx轴于点 H.在抛物线 y x2 ( x 0) 上取点 P, 在 y 轴上取点 Q,使得以 P,O,Q 为顶点的三角形与 AOH全等 , 则符合条件的点 A 的坐标是 _5. 如图 , 抛物线 y ax2 bx c 的顶点为 D, 与 y 轴交于点 C,直线 CD的解析式为 y 3x 2 3 .(1)求 b、c 的值 ;(2)过 C作 CE/ x 轴交抛物线于点 E, 直线 DE交 x 轴
5、于点 F, 且 F ( 4,0) , 求抛物线的解析式 ;(3)在(2) 条件下 , 抛物线上是否存在点 M,使得 CDM CEA若存在 , 求出点 M的坐标 ; 若不存在 , 请说明理由 .6. 如图 , 抛物线 y ax2 c( a 0) 与 y 轴交于点 A, 与 x 轴交于 B,C 两点 ( 点 C在 x 轴正半轴上 ),ABC为等腰直角三角形 , 且面积为 4, 现将抛物线沿 BA方向平移 , 平移后的抛物线过点 C时, 与 x 轴的另一点为 E, 其顶点为 F, 对称轴与 x 轴的交点为 H.(1)求 a、 c 的值 .(2)连接 OF,试判断 OEF是否为等腰三角形 , 并说明理
6、由 .(3)现将一足够大的三角板的直角顶点 Q放在射线 AF或射线 HF上 , 一直角顶点始终过点 E,另一直角边与 y 轴相交于点 P, 是否存在这样的点 Q,使以点 P、Q、E 为顶点的三角形与 P OE全等 ?若存在 , 求出点 Q的坐标 ; 若不存在 , 请说明理由 .【类型三】二次函数与等腰三角形（1）数形结合，注意使用等腰三角形的性质与判定（2）函数问题离不开方程，注意方程与方程组的使用（3）找动点使之与已知两点构成等腰三角形的方法：利用“两圆一线法”；万能法：分别表示 A、 B、 P 的坐标，在表示出线段 AB、 BP、 AP 的长度，再进行分类： AB=AP；AB=BP; BP
7、=AP,列出方程进行求解 .7. 如图，抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于点 A 和点 B(3，0) ，与 y 轴交于点 C( 0，3) 。（1）求抛物线的解析式。（2）若点 M是抛物线在 x轴下方上的动点，过点 M作 MN/ y 轴交直线 BC于点 N，求线段 MN的最大值。（3）在（ 2）的条件下，当 MN取最大值时，在抛物线的对称轴 l 上是否存在点 P，使 PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。8.如图（ 1），矩形 ABCD的一边 BC在直角坐标系中 x轴上，折叠边 AD，使点 D落在 x 轴上点F 处，折痕为 AE，已知 AB 8
8、， AD 10 ，并设点 B 坐标为 (m,0) ，其中 m 0 。（1）求点 E、F 的坐标（用含 m 的式子表示）。（2）连接 OA，若 OAF是等腰三角形，求 m 的值。（3）如图（2），设抛物线 y a( x m 6) 2 h 经过 A、E 两点，其顶点为 M，连接 AM，若 OAM90，求a 、 h 、 m 的值。【类型四】二次函数与直角三角形（1）直角三角形一般涉及勾股定理， 注意勾股定理的正定理与逆定理； 同时注意直角三角形内的特殊角度；（2）直角三角形与函数属于代数与几何的结合，把几何问题数字化， 这类问题注意平面直角坐标系的作用；（3）找动点使之与已知两点构成直角三角形的方法
9、：利用“两线一圆”法；万能法： 分别表示出 A、B、P 的坐标，再分别表示出线段AB、AP、BP的长度， 由 AB 2BP 2AP2 ; BP2AB 2AP2 ; AP2AB 2BP 2 列方程求解。9. 如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，ACB 90 ，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线 y x2bxc 经过 A， B 两点，抛物线的顶点为 D。（1）求 b ， c 的值。（2）点 E 是直角三角形 ABC斜边 AB 上一动点（点 A、B 除外），过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F，当线段 EF的长度最大时，求点 E 的坐标。（3）在（ 2）的条件下：求以点 E、B、
10、 F、 D 为顶点的四边形的面积。在抛物线上是否存在一点 P，使 EFP是以 EF为直角边的直角三角形？若存在， 求出所有点 P 的坐标；若不存在，说明理由。10. 如图，抛物线 y x2 2mx（ m 0 ）与 x 轴的另一个交点为 A，过 P(1, m) 作 PM x 轴于点 M，交抛物线于点 B, 点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 C。（1）若 m =2，求点 A 和点 C 的坐标。（2）令 m 1，连接 CA，若 ACP为直角三角形，求 m 的值。（3）在坐标轴上是否存在点 E，使得 PEC是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由。【综合
11、练习】以下 8 题中，二次函数解析式均为 : y x22x 31. 在抛物线上找一点5P，使 S ABPS ABC .3ABC2.在线段 BC上有一动点 P，设 P 的横坐标为 x ，过点 P 作 x 轴垂线交抛物线于点 E，设 PE的长为 h.求 h 关于 x 的函数关系式，并求 h 的最大值；设 S BEC 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式和 y 的最大值。ABC3.在抛物线上找一点 P，使得 CBP是以 BC为一条直角边的直角三角形。ABC4.在抛物线对称轴上找一点 P，使得 PAC为等腰三角形。ABC5.在抛物线对称轴上找点 Q和点 N，分别使得 AQ+CQ值最小、 NBNC值最大。ABC6.点 D 在抛物线上，点 E 在 x 轴上，求点 D、E 坐标，若以点 B、C、D、E 四点为顶点的四边形为平行四边形。A BC7.（拓展）求 ABC的外接圆的半径。A BC
