1、高中数学沪教版知识点归纳高中数学知识点归纳高一( 上) 数学知识点归纳第一章 集合与命题1.主要内容：集合的基本概念、空集、子集和真子集、集合的相等；集合的交、并、补运算。四种命题形式、等价命题；充分条件与必要条件。2.基本要求： 理解集合、空集的意义， 会用列举法和描述法表示集合； 理解子集、真子集、集合相等等概念， 能判断两个集合之间的包含关系或相等关系； 理解交集、并集，掌握集合的交并运算，知道有关的基本运算性质，理解全集的意 义，能求出已知集合的补集。 理解四种命题的形式及其相互关系， 能写出一个简单命题的逆命题、 否命题与逆否命题； 理解充分条件、 必要条件与充要条件的意义，能在简单
2、问题的情景中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。3.重难点：重点是集合的概念及其运算，充分条件、必要条件、充要条件。难点是对集合有关的理解，命题的证明，充分条件、必要条件、充要条件的判别。4.集合之间的关系： (1) 子集：如果 A 中任何一个元素都属于 B，那么 A是 B的子集，记作 .(2) 相等的集合 : 如果 , 且 ，那么.(3). 真子集：且 B 中至少有一个元素不属于 A，记作 .5.集合的运算： (1) 交集： AB x xA且xB.(2) 并集: AB x xA或xB. （3）补集：CU A x xU且xA.6.充分条件、必要条件、充要条件如果 P Q , 那么 P是 Q的
3、充分条件， Q是 P 的必要条件。如果 P Q , 那么 P 是 Q的充要条件。也就是说，命题 P 与命题 Q是等价命题。有关概念 ：1. 我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做 集合。2.数集有：自然数集 N，整数集 Z，有理数集 Q, 实数集 R。3.集合的表示方法有 列举法、描述法和图示法 。4.用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的 图示法 ，所用图叫做文氏图。5.真子集，交集，并集，全集，补集。6.命题，逆命题，否命题，逆否命题，等价命题。7 充分条件与必要条件。注意：1. 集合中的元素是确定的，各不相同的。2 集合与元素的属于关系与几何之间的包含关系，两者不能混淆。3.证
4、明 A 是 B 的充要条件：（ 1）充分性的证明： .(2) 必要性的证明：.4.原命题与它的逆否命题同真（假） ，因此它们是等价命题，逆命题与否命题互为逆否命题。第二章 不等式1.主要内容：不等式基本性质、不等式性质；一元二次不等式（组）的解法、分时不等式的解法、绝对值不等式的解法、无理不等式的解法、某些高次不等式的解法、基本不等式、不等式的证明。2.基本要求：掌握不等式的基本性质及常用的不等式的性质，掌握一元二次不等式的解法，掌握简单的分式不等式及绝对值不等式的解法，会解简单的无理不等式和高次不等式，掌握比较法、综合法、分析法证明不等式的基本思路，并会用这些方法证明简单的不等式。3.重难点
5、：重点是不等式的基本性质和一元二次不等式的解法，基本不等式及其证明。难点是分式不等式与绝对值不等式的解法，解不等式的应用，比较法、综合法、分析法证明简单的不等式。不等式的基本性质 :1. 如果 ab,bc;那么 a c.2. 如果 ab, 那么 a cb c.3.如果 ab, c0,那么 acbc : 如果 ab,c0, 那么 acbc.4.如果 ab, cd, 那么 a cb d .5.如果 ab 0,c d0, 那么 acbd .6.如果 a b0 ，那么 0 1 1 .a b7.如果 a b0 ，那么 a nb n (nN ) .8.如果 a b0 , 那么 na n b(nN , n1
6、).一元二次不等式的解法： 这个知识点很重要，可根据 与 0 的关系来求解，注意解的区间的表示， 不等式组也是一样。 解分式不等式的方法就是将它转化为解整式不等式。两个基本不等式： 1. 对于任意实数a和b, 有a 2 b 22ab, 当且仅当 ab 时等号a 2 b 2成立。 2. 对任意正数a和b, 有 ab2，当且仅当 ab 时等号成立。我们把a 2 b 2和2ab 分别叫做正数a、b的算术平均数和几何平均数。第三章 函数的基本性质1.主要内容：函数、函数的运算；函数的奇偶性、单调性、周期性、函数的最大值或最小值。2.基本要求： 理解函数的概念， 能使用函数的记号 yf ( x) 表示y
7、是x的函数 ，会求函数值 f (a) ，会求简单函数的定义域和值域。理解函数运算意义，会求两个函数的和与积。掌握函数奇偶性、单调性、周期性概念，会求一些简单函数的最大值和最小值。3.重难点：重点是函数关系的建立，函数奇偶性、单调性、周期性等的判定，以及由函数图像研究其性质和由函数性质研究其图像的一般方法。 难点是求函数的值域、最大值和最小值。注意：函数的运算中一定要考虑函数自变量的定义域， 定义域会随着函数的运算改变而改变。函数讲到奇偶性时其定义域一定要关于原点对称。偶函数的性质：f ( x) =f ( x) .奇函数的性质：f (x)f ( x) .单调性和最值性。零点的概念，实际上，函数
8、yf ( x) 的零点就是方程f ( x) =0 的解，也就是函数 y f ( x) 的图像与 x 轴的交点的横坐标 .第四章 幂函数、指数函数和对数函数 ( 上)1.主要内容：幂函数的概念及其在(0,) 内的单调性。指数函数及其性质，2.基本要求： 掌握幂函数的定义域及其性质， 特别是在(0,) 内的单调性会画幂函数的图像，掌握指数函数的图像及其性质。3.重难点： 重点是幂函数性质的探求， 指数函数的图像和性质； 难点是幂函数性质的运用指数函数的单调性。注意：1. 幂函数的定义：一般地，函数 yx k (k为常数， kQ) 叫做幂函数。2. 指数函数的定义：一般地，函数 ya x (a0且a
9、1)叫做指数函数。其中 x 是自变量，函数的定义域是 R. 幂函数与指数函数的形式一定要区分开。指数函数的性质： 1. 指数函数 y2.指数函数 ya 的函数值恒大于零 . 性质xa x 的图像经过点（ 0，1）.3.函数 ya x （ a 1）在 (, ) 内是增函数；函数 ya x (0 a 1) 在 (, ) 内是减函数 .高一( 下) 数学知识点归纳第四章 幂函数、指数函数和对数函数 ( 下)1.主要内容：幂函数的概念及其在 (0, ) 内的单调性。对数；反函数；指数函数、对数函数及其性质；简单的指数方程和对数方程。2.基本要求： 掌握幂函数的定义域及其性质， 特别是在 (0, ) 内
10、的单调性。 会画幂函数的图像，熟练地将指数式与对数式互化。对数积、商、幂的运算性质， 掌握换底公式并会灵活运用， 掌握函数与它的反函数在定义域、 值域以及图像上的关系。指数函数与对数函数互为反函数的结论， 会解简单的指数方程和对数方程。3.重难点：幂函数性质的探求及其运用。 对数的意义与运算性质， 反函数的概念， 指数函数与对数函数的图像和性质（单调性） 。说明：幂函数y x (Q, 是常数) 的定 义域 D 由常 数 确定，但 总有（ 0，+ ） D.D不外乎是（ 0，+ ）,0,+ ),(- ,0) (0,+ ),(- ,+ ) 四种。当D ( , 0) (0, 或) D=(- ,+ )时
11、 ，幂函数 y x 是奇函数或偶函数，因此研究 幂 函 数 的 性 质 ， 主 要 是 研 究 幂 函 数 在 (0, ) 上 的 性 质 。 当0时， y x在（ 0，+）是增函数；当 0时， y x在（ 0，+）上是减函数，幂函数的图像都经过 (1,1) 。指数函数y ax ( a0, 且a1)有些同学常会与幂函数y x (Q, 是常数 )混淆。换底公式log b Nlog a N.(其中 a0, a1,b0, b1, N 0)log a b函数y f ( x) 的定义域是它的反函数y f 1 ( x)的值域；函数y f ( x)的值域就是它的反函数y f 1 (x)的定义域。互为反函数的
12、两个函数的图像关于直线y x对称。对数函数 ylog ax( a0, 且a1) 与指数函数y ax (a0,且a1) 互为反函数。在解对数方程时必须对求得的解进行检验， 因为在利用对数的性质将对数方程变形的过程中，如果未知数的允许值范围扩大，那么可能会产生增根。第五章 三角比第 1 节 任意角的三角比1.主要内容：正角、负角、零角、象限角、终边在坐标轴上的角，与某个角有重 合终边（包括这个角本身）的角的集合，弧度制，角度与弧度的互化，圆的弧 长公式，扇形的面积公式。任意角的六个三角比（正弦、余弦、正切、余切、 正割、余割） 的定义及它们在各象限的符号。 终边相同的两个角的同名三角比的关系，单位
13、圆。2.重难点：任意角的三角比的定义， 由角的范围求三角比的取值范围和由三角比的取值范围求角的范围。第 2 节 三角恒等式1.主要内容：同角三角比的关系（倒数关系、商数关系和平方关系） 、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦和正切，两倍角的正弦、余弦和正切，半角的正弦、余弦和正切。【理】三角比的积化和差与和差化积。2.重难点： 三角恒等变形， 如何灵活运用三角公式进行三角恒等变形， 三角公式的变式训练。第 3 节 解斜三角形1.主要内容： 已知三角形的两边及夹角， 求三角形的面积。 正弦定理、余弦定理、扩充的正弦定理。解斜三角形。2.重难点：正弦定理和余弦定理与其他数学知识的综合运用。第六章 三角
14、函数第 1 节 三角函数的图像与性质1.主要内容：正弦函数、余弦函数的定义域、值域、最大值和最小值、周期性、奇偶性、单调性。正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。正弦函数、余弦函数和正切函数的图像。2.重难点：掌握正弦函数的概念性质和图像并领悟有关方法。 在此基础上类似地研究并掌握余弦函数和正切函数。 研究三角函数式的性质， 设法把已知函数表达式转化为形如y Asin( x)( A0, 0) 的表达式。第 2 节 反三角函数与最简三角方程1.主要内容：反正弦函数、反余弦函数、反正切函数。最简三角方程，简单的三角方程。2.重难点： 掌握反正弦函数的概念并领悟其研究方法， 在此基础上，
15、研究并掌握反余弦函数和反正切函数。 含字母系数的简单三角方程的实数解的讨论。 三角函数的图像分析方法。高二( 上) 数学知识点归纳第七章 数列与数学归纳法1.主要内容：第 1 节数列：数列的概念，等差数列与等比数列的定义，等差中项与等比数列，等差数列与等比数列的通项公式。第 2 节数学归纳法：数学归纳法的原理，数学归纳法的一般步骤， 数学归纳法的应用。第 3 节数列的极限：数列极限的概念，数列极限的运算法则，常用的数列极限公式，无穷等比数列各项的和。2.基本要求：第 1 节数列：理解数列的概念，掌握等差数列与等比数列的定义， 会求等差中项与等比数列， 理解数列通项公式的含义， 掌握等差数列与等
16、比数列的通项公式。第 2 节数学归纳法： 会用数学归纳法解决整除问题及证明某些与正整数有关的等式，领会“归纳猜想论证”的思想方法。第 3 节数列的极限： 掌握数列极限的运算法则， 常用的数列极限公式， 掌握无穷等比数列前 n 项和的极限公式。3.重难点： 第 1 节数列： 等差数列与等比数列的通项公式， 数列的概念及由计算数列的前若干项，通过归纳得出数列的通项公式。第 2 节数学归纳法： 用数学归纳法证明命题的步骤， 数学归纳法的应用及通过归纳猜想命题的一般结论。第 3 节数列的极限：无穷等比数列各项和公式的应用。公式： (1) 等差数列 an的通项公式： ana1 (n1)d .(2)等差数
17、列 an 的前 n 项和公式： Snn( a12an )na1n(n21)d .(3)等比数列 an 的通项公式： ana q n 1 .(4)1等比数列 an 的前 n 项和公式： Snna1 (q 1)Sa1 (1nq n )或Sna1 an q ( q 1)1 q 1 q(5)当 q1时，lim qn0 , lim 1n0 ( n )(6)无穷等比数列各项的和： Sa1 ( q1 q1) .第八章 平面向量的坐标表示1.主要内容：平面向量及其运算，平面向量的坐标表示及其运算，基向量、平面 向量分解定理， 平面向量的数量积及其坐标表示， 平面向量的夹角， 平面向量的平行和垂直。2.基本要求
18、：理解平面向量的有关概念：向量的方向，向量的模，单位向量，位 置向量，负向量，向量的相等，向量的平行，向量的垂直，向量的夹角，向量 的加减法，向量的数乘，向量的数量积，一个向量在另一个向量上的投影等。 掌握向量加减法的平行四边形法则和三角形法则，掌握向量的坐标表示方法， 线段的定比分点公式和中点公式。 会判别两个向量的平行关系和垂直关系， 会运用两个非零向量平行或垂直的充要条件解决一些简单的问题。 理解基向量和平面向量分解定理。3.重难点：重点是向量的数量积，向量的平行关系和垂直关系，向量的夹角。难点是向量的夹角的概念和向量的数量积。注意：(1) 有向线段的定比分点的坐标公式：xx11yy11
19、x2y（ 1 ）2(2)向量 a与向量 b 的夹角 的取值范围是 0 .(3)向量 a与向量b 的数量积： a ba b cos(4)向量 a与向量 b 垂直的充要条件是： a b 0(5)向量 a( x, y)的模的计算公式： ax 2 y 2 .第九章 矩阵和行列式初步1.主要内容：矩阵及矩阵有关运算，二阶行列式、三阶行列式，二元、三元线性方程组的矩阵表示，二元、三元线性方程组的解的讨论。2.基本要求：理解矩阵的意义，会进行矩阵的数乘、加法、乘法运算。掌握行列 式的意义，理解二元、三元线性方程组的矩阵表示形式，掌握二阶、三阶行列 式的对角线展开法则， 掌握三阶行列式按照某一行 （列） 的代
20、数余子式展开的方法，会运用行列式解二元、三元线性方程组，并会对含字母系数的二元、三 元线性方程组的解的情况进行讨论， 会根据二元线性方程组的解的情况判断直角坐标系平面内两条直线的位置关系。3.重难点： 重点是运用行列式研究二元、 三元线性方程组， 难点是对含字母系数的二元、三元线性方程组的解的情况进行讨论。注意：(1) 经过往年高考试题分析代数余子式这个知识点常考，一般是出在填空题； (2) 二元一次方程组a1 x a2 xb1 y b2 yc1（ ）的解的判别：（i ）D0, 方程组c2（ ）有唯一解 . （） 0： Dx、D y 中至少有一个不为零，方程组（ ）无解； Dx D y 0 ，
21、方程组（ ）有无穷多解。第十章 算法初步1.算法的表述：主要有三种表述方法： （1）通常语言（ 2）程序框图（ 3）计算机程序2.算法的思想方法：主要是将接替过程数值化、程序化、机械化的方法。3.高考每年必考一道填空题，学生大部分能做对，难度不大。高二 ( 下) 数学知识点归纳第十一章 坐标平面上的直线1.主要内容：直线的点方向式方程、直线的点法向式方程、点斜式方程、直线方 程的一般式、 直线的倾斜角和斜率等。 点到直线的距离， 两直线的夹角以及两平行线之间的距离。2.基本要求：掌握求直线的方法，熟练转化确定直线方向的不同条件（例如：直 线方向向量、法向量、斜率、倾斜角等） 。熟练判断点与直线
22、、直线与直线的不同位置，能正确求点到直线的距离、 两直线的交点坐标及两直线的夹角大小。3.重难点：初步建立代数方法解决几何问题的观念， 正确将几何条件与代数表示进行转化， 定量地研究点与直线、 直线与直线的位置关系。 根据两个独立条件求出直线方程。熟练运用待定系数法。(1)图形与方程图形 方 程直线 lax by c0 ( a, b 不同时为零 ) (2)直线的几何特征与二元一次方程的代数特征几何特征 代 数 特 征点 A在直线上 点 A的坐标（）是方程的解。直线 l 的法方向 法向量 n( a, b)直线 l 平行的向量 方向向量 d （ b , a ）倾斜角 斜率 ab(3)直线的已知条件
23、与所选直线方程的形式直线的已知条件 所选择直线方程的形式已知直线 l 经过点A( x0 , y0 )点方向式方程x x0uy y0 v且与向量 d =（）平行已知直线 l 经过点 A( x0 , y0 )点法向式方程a( xx0 )b( yy0 ) 0且与向量 n =（）垂直已知直线 l 经过点 A( x1 , y1 )和点 B( x2 ,y2 )一般式方程 ax by c 0已知直线 l 的斜率为 k, 且经过点 A( x0 ,y0 )点斜式方程 y y0k(xx0 )(4)两直线的位置关系：li : yki xbi (i1,2).位置关系 系 数 关 系l1与l 2 相交 k1 k 2l1
24、与l 2 平行k1 k2 且b1 b2l1与l 2 重合k1 k2 且b1 b2l1与l 2 垂直 k1 k2 1(5)点到直线的距离公式 dax0by0 ca2 b2(6)两直线的夹角公式cosa1a 22 2a1 b1b1b22 2a2 b2(7)直线的倾斜角 的范围是 0 , 当直线 l 的斜率不存在时， 直线的倾斜 .2第十二章 圆锥曲线1.主要内容：直角坐标系中，曲线 C是方程 F（）=0 的曲线及方程 F（）=0 是曲线 C的方程，圆的标准方程及圆的一般方程。椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及它们的性质。2.基本要求：理解曲线的方程与方程的曲线的意义，利用代数方法判断定点是否在曲线上
25、及求曲线的交点。掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义和求这些曲线方程的基本方法。求曲线的交点之间的距离及交点的中点坐标。利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们的位置关系并利用解析法解决相应的几何问题。3.重难点：建立数形结合的概念，理解曲线与方程的对应关系，掌握代数研究几何的方法，掌握把已知条件转化为等价的代数表示，通过代数方法解决几何问题。4.椭圆、双曲线和抛物线及其标准方程表格图 椭 圆 双 曲 线 抛 物 线形平面内到两个定点F1 , F 2 的距离和等于平面内与两个定点F1 , F 2 的距离之差的绝平面上与一定点 F 和几常数 2a(2a何F1 F2 )对值等于常数一条直线
26、 l （ F 不在 l上）的距离相等条件x2 y22a(2a F1 F2 )x 2 y 2y 2 2 px x 2 2 py22标 a b1(ab 0)a 2 b 21(a0,b 0)( p 0)准 其中 c2方程a 2 b 2其中 c2a 2 b 2( p 0)x 轴，长轴为 2a对 y 轴，短轴为 2 b x 轴， y 轴，原点都对称 x 轴 y 轴称轴( a,0)(a,0 )( a,0)( a,0)顶(0, b)点坐标原点(0,b)( a2 b 2 ,0)焦( a2 b 2 ,0)点坐标( a 2 b2 ,0)( a2 b 2 ,0)p( ,0)2p(0, )2渐 y b xa近线方程准
27、线方程第十三章 复数x p y p2 21.主要内容：复数的有关概念：复数，虚数，纯虚数，复数的实部和虚部，复数的相等，复数的共轭。复平面的有关概念：复平面，实轴与虚轴，复数的坐标表示， 复数的向量表示， 复数的模， 复平面上两点的距离。 复数的运算： 加、减、乘、除、乘方，平方根，立方根（仅限于 1 的平方根的应用），复数的积、商与乘法的模，实系数一元二次方程。2.基本要求： 掌握复数的有关概念， 理解复平面的有关概念， 会进行复数的四则运算法则， 会求复数的平方根， 会利用 1 的平方根求复数的立方根。 会求复数的模，会计算两个复数的积、商、与乘方的模，掌握结论2z z z 的结论，会求复
28、数的模的最大值与最小值。会在复数集内解实系数一元二次方程。3.重难点：复数的模，模是实数，复数的模的综合问题。高三数学知识点归纳第十四章 空间直线与平面1.主要内容：平面的概念及其表示方法，平面的基本性质，用“斜二测”方法画 简单的直观图，简单几何体的截面，空间直线与直线的位置关系，平行公理， 等角定理，异面直线的概念， 异面直线所成的角， 空间直线与平面的位置关系， 空间平面与平面的位置关系。2.基本要求： 掌握画空间图形的基本技能， 培养空间想象能力， 理解异面直线所成角的概念，会画简单图形中的异面直线所成角的大小。3.重难点：平面的基本性质和平行线的传递性，空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系及其各种表示法，用反证法证明两条直线是异面直线， 运用平面的基本性质进行说理证明问题。知识结构图1.“斜二侧”画图法：图中的 x 轴、y 轴、z 轴分别表示现实中的前后方向、左右方向、铅垂方向。现实中 1 长的线段，在 x 轴、y 轴、z 轴方向上的直观图中的长度分别是 0.5 、1、1.2.祖恒定理：用一组平行线去截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积相等则这两空间图形的体积必然相等。3.多面体和旋转体共同性质和度量公式：多面体 旋转体 主要特征 体 积柱体 棱柱 圆柱 侧棱或母线平行，两底面平
