1、时间序列分析 案例时间序列分析 案例 时间序列分析案例 案例名称： 时间序列分析在经济预测中的应用 内容要求： 确定性与随机性时间序列之比较 设计作者： 许启发，王艳明 设计时间： 20XX年8月 案例四：时间序列分析在经济预测中的应用 案例简介 为了配合统计学课程时间序列分析部分的课堂教学，提高学生运用统计分析方法解决实际问题的能力，我们组织了一次案例教学，其内容是：对烟台市的未来经济发展状况作一预测分析，数据取烟台市19491998年国内生产总值（GDP）的年度数据，并以此为依据建立预测模型，对1999年和2000年的国内生产总值作出预测并检验其预测效果。国内生产总值是指一个国家或地区所有
2、常住单位在一定时期内生产活动的最终成果，是反映国民经济活动最重要的经济指标之一，科学地预测该指标，对制定经济发展目标以及与之相配套的方针政策具有重要的理论与实际意义。在组织实施时，我们首先将数据资料印发给学生，并讲清本案例的教学目的与要求，明确案例所涉及的教学内容；然后给学生一段时间，由学生根据资料，运用不同的方法进行预测分析，并确定具体的讨论日期；在课堂讨论时让学生自由发言，阐述自己的观点；最后，由主持教师作点评发言，取得了良好的教学效果。 经济预测是研究客观经济过程未来一定时期的发展变化趋势，其目的在于通过对客观经济现象历史规律的探讨和现状的研究，求得对未来经济活动的了解，以确定社会经济活
3、动的发展水平，为决策提供依据。 时间序列分析预测法，首先将预测目标的历史数据按照时间的先后顺序排列，然后分析它随时间的变化趋势及自身的统计规律，外推得到预测目标的未来取值。它与回归分析预测法的最大区别在于：该方法可以根据单个变量的取值对其自身的变动进行预测，无须添加任何的辅助信息。 本案例的最大特色在于：它汇集了统计学原理中的时间序列分析这一章节的所有知识点，通过本案例的教学，可以把不同的时间序列分析方法进行综合的比较，便于学生更好地掌握本章的内容。 案例的目的与要求 教学目的通过本案例的教学，使学生认识到时间序列分析方法在实际工作中应用的必要性和可能性； 本案例将时间序列分析中的水平指标、速
4、度指标、长期趋势的测定等内容有机的结合在一起，以巩固学生所学的课本知识，深化学生对课本知识的理解； 本案例是对烟台市的国内生产总值数据进行预测，通过对实证结果的比较和分析，使学生认识到对同一问题的解决，可以采取不同的方法，根据约束条件，从中选择一种合适的预测方法； 通过本案例的教学，让学生掌握EXCEL软件在时间序列分析中的应用，对统计、计量分析软件SPSS或Eviews等有一个初步的了解； 通过本案例的教学，有助于提高学生运用所学知识和方法分析解决问题的能力、合作共事的能力和沟通交流的能力。 教学要求 学生必须具备相应的时间序列分析的基本理论知识； 学生必须熟悉相应的预测方法和具备一定的数据
5、处理能力； 学生以主角身份积极地参与到案例分析中来，主动地分析和解决案例中的问题； 在提出解决问题的方案之前，学生可以根据提供的样本数据，自己选择不同的统计分析方法，对这一案例进行预测，比较不同预测方法的异同，提出若干可供选择的方案； 学生必须提交完整的分析报告。分析报告的内容应包括：选题的目的及意义、使用数据的特征及其说明、采用的预测方法及其优劣、预测结果及其评价、有待于进一步改进的思路或需要进一步研究的问题。 数据搜集与处理 时间序列数据按照不同的分类标准可以划分为不同的类型，最常见的有：年度数据、季度数据、月度数据。本案例主要讨论对年度数据如何进行预测分析。考虑到案例设计时的侧重点，本案
6、例只是对烟台市国内生产总值进行预测，故数据的搜集与处理过程相对简单。我们通过查阅烟台统计年鉴、烟台五十年等有关的资料获得烟台市19492000年共52年的国内生产总值资料数据（原始数据详见表3）。该指标是反映国民经济发展情况最重要的指标之一，我们选择该指标进行预测具有较强的实用价值。此外，预测的方法具有普遍的适用性，使用者也可以将其应用于其它的研究领域。 资料数据是预测的依据和基础，一般是根据确定的预测目标及影响因素搜集有关的资料和数据，并结合初步拟定的预测模型，对所搜集的数据进行分析和处理，然后再选取适当的预测模型。 我们可以将整个数据处理过程概括如下，见图1。 明确预测目的明确预测目的确定
7、预测内容 收集和整理资料 选择预测方法 结果是否合理 计算预测结果 推荐预测结果 进行综合评价 精度的约束 时间的约束 资金的约束 Y N 图1 经济预测流程图 建议使用的预测分析方法 确定性时间序列分析法 指标法：平均增长量法、平均发展速度法； 趋势预测法：移动平均法、指数平滑法、曲线拟合法。 随机性时间序列分析法 ARIMA模型预测； 组合模型预测。 案例分析过程 确定性时间序列分析法 平均增长量法 该方法是利用历史资料计算出它的平均增长量，然后再假定在以后各期当中，它仍按这样一个平均增长量去增长，从而得出在未来一段时期内的预测值。根据烟台市的国内生产总值1949年1998年的观察值，我们
8、计算出GDP的平均增长量为150647.69万元（水平法）和38437.81万元（总和法），利用其对烟台市1999年和2000年的GDP值进行预测并与实际GDP值1 1 1999年为8006600万元，2000年为8795900万元。 表1 平均增长量法预测结果 1999年 2000年 GDP预测值（万元） 预测相对误差（%） GDP预测值（万元） 预测相对误差（%） 水平法 7550647.7 5.69 7701295.4 12.44 累计法 7438437.8 7.10 7476875.6 15.00 AB图2 由平均增长量推算出的时间序列变化图教师点评：平均增长量法不仅得到了烟台市199
9、9年、2000年GDP数据的预测值，而且还让学生认识到平均增长量预测法中水平法与总和法的区别所在，图1较明显地反映出平均增长量水平法与累计法计算的区别，即水平法仅考虑首尾年份的数值，而不考虑中间年份的数值变化，因而有；而总和法则考虑了整个样本区间上的总体变化情况，有，图2中A的面积和B的面积应该相等。 A B 图2 由平均增长量推算出的时间序列变化图 平均发展速度法 该方法就是利用时间序列资料计算出它的平均发展速度，然后再假定在以后各期当中，它仍按这样一个平均发展速度去变化，从而得出时间序列的预测值。我们计算出GDP在1949年1998年间的平均发展速度为113.036%（几何法）和112.2
10、48%（方程法）2 2 在该问题中几何法与方程法计算出的平均发展速度差别不大。 表2 平均发展速度法预测结果 1999年 2000年 GDP预测值（万元） 预测相对误差（%） GDP预测值（万元） 预测相对误差（%） 几何法 8364664 -4.47 9455081.6 -7.49 方程法 8306352 -3.74 9323713.9 -6.00 教师点评：同平均增长量的计算方法一样，平均发展速度的计算方法也有两种，其中几何法也只是考虑起始年份的取值，有，而方程式法则要考虑到整个年份取值的变化，有，方程式法的内插预测曲线与原始曲线所夹的面积A和面积B也相等；在方程式法计算中，计算平均增长速
11、度可以采取试错法（让学生尝试着编写小的循环程序求解）或插值法；同平均增长量的计算一样，平均发展速度的计算方法也有两种，其中几何法也只是考虑起始年份的取值，而方程法则要考虑到整个年份取值的变化；由预测的结果可以看出，无论是平均增长量法还是平均发展速度法只适于作短期预测，否则预测相对误差会显著提高。 BA B A 图3 由平均发展速度推算出的时间序列变化图 图3 由平均发展速度推算出的时间序列变化图 移动平均法 移动平均法是根据时间序列资料，采取逐项移动平均的办法，计算一定项数的序时平均数，以反映长期趋势的方法。移动平均法主要有简单移动平均法、加权移动平均法、趋势移动平均法等。这里主要介绍简单移动
12、平均法。 记为t期移动平均数；N为移动平均项数。由于移动平均可以平滑数据，消除周期变动和不规则变动的影响，使长期趋势显示出来，可以利用其进行外推预测。预测公式为：，即以第t期移动平均数作为第t1期的预测值。 表3 移动平均预测结果 年份 序号t 原始GDP 三期移动平均值（T=3） 五期移动平均值（T=5） 1949 18263 1950 1 25639 1951 2 29327 1952 3 34993 24409.67 1953 4 36725 29986.33 1954 5 40796 33681.67 28989.40 1955 6 41752 37504.67 33496.00 19
13、56 7 48204 39757.67 36718.60 1957 8 46608 43584.00 40494.00 1958 9 51759 45521.33 42817.00 1959 10 58699 48857.00 45823.80 1960 11 59348 52355.33 49404.40 1961 12 52275 56602.00 52923.60 1962 13 53408 56774.00 53737.80 1963 14 620XX 55010.33 55097.80 1964 15 65407 55898.33 57148.40 1965 16 76014 602
14、75.67 58490.00 1966 17 88388 67811.00 61823.20 1967 18 91758 76603.00 69045.80 1968 19 82229 85386.67 76715.80 1969 20 92063 87458.33 80759.20 1970 21 105603 88683.33 86090.40 1971 22 122584 93298.33 920XX.20 1972 23 131998 106750.00 98847.40 1973 24 141524 120XX1.67 106895.40 1974 25 145245 132035.
15、33 118754.40 1975 26 177917 139589.00 129390.80 1976 27 191185 154895.33 143853.60 1977 28 218721 171449.00 157573.80 1978 29 257782 195941.00 174918.40 1979 30 276146 222562.67 198170.00 1980 31 304923 250883.00 224350.20 1981 32 311590 279617.00 249751.40 1982 33 340400 297553.00 273832.40 1983 34
16、 407773 318971.00 298168.20 1984 35 470404 353254.33 328166.40 1985 36 572569 406192.33 367018.00 1986 37 660180 483582.00 420547.20 1987 38 847263 567717.67 490265.20 1988 39 1150970 693337.33 591637.80 1989 40 1258556 886137.67 740277.20 1990 41 1485282 1085596.33 897907.60 1991 42 1721637 1298269
17、.33 1080450.20 1992 43 2296046 1488491.67 1292741.60 1993 44 3254235 1834321.67 1582498.20 1994 45 4278600 2423972.67 20XX151.20 1995 46 5394000 3276293.67 2607160.00 1996 47 6152400 4308945.00 3388903.60 1997 48 6750000 5275000.00 4275056.20 1998 49 7400000 6098800.00 5165847.00 1999 50 8006600 676
18、7466.67 5995000.00 图4 烟台市GDP的移动平均预测曲线 图4 烟台市GDP的移动平均预测曲线 由图4，我们可以得出这样的结论：移动平均法对原始序列产生了一个修匀作用，并且移动平均所使用的间隔期越长，即N越大，修匀的程度也越大，但对原始数据的反应越不灵敏；反之，则反是。为此，我们需要依据误差分析选择间隔时期N，结果见表4。 表4 烟台市GDP移动平均预测法的误差分析 单位 N=3 N=5 平均误差（ME） 万元 295708.35 431300.80 平均绝对百分误差（MAPE） % 28.33 40.61 1999年的预测相对误差 % 20.58 27.36 由表4中的分析
19、可知，在N=3时产生的误差较小，因此，选定N=3进行预测，得到1999年烟台市GDP的预测值为6767466.7万元。 教师点评：简单移动平均法只适合作近期预测，且如果目标发展的影响因素发生较大的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后；移动平均法会损失一部分数据，因而需要的数据量较大；移动平均法对所平均的N个数据等权看待，而对期以前的数据则完全不考虑，这往往不符合实际。 指数平滑法 指数平滑法是移动平均法的改进和发展，它既不需要存储很多历史数据，又考虑了各期数据的重要性，且使用了全部历史资料。指数平滑的计算公式为：，其中：为权数，为一阶指数平滑值。二阶指数平滑就是在一阶指数平滑的
20、基础上再进行一次指数平滑，高阶的依此类推。由于指数平滑存在着滞后现象，因此，无论一次指数平滑或二次、三次指数平滑值3 在具体计算时，取，。 3 在具体计算时，取，。 其中， 、为当前时间点处的一次、二次、三次指数平滑值，为预测时段长。为了预测烟台市1999年和2000年的国内生产总值，可以取t=49，分别取1和2。由指数平滑数值可计算出：=7583559.18，=936865.62，=294704.17，故得二次曲线指数平滑预测模型为： （1） 分别令=1、=2得预测结果见表5。 表5 指数平滑预测结果 年 份 1999年 2000年 预测值（万元） 8815128.9917 预测相对误差（%
21、） -10.10 -20.92 教师点评：在作指数平滑时，涉及到初始值和权数的选取问题，不同的取值导致结果各不相同；由于指数平滑法也存在着严重的滞后现象，所以直接用平滑值去预测未来值会带来较大的误差，当建立指数平滑模型进行预测时，就会大大地减少预测误差。 曲线拟合法 多项式曲线拟合法亦称趋势拟合法或时间回归法，该方法根据时间序列随时间变化趋势，运用LS拟合一条曲线，而后利用该曲线随时间变化规律对时间序列的未来取值进行预测。我们根据烟台市GDP（19491998）资料拟合出如下曲线： GDP=29669.339+12267.158T-4330.927T2+473.564T3-18.571T4+0
22、.244T5 R2=0.9905。这里T为趋势项（1949年取值为0，以后每隔一年递增1），各估计参数均通过了显著性检验。GDP的实际值、拟合值和拟合残差如图5所示，图5表明曲线较好地拟合了数据的动态变化规律，拟合程度达到了99.05%。现在我们就用它来对GDP的未来取值进行预测，结果见表6。 图5 曲线拟合图 图5 曲线拟合图 表6 曲线拟合预测结果 年 份 1999年 2000年 预测值（万元） 9372095预测相对误差（%） -17.05 -24.57 教师点评：拟合曲线类型的选取。在进行曲线拟合时，我们可以选取多项式曲线、指数曲线、对数曲线和增长曲线等，这里只是拟合了其中的多项式曲线
23、，对于其它类型曲线留给学生课后讨论；多项式曲线阶数的选取。在多项式曲线拟合之前，首先要根据时间序列的变化规律确定拟合几次曲线，然后在具体选择阶数时要根据可决系数来确定，同时还要考虑到建模的节约性原则，在没有显著增加时，停止增加曲线的阶数；模型参数估计方法的选取。在估计模型参数时，既可以将非线性模型线性化，也可直接在Eviews3.0软件中作NLS估计，文中的结果便是直接估计得出。 随机性时间序列分析方法 在实际问题中，由于一些反映社会经济现象的时间序列可以看成是随机过程在现实中的一次样本实现，并且我们所遇到的经济时序大多是非平稳的（直观上看，它们带有明显的趋势性或周期性），所以可以将其视为均值
24、非平稳的时序，用下面的模型来描述： （2） 其中，表示序列中随时间变化的均值，是确定性趋势部分，可以用一定的函数形式来拟合；为中剔除随时间变化均值后余下的部分，可以认为是零均值的平稳过程，因而可以用平稳的ARMA模型来描述。 在具体处理时，有两种方法可供选择。其一：不考虑的具体形式，通过一定的数学手段（差分运算、对数运算与差分运算结合）将其剔除，对余下的部分拟合ARMA模型，最后经过反运算由的结果得出的结果，实际上即是建立ARIMA模型；其二：考虑到的具体形式，用一定的函数拟合得，直到余差序列平稳，再对拟合ARMA模型得，最后综合两部分可得，实际上即是建立组合模型。 在本案例中GDP是一个非平
25、稳的序列。由GDP的时序图（见图2、图3和图4）可以看出它带有明显的增长趋势，初步将其识别为非平稳的，单位根检验结果（见表7）也证实了这一点。 表7 单位根检验结果 变 量 ADF检验值 检验类型（c,t,k） 临界值 结 论 D.W.值 GDP 0.9319 (c,t,1) 3.5045 不平稳 1.5293 GDP 1.8229 (c,0,1) 1.6495* 平稳 1.9345 y 8.7682 (c,0,1) 2.9228 平稳 1.9411 注：1检验类型中的c和t表示带有常数项和趋势项，k表示所采用的滞后阶数； 2表中的临界值是由Mackinnon给出的数据计算出的在5%显著性水平
26、下的临界值，带*号的为在10%的水平下显著。 ARIMA模型预测 第一步：模型识别。由于GDP水平序列是非平稳的，而一阶差分序列是平稳的。故我们对其一阶差分序列进行识别，根据样本自相关和偏自相关函数图初步将其识别为自回归（AR）类模型。 第二步：模型定阶。由图6看出时间序列的自相关呈现拖尾性而偏自相关函数呈现出1阶截尾，则可将模型初步定为1阶自回归模型，然后再根据AIC准则确定的最优阶仍为1阶，从而可以对GDP拟合ARIMA（1,1,0）模型。 图6 自相关、偏自相关函数图 图6 自相关、偏自相关函数图 第三步：模型参数估计。在Eviews3.0中，我们采用OLS法对模型的参数进行估计，结果如
27、下： D(GDP,1) = 515358.5 + AR(1)=0.964310 4 4 软件中的这种做法避免了先对差分序列建立ARMA模型，然后再求和得到GDP序列的预测，它将这两个过程一次性完成。 (8.6387) R2=0.8762 F=325.467 AIC=25.9892 其中D(GDP,1)为GDP的1阶差分序列，AR（1）为D(GDP,1)的1阶自回归项。 第四步：诊断检验。我们发现模型拟合后的残差序列为白噪声序列，从而认为该模型是适应的，模型的拟合效果见图7。 图7 ARIMA模型拟合图 图7 ARIMA模型拟合图 至此，我们已经建立了时间序列GDP的ARIMA（1,1,0）模型
28、，接下来的工作就是利用该模型对数据进行预测。在Eviews软件中forcast菜单下使用dynamic方法，结果见表8。 表8 ARIMA模型预测结果 年 份 1999年 2000年 预测值（万元） 8045195 8685755 预测相对误差（%） -0.48 1.25 组合模型预测 首先，建立组合模型，其过程如下： （1）拟合确定性趋势部分。由GDP的时间序列图可以看出，它具有指数上升的趋势。为此，我们可以将确定性趋势部分拟合成指数增长模型：5 参数估计时，使用了NLS，其初始值可由1978年的GDP数据初步确定；t 5 参数估计时，使用了NLS，其初始值可由1978年的GDP数据初步确定
29、；t的取值同曲线拟合法。 （2）对剩余序列6 的单位根检验结果（见表7）表明它是一个平稳序列。用BoxJenkins 6 的单位根检验结果（见表7）表明它是一个平稳序列。 （3）建立组合模型。我们以已估计出来的指数增长模型的参数和ARMA模型的参数作为初始值，用非线性最小二乘法对组合模型的参数进行整体估计，得到最终的组合模型。最终的估计结果见表9。 表9 组合模型的估计结果 估计方程 GDP=EXP(T)+ (GDP(1) EXP(T1)+ (GDP(2)EXP(T2) 变量 F D.W. 对应值 605.1785 (3.5301) 0.1938 (30.8869) 1.6923 (20.5398) 1.1986 (10.8913) 0.9987 278.1332 2.2440 注：括号中的值为系数估计对应的t统计量 JB=2.1124(0.35
