1、令因得3. 若，求和.由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里pn+1.，由均差对称性可知当有而当Pn1时于是得5. 求证只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f（0.23）的近似值并用均差的余项表达式估计误差.根据给定函数表构造均差表由式（5.14）当n=3时得Newton均差插值多项式N3（x）=1.0067x+0.08367x（x-0.2）+0.17400x（x-0.2）（x-0.3）由此可得f（0.23） N3（0.23）=0.23203由余项表达式（5.15）可得由于7. 给定f（x）=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算c
2、os 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中时用Newton后插公式（5.18）误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658求一个次数不高于四次的多项式p（x）,使它满足这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造使它满足，显然，再令p（x）=x2（2-x）+Ax2（x-1）2由p（2）=1求出A ，于是9. 令称为第二类Chebyshev多项式，试求的表达式，并证明是-1,1上带权的正交多项式序列。10. 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.本题给出拟合曲线
3、，即，故法方程系数法方程为解得最小二乘拟合曲线为均方程为11. 填空题（1） 满足条件的插值多项式p（x）=（）.（2） ,则f1,2,3,4=（），f1,2,3,4,5=（）.（3） 设为互异节点，为对应的四次插值基函数，则（），（）.（4） 设是区间0,1上权函数为（x）=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中，则（）答：（3）（4）第4章数 值 积 分与数值微分习题41. 分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.解本题只要根据复合梯形公式（6.11）及复合Simpson公式（6.13）直接计算即可。对，取n=8,在分点处计算f（x）的值构造函数表。按式（6.11）求出，
4、按式（6.13）求得，积分2. 用Simpson公式求积分，并估计误差直接用Simpson公式（6.7）得由（6.8）式估计误差，因3. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.（1） （3） 本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。（1）令代入公式两端并使其相等，得解此方程组得，于是有再令，得故求积公式具有3次代数精确度。（2）令代入公式两端使其相等，得解出而对不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度。（3）令代入公式精确成立，得，得求积公式故求积公式具有2次代数精确度。4. 计算积分，若用复合Simpson公式要使误差不超过，问
5、区间要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间应分为多少等分?由Simpson公式余项及，取n=6，即区间分为12等分可使误差不超过对梯形公式同样，由余项公式得取n=255才更使复合梯形公式误差不超过5. 用Romberg求积算法求积分，取本题只要对积分使用Romberg算法（6.20），计算到K3，结果如下表所示。于是积分，积分准确值为0.7132726用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.本题直接应用三点Gauss公式计算即可。由于区间为，所以先做变换本题精确值7用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分本题直接用Gauss-Chebyshev求积公式计
6、算，因n=2,即为三点公式，于是故8. 试确定常数A，B，C，及，使求积公式有尽可能高的代数精确度，并指出所得求积公式的代数精确度是多少.它是否为Gauss型的求积公式?本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程，令对公式精确成立，得到由（2）（4）得A=C，这两个方程不独立。故可令（5）由（3）（5）解得，代入（1）得则有求积公式公式精确成立，故求积公式具有5次代数精确度。三点求积公式最高代数精确度为5次，故它是Gauss型的。第五章 解线性方程组的直接法习题五1. 用Gauss消去法求解下列方程组.解本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。2. 用列
7、主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值先选列主元，2行与1行交换得消元3行与2行交换 消元 回代得解行列式得3. 用Doolittle分解法求的解.由矩阵乘法得再由求得由4. 下述矩阵能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一?A中，若A能分解，一步分解后，相互矛盾，故A不能分解，但，若A中1行与2行交换，则可分解为LU对B，显然，但它仍可分解为分解不唯一，为一任意常数，且U奇异。C可分解，且唯一。5. 用追赶法解三对角方程组Ax=b，其中用解对三角方程组的追赶法公式（3.1.2）和（3.1.3）计算得6. 用平方根法解方程组用分解直接算得及7. 设，证明，另一方
8、面8设计算A的行范数，列范数及F-范数和2范数9设为 上任一种范数，是非奇异的，定义，证明证明：根据矩阵算子定义和定义，得，因P非奇异，故x与y为一对一，于是10. 求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计记则的解而由（3.12）的误差估计得表明估计略大，是符合实际的。11.是非题（若是在末尾（）填+,不是填-）：题目中（1）若A对称正定,则是上的一种向量范数 （ ）（2）定义是一种范数矩阵 （ ）（3）定义是一种范数矩阵 （ ）（4）只要，则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵，U为非奇上三角阵 （ ）（5）只要，则总可用列主元消去法求得方程组的解（ ）（6）若A对称正定,则A可分
9、解为，其中L为对角元素为正的下三角阵 （ ）（7）对任何都有 （ ）（8）若A为正交矩阵，则（ ）答案：（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）（5）（）（6）（）（7）（）（8）（）第六章解线性方程组的迭代法习题六1.证明对于任意的矩阵A，序列收敛于零矩阵2. 方程组（1） 考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.（2） 写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以计算到为止因为具有严格对角占优，故J法与GS法均收敛。（2）J法得迭代公式是，迭代到18次有GS迭代法计算公式为3. 设方程组证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散Jacobi迭代为其
10、迭代矩阵，谱半径为，而Gauss-Seide迭代法为，其谱半径为，故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。4. 下列两个方程组Ax=b，若分别用J法及GS法求解，是否收敛?Jacobi法的迭代矩阵是，J法收敛、GS法的迭代矩阵为，解此方程组的GS法不收敛。5. 设，detA0，用,b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件.解J法迭代矩阵为，故J法收敛的充要条件是。GS法迭代矩阵为得GS法收敛得充要条件是6. 用SOR方法解方程组（分别取=1.03,=1,=1.1）精确解，要求当时迭代终止，并对每一个值确定迭代次数用SOR方法解此方程组的迭代公式为，当时
11、，迭代5次达到要求若取，迭代6次得7. 对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?J法的迭代矩阵为，因A为对称正定三对角阵，最优松弛因子J法收敛速度若要求，于是迭代次数对于J法，取K15对于GS法，取K8对于SOR法，取K58. 填空题（1）要使应满足（）.（2） 已知方程组，则解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛（）.它的渐近收敛速度R（B）=（）.（3） 设方程组Ax=b,其中其J法的迭代矩阵是（）.GS法的迭代矩阵是（）.（4） 用GS法解方程组，其中a为实数，方法收敛的充要条件是a满足（）.（5）
12、 给定方程组,a为实数.当a满足（），且02时SOR迭代法收敛.答:（2）J法是收敛的，（3）J法迭代矩阵是，GS法迭代矩阵第七章非线性方程求根习题七1.用二分法求方程的正根，使误差小于0.05解使用二分法先要确定有根区间本题f（x）=x2-x-1=0,因f（1）=-1,f（2）=1,故区间1,2为有根区间。另一根在-1,0内，故正根在1,2内。用二分法计算各次迭代值如表。其误差2. 求方程在=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.，迭代公式,迭代公式（3）试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根（1）取区间且，在中，则L1，满
13、足收敛定理条件，故迭代收敛。，且中有，故迭代收敛。附近，故迭代法发散。在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取3. 设方程的迭代法（1） 证明对,均有,其中为方程的根.（2） 取=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过,并列出各次迭代值.（3） 此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论（1）迭代函数，对，（2）取，则有各次迭代值，其误差不超过故此迭代为线性收敛4. 给定函数，设对一切x,存在，而且.证明对的任意常数,迭代法均收敛于方程的根为单调增函数，故方程的根是唯一的（假定方程有根）。迭代函数，由递推有5. 用Steffensen方法计算第2题中（2）、（3）的近似根，精确到解:在（2）中,令,则有,得,与第2题中（2）的结果一致,可取,则满足精度要求.对（3）有,原迭代不收敛.现令6. 用Newton法求下列方程的根，计算准确到4位有效数字. 在=2附近的根.（2）=1附近的根Newton迭代法7. 应用Newton法于方程,求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性.方程的根为，用Newton迭代法此公式迭代函数，故迭代法2阶收敛。还可证明迭代法整体收敛性。设一般的，当时有这是因为当时成立。从而，表明序列单调递减。故对，迭代序列收敛于
