1、第一章直角三角形第1章 直角三角形编者：国藩学校 谭明彩11直角三角形性质与判定（）（1）学习目标：1会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形2掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用.学习重点：“直角三角形的两个锐角互余”，“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”这两性质的灵活应用.学习难点：在直角三角形中如何正确添加辅助线.学习过程：复习引入：1. 三角形内角和.2.等腰三角形及相关概念。3.小学已学习的直角三角形知识。（直角三角形及相关概念直角边、斜边等）4一个三角形的三个角之比1：2：3，则这三个角的度数分别是 ， ， 。自主探究一：1 如图11在RtABC中
2、，两锐角的的和A+B=？2如图11在ABC中，如果A+B=90，那么ABC是直角三角形吗？交流展示： 图1-1探究点拨：直角三角形性质定理：直角三角形的两个锐角互余。注意：直角三角形两锐角互余是三角形内角和定理的特例，使用的前提是在直角三角形中。直角三角形判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。注意：利用此判定方法时，首先要确定这两个角在同一个三角形中。自主探究二：1每一个学生任意做一个直角三角形，并做出斜边的中线，用圆规比较一下，你能发现直角三角形斜边上的中线长与斜边有什么关系吗？请用语言叙述。2由上面的发现你能用几何语言表达吗？ 3由上面的发现你能写出它的逆命题吗？交流展示： 图1-2
3、探究点拨 ：直角三角形性质定理 ：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。此性质用几何语言表达：如图12在RtABC中，D为斜边的中点，则CD=AB逆命题是如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。注意：此命题是真命题可作为判定直角三角形的一种方法。叙述要准确，不能出现“斜边上的中线等于斜边的一半的三角形是直角三角形”的说法。例1.如图13已知A=35ADC=105BEAC于点E,求B的度数。 图1-3 1.学生解答2.交流汇报3.教师点拨规范解答思路点拨：利用三角形内角和定理求出C的度数，再利用直角三角形两锐角互余求B的度数。（也可利用三角形内角和定理求出）例2.如图
4、14，在ABC中，ACB=90，D是AB边的中点,求CDA A的度数。 图1-41.学生解答2.交流汇报3.教师点拨规范解答思路点拨：在直角三角形中凡出现斜边的中点，一般要联想到斜边上的中线等于斜边的一半，从而产生两个等腰三角形，利用三角形的性质可求线段的长或角的度数。例3. 如图15，在ABC中，BE,CF分别是AC,AB上的高，M是BC的中点，N是EF的中点，求证：MNEF图1-51. 学生解答 2. 交流汇报3 .教师点拨规范解答思路点拨：已知直角三角形斜边的中点，作直角三角形斜边上的中线是常用的添加辅助性的方法，通过BC这个中间量，得到等量关系并利用等腰三角形性质使问题的到解决，体现了
5、转化的思想。课堂小结：本节课你有何收获？1.直角三角形性质定理：（1） （2） 2.直角三角形判定定理：（1） （2） 达标检测：必做题1直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为_。2已知，在RtABC中，BD为斜边AC上的中线，若A=35，那么DBC=3已知 CD是RtABC斜边上的高.请写出图中各对互余的角 4满足条件A=B=C的ABC的形状是（ ）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形5.如图16 ABCD,A和C的平分线相交于H点，那么是AHC直角三角形吗？为什么？ 图16选做题如图17在RtABC中，AB=AC,BAC=90,O为BC的中点。
6、（1）写出点O到的三个顶点A,B,C的距离的数量关系；（2）如果点M,N分别在线段AB,AC上移动，移动中保持AN=BM，判断OMN的形状，并证明你的结论。图1-7直角三角形的性质与判定（）（2）学习目标：掌握直角三角形性质及其运用。学习重点：直角三角形的性质及运用。学习难点：直角三角形性质的探索学习过程复习引入：1、在RtABC中，C=90，A=38，则B= 2、在RtABC中，C=90，D是AB的中点，则CD= AB自主探究一：如图18，在RtABC中，C=90AB的中线CD.1、图中ACD是 三角形，BCD 是 三角形。2、若AB=6cm,则AC=CD= cm3、若AB=10cm,则AC
7、=CD= cm.4、由上你可得出什么样的猜想？图1-8交流展示：探究点拨：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 注意：运用此定理的前提条件是直角三角形中。运用时要分清哪条是30所对的直角边，哪条是斜边，不能乱套性质。运用此定理可由角的关系转化为边之间的关系。自主探究二：1、如图18，在RtABC中，C=90AB的中线CD，如果BC=AB,那么A=30吗？2、由上你能得出什么结论？ 图18探究点拨：在直角三角形中如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于斜边的一半。 注意：在直角三角形中，当斜边上的中线恰好等于较短直角边的长时，该直角三角形必有一
8、个锐角为30，另一个锐角比为60。例1如图19，在ABC中AB=c,A：B：C=1：2：3,CDAB于D,则DB= 图1-91学生解答2交流汇报 3教师点拨规范解答思路点拨：先由三角形内角和定理求出A B C的度数，再利用直角三角形中30所对直角边等于斜边的一半进行计算。例2如图1-10，CD是RtABC斜边上的高，将BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处，求A的度数。 图1-10思路点拨：由折叠可知CB=CE,又点A为斜边AB 的中点，所以CE=AB,所以CB=AB,所以A=30例2.在A岛20海里有暗礁，一轮船由西向东航行到O处，发现A岛在北偏东75的方向，轮船继续向前行驶40海里到
9、达C点，发现A岛在北偏东60的方向，该船如果不改变航向，有触礁的危险吗？思路点拨：此题的关键是画出几何图形，建立数学模型。课堂小结：本节课你有何收获？ 直角三角形性质定理3 直角三角形性质定理4 达标检测必作题BAD1、如图1-11在RtABC中，ACB=90BC的垂直平分线交斜边AB于D,AB=8，AC=4，图中等于60的角有 个。E 图1-112、如图112，三角形的空地上种植某种花草美化环境，已知这种花草每平方米售价a元，则学校购买这种花草至少需要 元。20cmA15030cmCB 图112CA3、如图113，在ABC中AB=AC, BAC=120，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F
10、,交AB于E,求证：BF=FCEFB 图1-13选作题：在等腰三角形中，腰上的高等于腰长的一半，求等腰三角形顶角的度数。达标检测答案：必作题：1、D 2、150a 3略选作题：当等腰三角形的顶角为锐角时，为30 当等腰三角形的顶角为钝角时，为150当等腰三角形的顶角为直角时，腰上的高与和直角边重合，这种情况不存在。综上所述，等腰三角形的顶角为30或150。 12直角三角形性质与判定（）（1）学习目标：理解掌握勾股定理内容。 会用勾股定理解决数学问题。学习重点：掌握勾股定理的推导与证明思想，会用勾股定理进行有关计算，初步领会数形结合的思想。学习难点：会用面积法证明勾股定理。学习过程：复习引入：
11、1、已知三角形ABC中，A=27，B=63，则三角形ABC是 三角形。 2、已知在RtABC中，C=90AB=6,D是AB的中点，则CD= 3、已知在RtABC中，C=90, A=30，BC=3,则AB= .自主探究一：如图114，将四个全等的直角三角形ABC放入边长为ab的正方形内，得到正方形I,且I的边长等于直角三角形的斜边c.1、 图中四个直角三角形的面积是 ，正方形I的面积是 2、 用两种不同的方法表示图中大正方形的面积 3、 你能写出a、b、c三个代数式之间的等量关系吗？ bbbBaaabaCA图114 4、 请用语言叙述它们的关系。交流展示：探究点拨：直角三角形两直角边a，b的平方
12、和等于斜边c的平方。（这就是著名的“勾股定理”，我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来） 注意：勾股定理只有在直角三角形中才适应，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系。 注意：运用勾股定理时一定要先弄清楚那条边是斜边，不要把直角边斜边混淆。在分不清哪条边是斜边时，要分类讨论，写出所有可能，避免漏解、错解。 注意：在RtABC中，C=90，A，B ,C的对边分别是a,b,c则 例1在RtABC中，B=90，AB=c BC=a AC=b，（1） 已知a=6,b=10,求c（2） 已知a=5,c=12求b1学生解答2交流汇报3教师点拨规范
13、解答思路点拨：直接用勾股定理解决例2 如图115在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13，BC=10（1） 你能算出BC边上的高AD的长吗？（2） D三角形ABC的面积是多少？ADBC图1151学生解答2交流汇报3教师点拨规范解答思路点拨：先求BD长，在利用勾股定理求AD长。三角形面积公式s=12底高例1 如图116，AD是ABC的边BC边上的高，P是AD上任意一点，当P从点A向D点移动时，线段PB,PC的长都在变化，试探索的值如何变化.图116思路点拨：勾股定理揭示的是直角三角形三边平方的关系，因此许多与直角三角形边的平方有关的式子的证明，常常需要借助于勾股定理实现。的值是不变的。课堂小结
14、：本节课你有何收获？ 勾股定理： 达标检测：必作题：1 已知在RtABC中，C=90。若a=3，b=4，则c=_；若a=40，b=9，则c=_；若a=6，c=10，则b=_；若c=25，b=15，则a=_。2 已知在RtABC中，C=90，AB=10。若A=30，则BC=_，AC=_；若A=45，则BC=_，AC=_。3如图1-17已知等边三角形ABC的边长是6cm。求：(1)高AD的长；(2)ABC的面积。图117选作题如图118ACB ECD都是等腰直角三角形ACB =ECD=90D为AB上一点，求证：（1）ACEBCD A（2）图118达标检测答案 必作题 1 5 41 8 20 2 5
15、 3 选作题 略12直角三角形性质与判定（）（2）学习目标：构造直角三角形模型解决实际问题。学习重点：构造直角三角形模型解决实际问题。学习难点：适当设元列方程构造直角三角形模型解决实际问题学习过程：复习引入：1、一个直角三角形其中两边长为3,4，则第三边长是 。 2已知RtABC中，C=90BC=4，AC=3，则AB= ；若AB=4， AC=3，则BC= .自主探究一：如图1-22电工师傅把4米长的梯子靠在墙上，使梯子脚离墙脚的距离为15米，准备在墙上安装电灯，当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯子脚往墙脚移动05米，那么梯子顶端是否往上移动05米？图122CF 探究点拨：对于实际问题要善于
16、利用已知条件构造直角三角形。AC=4，BC=15,在RtABC中，由勾股定理计算AB的值。再在RtBEF中计算BE的长，再用BE-AB可得梯子顶端不是向上移动05米。自主探究二：如图123（我国古代数学问题），有一个正方形水池，每边长4米，池中央长了一棵芦苇，露出水面1米，把芦苇的顶端引到岸边（水池边的中点），芦苇顶和岸边水面刚好相齐，你能算出水池的深度吗？图123探究点拨：对于一些非直角三角形问题，要学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题。设水深CB=x米，则芦苇长CA= 米，在RtBCD中，BC= BD= CD= ,可列方程 ，求出x= 。例1 一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8千米
17、，接着它又掉头向正东方向航行15千米。（1） 此时轮船离出发点多少千米？（2） 若轮船每航行1千米需耗油升，则在此过程中轮船共耗油多少升？1学生解答2交流汇报3教师点拨规范解答思路点拨：（1）根据已知画出图形，在利用勾股定理求出轮船离出发点的距离。（2）根据轮船行驶的距离以及轮船每航行1千米需耗油升，得出此过程中轮船共耗油的数量。课堂小结：对于实际问题的解决，一要画出示意图。二要明辩已知和未知之间的关系。三要设元。学会几何问题用代数方法求解。达标检测：必作题：1、在3米高的柱子顶端有一只老鹰，它看见一条蛇从距柱脚9米处向柱脚的蛇洞游来，老鹰立即扑去，如果它们速度相等，则老鹰在距离蛇洞多远处捉住
18、蛇？2在一棵树的4米高处有两只猴子，其中一只爬下来走向离树12米的池塘，而另一只爬到树顶直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，那么这棵树有多高呢？ 选作题 如图124，小明与小强攀登一无名高峰，他俩由山脚望主峰测的仰角为45，然后沿一段倾角为30的斜坡走了2千米到山腰，此时望主峰测得仰角为60，于是小明对小强说：“我知道主峰多高了。” 你能根据他们的数据算出主峰的高度吗？图124 达标检测答案 必作题 1、 4 2、64 选作题 （1）千米 12直角三角形性质与判定（）（3）学习目标：理解掌握勾股定理的逆定理内容。知道常见的勾股数。 会用勾股定理的逆定理解决数学问题。学习重点：会用勾股定理的逆
19、定理判定一个三角形是直角三角形，并解决实际问题。学习难点：能证明勾股定理的逆定理。学习过程：复习引入：1、已知在RtABC中，C=90（1） 若a=10 b=24则c= （2） 若c=17 a=8 则b= 自主探究一：画一个三角形使它的边长分别是3,4，5,。（1） 边长3,4,5之间有的关系是 。（2） 用量角器度量三角形三个内角的度数，它是 三角形。（3）用语言表示由边的关系识别一个三角形为直角三角形 。交流展示：探究点拨： 直角三角形判定定理（也叫勾股定理的逆定理）如果三角形的三边长a,b,c满足关系：（其中c为最长边），那么这个三角形是直角三角形。 注意：能构成直角三角形三条边的正整数
20、称为勾股数。常见勾股数有3k,4k,5k,5k,12k,13k,6k,8k,10k 8k,15k,17k,7k,24k,25k,9k,40k,41k等，其中k为正整数。注意：判断一组数是否为勾股数的步骤：（1）确定是否是三个正整数。（2）计算最大数的平方。（3）计算较小两数的平方和是否等于最大数的平方。例1 判断由下列线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形。（1）a=10,b=24,c=26 （2） a=13 b=14,c=151学生解答2交流汇报3教师点拨规范解答思路点拨：判断一个三角形是不是直角三角形只要看两条较小边长的平方和是否等于最长边长的平方即可。例2 如图119，在三角形ABC
21、中AB=5，BC=12，AC=13,那么AC边上的中线BD的长是多少？图1191学生解答2交流汇报3教师点拨规范解答思路点拨：由勾股定理的逆定理可判断该三角形为直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解。例2 如图1-20已知四边形ABCD中AB=1，BC=2,CD=2，AD=3且B=90，求四边形ABCD的面积。图120 A BB 1学生解答2交流汇报3教师点拨规范解答思路点拨：连接AC,先利用勾股定理计算AC的长，在利用勾股定理的逆定理计算三角形ACD为直角三角形，在计算两个直角三角形的面积和即为四边形ABCD的面积。课堂小结：（1）勾股定理的逆定理是 。 （2）写几组常见
22、的勾股数 ， ， ， ， 。（3） 直角三角形的判定方法有 。达标检测必作题：1、下列各组数中能构成直角三角形的是（ ） A 5、6、7 B 11、12、13 C 40、41、9 D 6、7、8 2、三角形三边长1：1：，则此三角形一定是（ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形C 等边三角形 D等腰直角三角形 3 三角形ABC三边长5、12、x，那么x= 时三角形ABC是直角三角形。FDA4、如图121在正方形ABCD中，F为CD的中点，E为BC上一点，且EC=BC,求证：AFEF图121选作题：在三角形ABC中A, B,C的对边分别是a,b,c,且a,b,c满足条件338=10a24b26c,
23、试判断三角形ABC的形状。达标检测答案 必作题1、C 2、 D 3、13或 4、略 选作题 略 13 直角三角形全等的判定学习目标：掌握判定直角三角形全等的方法。学习重点：掌握判定直角三角形全等的方法。学习难点：直角三角形全等的判定。学习过程：复习引入：1、如图125，直角边是 ， 。斜边是 。 2、如图126，ABBE于B,DEBE于E,若A=D,AB=DE,则ABC与DEF （填“全等”或“不全等”） ，根据是 。 图125 图126自主探究一：画直角三角形ABC,使C=90，AC=3.AB=5.（1） 剪下直角三角形大家比一比，是否能重合？（2） 从中你能发现什么？交流展示：探究点拨：斜
24、边、直角边定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”） 注意：“HL”是判定直角三角形全等所独有的方法，对于一般三角形不成立。 注意：直角三角形全等的方法共有五个：SSS,SAS,ASA,AAS,HL。在具体运用时，要根据已知条件选择适当的判定方法。例1、 如图127，已知ADBE，垂足为C,且C为BE的中点，AB=DE，求证ABDEBE图1271学生解答2交流汇报3教师点拨规范解答 思路点拨：在用“HL”证明两个直角三角形全等时，一定要指明在直角三角形中，证明全等后得到B=E再用平行线的判定得到ABDE例2、 如图128，BDAD于点D,AC
25、BC于点C,且AC=BD,求证AD=BCCB 如图1281学生解答2交流汇报3教师点拨规范解答思路点拨：要证AD=BC，从已知条件看不具备两个三角形全等的条件，连接AB,证明ABDBAC,从而得出AD=BC例2 A如图129，在ABE和ACD中，给出以下四个条件AB=AC,AD=AE，AM=AN,ADCD,AEBE.以其中三个条件为题设，填入“已知”栏中，余下的一个条件为结论，填入下面的“结论”栏中，使得已知能推出结论，并加以证明。C图129已知： 结论： 1学生解答2交流汇报3教师点拨规范解答 思路点拨：由于前面三个条件是线段相等与垂直或角等于90无关，故一定要作为题设，不能作为结论。再在其
26、余三个条件中选择两个作题设，余下的作结论，试着证明。本题是一道开放性试题，答案不唯一。课堂小结：“HL”定理 证明直角三角形全等的方法 达标检测必作题1、如图130，在ABC与ABD中，C=D=90要使ABCABD（HL）成立，还需要添加的条件是（ ）A BAC=BAD B BC=BD或AC=AD C ABC=ABD D AB为公共边2、如图131，D为RtABC中斜边BC上一点且BD=AB,过D作BC的垂线，交AC于点E,若AE=12，则DE的长为 。图130 图131 CA3、如图132，ADBC,CEAB,垂足分别为D、E,AD交CE于点F,AD=EC,求证：FA=FCEABDC图132
27、选作题如图133，点A,E,F,C在一条直线上，AE=CF,过E,F分别作DEAC,BFAC,且AB=CD,（1） 若EF与BD相交于点G,试问EG与FG相等吗？（2） E如图133若将DEC的边EC沿AC方向移动至图中所示位置时，其余条件不变，（1）中结论是否还能成立？试说明理由。图133达标检测答案必作题：1 B 2 12 3略选作题 （1） 相等 （2）成立14角平分线的性质学习目标：掌握角平分线的性质与判定，并解决实际问题。学习重点：掌握角平分线的性质与判定。学习难点：使用角平分线解决实际问题，能够运用角平分线的判定确定角平分线。学习过程：复习引入：1 、角平分线的定义 2、三角形的角平分线定义 3、如图134，在ABC中，BE,CE分别是ABC,ACB的角平分线。（1）若ABC=60,ACB=30则BEC= .（2）若ABC=60,A=30, 则BEC= .（3）若A=60, 则BEC= .图134自主探究一：作图，OC平分AOB,点P是OC 上一点，过点P作PDOA于点D,PEOB于点E。（1）测量PD与PE的长度。（2）比较PD与PE的大小。 （3） 你能发现什么结论？探究点拨：角平分线性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 注意：点到角的两边的距离指的是到角的两边的垂线段的长度。 注意：角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段。 注意
