1、两条直线的位置关系教案 公开课两条直线的位置关系教学设计一、教学设计教学目标1知识目标：1进一步理解异面直线的概念；2能判断两条直线是否为异面直线；3理解两条异面直线所成的角，并会求简单的异面直线所成的角2能力目标：通过本节课教学，使学生进一步理解空间问题平面化的处理思想，逐步提高学生的空间想象能力、观察归纳能力、类比推理能力3情感目标：通过师生交流，学生活动，让学生感知数学，体验数学教学重点掌握异面直线的概念及异面直线所成的角教学难点正确理解异面直线所成的角教学方式问题引导，师生互动，计算机辅助教学教学设想1数学课程标准有这样一个重要理念：“现代信息技术的开展将对数学教育的价值、目标、内容以
2、及学习和教学的方式产生重大影响。数学课程要重视运用现代技术手段，特别是要充分考虑计算机计算器对数学学习的影响，把现代技术作为学生学习数学和解决问题的强有力的工具，使学生从大量繁杂、重复的运算中解放出来，将更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。这不仅是数学课程改革的一个理念，也为今天的数学教学改革指明了一个方向。因此在本节课的设计上，我力图将现代信息技术应用到数学课堂教学中来，我制作了一个既能反映本节课教学要求和主线，又有一定的灵活性和交互能力的课件，将一些抽象的空间图形和空间运动如学生实验和例题中的平移直线直观的演示出来，使学生更容易接受和理解。当然，我的这些还是低层次的信息技术与数学
3、课程的整合，以后还需要进一步加强。 2新课标强调数学是学生开展的平台而不是目标，在学习中倡导积极主动、勇于探索的学习方式，注重提高学生的数学思维能力，开展学生的数学应用意识，强盗本质，注意适度形式化。因此在本课中对异面直线的判定定理和异面直线所成角都没有进行严格的证明，主要是让学生感知数学、体验数学，训练学生的数学思维能力；在判断两条直线是否异面和求简单的两条异面直线所成角的练习中，只要求学生理解并能得出结论即可，不需要进行严格的格式书写。在教学中增加了实例的示范，让学生体会数学来自于生活，数学也效劳于生活。3数学主要是发现问题，解决问题。本节课主要以问题贯穿始终，用问题引导学生思考，促使学生
4、积极思考和参与。课堂引入用4个问题，既回忆上节课的知识，又将学生引入本节课的学习气氛中，特别是通过问题4 ，经过师生的共同探讨，得出两条直线异面的判定定理。通过问题5和问题6的解决使学生根本理解空间两条异面直线所成角的概念，让学生逐步树立平移求角的思路和空间问题平面化的处理思想。同过对上述问题的解决，根本到达本节课的教学目标，完本钱节课的教学任务。4在教学中让学生多参与，多活动。在课前让学生每人用纸制作了一个四棱台以备上课使用，在处理异面直线所成角的概念时，我安排了一个实验，让学生去体验数学，自己发现解决问题的途径，结合对问题6的思考很自然的将空间问题平面化，到达变难为易的处理效果，在对例1的
5、处理上，我增加了一题多解，让学生的思维更活泼，在作题时有更多项选择择。5在学习上逐步提高，螺旋上升，小步子、多层次。在练习和例题的安排上，我遵循学习一个知识点及时加强练习稳固的原那么，在执行新课标的同时，加强双基，还要为以后的高考打下坚实的根底，因而练习3的难度稍微高出课本练习和例题的程度。6为增强空间立体观念，我在课前让学生每人用纸制作了一个四棱台，针对在阶梯教室没有黑板的情况，我将大局部内容做在课件上，既解决上课的需要，同时通过电脑演示，增加直观，有助于理解空间问题。教学过程一问题情境问题1：空间两条直线有哪几种位置关系？问题2：异面直线的定义是什么？以上两个问题用PowerPoint先显
6、示问题，后给出答案问题3：现实生活中有哪些事物可以给我们异面直线的形象？先由学生答复，然后用电脑给出一些现实生活中异面直线的图片，如：窝轮、升旗画面、四棱台问题4：上述事例中异面直线有什么共同特征？放大升旗的画面，重点研究过平面内一点与平面外一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线用符号可以表示为：假设l，A，B，Bl，那么直线AB与l是异面直线用不同颜色显示，以示区别和强调练习1.课本28页练习3.练习2.判断如图的正方体中AB与CC1、AB与C1D1、AB与A1D1、AB与A1C所在的直线是否为异面直线？以上练习用电脑显示，老师分析思路，用电脑显示答案二学生实验如图，在一个课本上平放
7、有两支铅笔a、b，如何求这两支铅笔所成的角？用电脑显示模型图片，并用电脑动画演示学生的各种答复在学生的答复中，针对平移的答复思考以下问题将平移这种答案动画的最后画面显示问题5：为什么平移以后a,b所成的角和原来a,b所成的角相等？ 问题6：如何将平移的思想方法推广到空间来求两条异面直线所成的角？学生用铅笔做模型研究三建构数学1异面直线所成角的概念：如图，a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，做直线a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角用电脑给出定义和图形，并用电脑动画演示定义2两条异面直线所成角的范围：0，903假设两条异面直线a,b所成的角是直角，那么
8、称这两条异面直线互相垂直，用符号表示为ab显示两条直线异面垂直的实物图片，并给出图形四数学运用1例题 例1如图，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体（1）正方体的哪些棱所在的直线与直线BC1是异面直线？用电脑动画将正方体中的直线改变颜色以区别（2）求异面直线AA1与BC所成的角；演示直线平移（3）求异面直线BC1与AC所成的角根据学生答复的不同做法，用几何画板作图，研究多种解法例1 练习32练习练习3. 如图，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体E、F分别是BB1和CD的中点，求直线AE与D1F所成的角用电脑显示，另有一题备用，做超链接五回忆小结本节课学习了异面直线的判定和两条异面
9、直线所成角的概念及求法1如何判定两条直线是否为异面直线？2如何理解两条异面直线所成的角？如何求两条异面直线所成的角的大小？电脑显示问题，让学生思考、总结1.8 完全平方公式(一)教学目标(一)教学知识点1.完全平方公式的推导及其应用.2.完全平方公式的几何背景.(二)能力训练要求1.经历探索完全平方公式的过程，进一步开展符号感和推理能力.2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.(三)情感与价值观要求1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣.2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力.教学重点1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.2.完
10、全平方公式的应用.教学难点1.完全平方公式的推导及其几何解释.2.完全平方公式结构特点及其应用.教学方法自主探索法学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理，揭示其结构特点，然后到达合理、熟练地应用. 教具准备投影片四张第一张：试验田的改造，记作(1.8.1 A)第二张：想一想，记作(1.8.1 B)第三张：例题，记作(1.8.1 C)第四张：补充练习，记作(1.8.1 D)教学过程.创设问题情景，引入新课师去年，一位老农在一次“科技下乡活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡活动，使老农铁
11、了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种.同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？(同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径)生我能帮这位爷爷.师你能把你的结果展示给大家吗？生可以.如图125所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.图125师你能用不同的方式表示试验田的面积吗？生改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形，因此，试验田的总面积应为(a+b)2.生也可以把试验田的总面积看成四局部的面积和即边长为a的正方形面积，边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab
12、+b2.师很好！同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，进行比较，你发现了什么？生可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2 师我们这节课就来研究上面这个公式完全平方公式.讲授新课1.推导完全平方公式师我们通过比照试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其实，据有关资料说明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢？(出示投影片1.8.1 A)想一想：(1)(a+b)2等于什么？
13、你能用多项式乘法法那么说明理由吗？(2)(ab)2等于什么？你是怎样想的.(同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示)生用多项式乘法法那么可得(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 所以(a+b)2=a2+2ab+b2 (1)师上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？生几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识，但几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2,受到了条件限制:a0且b0;代数推导完全平方公式虽然不直观，但在推导的过程中，a,b可以是正数，可以是负数，零，也可以是单项式,多项式.师同学们
14、分析得很有道理.接下来，我们来完成第(2)问.生也可利用多项式乘法法那么，那么(ab)2=(ab)(ab)=a2abba+b2=a22ab+b2.生我是这样想的，因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用“b代替公式中的“b,利用上面的公式就可以得到(ab)2=a+(b)2.师这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义，你能继续沿着这个思路做下去吗？我们一块试一下.师生共析(ab)2=a+(b)2=a2+2a(b)+(b)2 (a +b)2=a2+2a b + b2=a22ab+b2.于是，我们得到又一个公式：(ab)2=a22ab+b2 (
15、2)师你能用语言描述上述公式(1)、(2)吗？生公式(1)用语言描述为：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；公式(2)用语言描述为：两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.2.应用、升华出示投影片(1.8.1 B)例1利用完全平方公式计算：(1)(2x3)2;(2)(4x+5y)2;(3)(mna)2.分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，准确代入公式；第三步化简.解：(1)方法一：例2利用完全平方公式计算(1)(x+2y)2;(2)(xy)2;(3)(x+yz)2;(4)(
16、x+y)2(xy)2;(5)(2x3y)2(2x+3y)2.分析：此题需灵活运用完全平方公式，(1)题可转化为(2yx)2或(x2y)2,再运用平方差公式；(2)题需转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式；(3)题利用加法结合律变形为(x+y)z2(或x+(yz)2、(xz)+y2),再用完全平方公式计算；(4)题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性质变形，再用平方差公式和完全平方公式.解：(1)方法一：(x+2y)2=(2yx)2=4y24xy+x2；方法二：(x+2y)2=(x2y)2=(x2y)2=x24xy+4y2.(2)(xy)2
17、=(x+y)2=(x+y)2=x2+2xy+y2.(3)(x+yz)2=(x+y)z2=(x+y)22(x+y)z+z2=x2+y2+z2+2xy2zx2yz.(4)方法一：(x+y)2(xy)2=(x2+2xy+y2)(x22xy+y2)=4xy.方法二：(x+y)2(xy)2=(x+y)+(xy)(x+y)(xy)=4xy.(5)(2x3y)2(2x+3y)2=(2x3y)(2x+3y)2=4x29y22=16x472x2y2+81y4.随堂练习课本1.计算：(1)(x2y)2;(2)(2xy+x)2;(3)(n+1)2n2.解：(1)(x2y)2=(x)22x2y+(2y)2=x22xy
18、+4y2(2)(2xy+x)2=(2xy)2+22xyx+(x)2=4x2y2+x2y+x2(3)方法一：(n+1)2n2=n2+2n+1n2=2n+1.方法二：(n+1)2n2=(n+1)+n(n+1)n=2n+1.课后作业1.课本习题1.13的第1、2、3题.2.阅读“读一读，并答复文章中提出的问题.活动与探究甲、乙两人合养了n头牛，而每头牛的卖价恰为n元.全部卖完后两人分钱方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后剩下缺乏十元，轮到乙拿去，为了平均分配，甲应该补给乙多少元钱？过程因牛n头，每头卖n元，故共卖得n2元.令a表示n的十位以前的数字，b表示n的个位数字.即n=
19、10a+b,于是n2=(10a+b)2=100a2+20ab+b2=102a(5a+b)+b2.因甲先取10元，而乙最后一次取钱时缺乏10元，所以n2中含有奇数个10元，以及最后剩下缺乏10元.但102a(5a+b)中含有偶数个10元，因此b2中必含有奇数个10元，且b10，所以b2只可能是1、4、9、16、25、36、49、64、81，而这九个数中，只有16和36含有奇数个10，因此b2只可能是16或36，但这两个数的个位数都是6，这就是说，乙最后所拿的是6元(即剩下缺乏10元).结果甲比乙多拿了4元，为了平均分配甲必须补给乙2元.板书设计1.8. 完全平方公式(一)一、几何背景试验田的总面
20、积有两种表示形式：a2+2ab+b2(a+b)2比照得：(a+b)2=a2+2ab+b2二、代数推导(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2(ab)2=a+(b)2=a22ab+b2三、例题讲例例1.利用完全平方公式计算：(1)(2x3)2(2)(4x+5y)2(3)(mna)2四、随堂练习(略)备课资料一、杨辉杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家.在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多.他著名的数学书共五种二十一卷.著有?详解九章算法?十二卷(1261年)、?日用算法?二卷(1262年)、?乘除通变本末?三卷(1274年)、?田亩比类乘除算法?二卷(1275年)、?续古
21、摘奇算法?二卷(1275年).杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和开展，有的还编成了歌诀，如九归口诀。他在?续古摘奇算法?中介绍了各种形式的“纵横图及有关的构造方法，同时“垛积术是杨辉继沈括“隙积术后，关于高阶等差级数的研究.杨辉在“纂类中，将?九章算术?246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈缺乏、方程、勾股等九类.他非常重视数学教育的普及和开展，在?算法通变本末?中，杨辉为初学者制订的“习算纲目是中国数学教育史上的重要文献.二、参考练习1.填空题(1)(3x+4y)2= .(2)(2ab)2= .(3)x
22、24xy+ =(x2y)2.(4)a2+b2=(a+b)2+ .(5)a2+ +9b2=(a+3b)2.(6)(a2b)2+(a+2b)2= .2.选择题(1)以下计算正确的选项是( )A.(m1)2=m21B.(x+1)(x+1)=x2+x+1C.(xy)2=x2xyy2D.(x+y)(xy)(x2y2)=x4y4(2)如果x2+mx+4是一个完全平方式，那么m的值是( )A.4 B.4 C.4 D.8(3)将正方形的边长由a cm增加6 cm,那么正方形的面积增加了( )A.36 cm2 B.12a cm2C.(36+12a)cm2 D.以上都不对3.用乘法公式计算(1)(xy)2(2)(x22y2)2(x2+2y2)2(3)2931(302+1)(4)9992答案：1.(1)9x224xy+16y2(2)4a2+4ab+b2 (3)4y2 (4)2ab(5)3ab (6)2a2+8b22.(1)D (2)C (3)C3.(1)x2xy+y2 (2)8x2y2(3)809999 (4)998001
