1、24.2.5直线与圆的位置关系切线长定理,这是一位同学运动完后放的篮球，如果截它的平面，那么你能从中发现什么几何知识呢？,墙,地面 P,从圆外一点可以引圆的两条切线。,A,B,切线长概念,过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长。,O,P,A,B,O,P,A,B,根据你的直观判断，猜想图中PA是否等于PB？1与2又有什么关系？,大胆猜想:,1,2,证明猜想,关键是作辅助线,A,O,P,B,证明：连结OA、OB PA、PB是 O的两条切线,OAAP，OBBP,又 OA=OB，OP=OP,RtAOP RtBOP,PA=PB,APO=BPO,已知PA、PB是O的两条切线，
2、A、B为切点，如何证明 PA=PB,APO=BPO？,PA、PB分别切O于A、B,PA=PB,OPA=OPB,从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,切线长定理:,几何语言:,切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法。,A,P,O,。,B,M,若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.,OP垂直平分AB,证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点 PA=PB OPA=OPB PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 OP垂直平分AB,例.PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于O于点D、E，交AB于C。
3、,(1)写出图中所有的垂直关系,OAPA，OBPB，ABOP,例.PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于O于点D、E，交AB于C。,(2)写出图中与OAC相等的角,OAC=OBC=APC=BPC,例.PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于O于点D、E，交AB于C。,(3)写出图中所有的全等三角形,AOP BOP，AOC BOC，ACP BCP,例.PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于O于点D、E，交AB于C。,（4）写出图中所有的等腰三角形,OAB,PAB,例.PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于O于点D、E，交AB于C。,（5）若P
4、A=4、PD=2，求半径OA.,设OA=xcm,则PO=PD+x=(2+x)cm,在RtOAP中，由勾股定理，,得 42+x2=(x+2)2,解得x=3,所以，半径 OA 的长为3cm.,已知：如图,PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，Q为O上一点，过Q点作O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，P=70,求:(1)PEF的周长(2)EOF的大小。,一、判断（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（）（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。（）,如图,PA、PB切圆于A、B两点，APB=50,连结PO，则 APO=度。,25,二、填空,填空：如图，PA、PB分别与O相切于点
5、A、B，（1）若PB=12，PO=13，则AO=;（2）若PO=10，AO=6，则PB=；（3）若PA=4，AO=3，则PO=；PD=；,5,8,5,2,(2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。,(1)若OA=3cm,APB=60，则PA=_ _.,如图，AC为O的直径，PA、PB分别切O于点A、B，OP交O于点M，连结BC。,。,P,B,A,O,(3)连结圆心和圆外一点,(2)连结两切点,(1)分别连结圆心和切点,反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。,1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,小结：,PA、
6、PB分别切O于A、B,PA=PB,OPA=OPB,OP垂直平分AB,切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。,三角形与圆,三角形的内切圆,思考,一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？,与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心,三角形的内切圆:,三角形的内心:,内心的性质:,I,（即三角形三条角平分线的交点）,1.与顶点的连线平分三个内角。2.到三角形三边的距离相等。,o,外心：三角形三边垂直平分线的交点。性质：到三角形三个顶点的距离相等。,内心：三角形三个内角平分线的交点。性质：到三角形
7、三边的距离相等。,A,A,B,B,C,C,三角形的内切圆,三角形的外接圆,明确:,1.一个三角形有且只有一个内切圆；一个圆有无数个外切三角形；,2.一个三角形 有且只有一个外接圆；一个圆有无数个内接三角形；,3.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点；三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点；,4.三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。,如图，ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，F；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC=cm,AC=，AB=。,11,6cm,9cm,如图，PA、PB、DE分别切O于A、B、C，DE分别交PA
8、，PB于D、E，已知P到O的切线长为8CM，则PDE的周长为（）,A,P,A,例：已知：如图,ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相交于点D、E、F，且AB9cm，BC14cm，CA13cm,求AF、BD、CE的长。,O,x,x,y,y,z,z,如图，RtABC中,C=90,AC=3,BC=4,则内切圆的半径是_ _.,1,直角三角形中,设直角边分别为a、b,斜边为c,内切圆半径为r，则,r,如图，ABC的内切圆的半径为2,ABC的周长为30,求ABC的面积S.,设ABC的三边为a、b、c，周长为l，内切圆的半径为r,面积为S，则,S=l r,拓广探索,三角形的各种心,Hearts of T
9、riangle,三条高线的交点,三条角平分线的交点,三边垂直平分线的交点,三条中线的交点,在形内、形外或直角顶点,在形内、形外或斜边中点,在形内,在形内,到三角形各顶点距离相等,到三角形三边距离相等,把中线分成了2:1两部分,等边三角形的“四心”,等边三角形的“四心”重合,直角三角形的“四心”,内心,外心,重心,垂心,直角三角形的外接圆与内切圆,1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在_，半径为_.,2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在_，半径r=_.,a,b,c,斜边中点,斜边的一半,三角形内部,圆的外切四边形的两组对边和相等。,探索圆外切四边形边的关系。,（1）找出图中所有相等的线段,（2）填
10、空：AB+CD AD+BC（,=),=,DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM,对边和相等的四边形能作出内切圆,比较圆的内接四边形的性质：,圆的内接四边形的对角互补。,对角互补的四边形能作外接圆。,既有外接圆,又内切圆的平行四边形是_ _.,正方形,直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_ _.,22cm,O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切O于P点，交AB、BC于E、F，则BEF的周长是_.,E,F,H,G,2cm,如图，AB是O的直径，AD、DC、BC是切线，点A、E、B为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.,为了测量一个圆形锅盖的半
11、径，某同学采用了如下办法：将锅盖平放在水平桌面上，用一个锐角为30的三角板和一个刻度尺，按图中所示的方法得到相关数据，进而可求得锅盖的半径，若测得PA=5cm，则锅盖的半径长是多少？,O,小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴墙面量得MA的长,即可求出锅盖的直径,请你利用图乙,说明她这样做的道理.,例.如图，ABC中,C=90,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，求O的半径r.,P,P,P,A,
