1、福师大网络教育复变函数网络作业答案.复变函数作业一一、判断（对的用 T 表示，错的用 F 表示）1、如果 f ( z0 ) 存在，那么 f ( z) 在 z0 解析。（ F ）2、 Ln zn nLnz 。（ F ）3、当且仅当 z 为实数时， ez 为实数。（ F ）4、设 f (z) u iv 在区域 D 是解析的，如果 u 是实常数，那么数；如果 v 是实常数，那么 f (z) 在 D 也是常数。（ T ）二、填空1in1i 3n1、Re3=；Im=222、设是 1 的 n次根，1，则 12Ln 1 =03、在映射z2下，扇形区域0arg z, z40arg z2。4、若1n1n。ii
2、，则 n =三、计算1、 计算下列函数值： 1）i； ）3 4i。L n e21）、 L n ei解：主值 ln eiln eii arg eii ,Ln eiln ei2k i i 2k i , kf(z) 在整个 D 是常。1的像区域为2）、 3 4i解： 设 3+4i 的平方根是 x+yi ，x、yR，则有 x 2-y 2=3，且 2xy=4 ，. . .求得 x=2 ，y=1，或 x=-2 y=-1 ，故 3+4i 的平方根是 2+i ，或 -2-i ，故答案为： 2+i ，或 -2-i2、下列函数在复平面上何处可导？何处解析？1） 1；2） x2y2x i 2xy y2 。z1） 1
3、；z解：因为 f(z)=|z| 当趋于 0- 时 f(z)=|-1 ； 当趋于 0+时 f(z)=|1 ； 右极限不等于左极限。所以 f(z)=|z| 在 z=0 处不可导，而在除 0 以外的其他地方都可导且解析。2） x2y2xi2xyy2 。解：ux2x1vx2 y,uy2 y,v y2x2 yuxv y , uyvxy12仅在直线 y 1 上可导，在复平面上处处不解析。23、函数 f ( z) x2 y3 2x2 y2 i 是否为解析函数？求出其导数。解：不是解析函数，因为满足条件的只有两个点，不成区域f( x, y)uxiv x2x4xy2f(0,0)0, f3 , 234 i4323
4、. . .4、已知 f ( z)3271,C : x2y23，求 f 1 i 。Czd解：f ( z)2i (3z27 z1)f (z)2i (6 z7)f (1i )26 13i5、计算积分1 ）3z1z 2 z zdz ；1解： 1）3z1 dz ；z 2 z z1. . .sinz42）12dz ；z 1z1解：sinzsinz44z2在 z1 1 只有 z1一个极点，所以令 f z，所以11zsinz4f z2dz2 if 1z 1 1z21dziz 1 1 z 123） z 1 1ezdz；22 z z1解:1ezdzz 122z z11edz2 z(z2z 11)4）dz2 。z
5、1 33z2z解：3dz 3124z 4)z 1z (z3dzz 1z54z44z3四、证明：若积分路径不经过1dzk , k 。i ，则z20 14证明：如果积分路径不经过 i ，且不绕过， i 则由柯西定理得，. . .若积分绕 z=转 k1 圈，则积分值为若绕 z = -i 转 k2 圈，则积分值为故在一般情况下，积分值为五、证明：设 v 是 u 的共轭调和函数，问下列各对函数中后者是不是前者的共轭调和函数？判断并给出理由：1） AuBv, Bu Av （ A, B 为常数）；2） u2v2 ,uv 。1）证明：2） 不是 的共轭调和函数证明：. . .因为在某区域的调和函数一定是该区域
6、某解析函数 ( 可能多值 ) 的实部或虚部，反之，某区域的解析函数其实部与虚部都是该区域的调和函数。 和不满足此条件，应该是 2uv 是 的共轭调和函数。综上所述， 不是 的共轭调和函数。复变函数作业二一、判断1、an ( z 2) n 在 z=0 收敛，在 z=3 发散。（ F ）n02、在区域 zR 解析，且在区间（ -R，R）取实数值的函数 f(z) 展开成 z 的幂级数时，展开式的系数都是实数。（T）3、 tan 1 在圆环区域 0 z R(0R) 不能展开成罗朗级数。（F）z14、z=0 是 f ( z)tane z 的本性奇点。（ T ）二、填空21、(1 i )n zn的收敛半径
7、为2。n02、 ez2sin z2 展开成 z 的幂级数的收敛半径 =。3、z=0 是 f ( z)sin z tan z 的3级零点。4、 f ( z), g( z) 以 z=a 为 m级和 n 级极点，则 z=a 为 f (z)g ( z) 的 m+n级极点。三、计算1、求 1 在 z01 处的泰勒展开式。z2解：. . .111( n 1)(z 1)n( z 1 1)z2z1 ( z 1)n 02、 求zn: z1n 12解：zn dzdzzndz 2 in 1zn 13、 求 f ( z) 1 2z 4 z2 z3 在 z=1 处的泰勒展开式。解：当 z=1 时，此函数的泰勒展开式为：
8、（ z-1 ）3-(z-1)2-3(z-1)1在以 i 为中心的圆环域展开为罗朗级数。4、将 f (z)z2 (zi )解:zn dzdzzndz 2 in 1zn 1四、若 f ( z) 为整函数，且 limM ( r )M (r ) max f (z) ，则 f ( z) 是不高于 nnrz rr次的多项式。证明：f ( z)ck zk , zk 0当 kn1limM( r )rkr当 kn 1, ckM ( r )(k0,1,2,L)r k时，令 knp( p 1)lim1M ( r )0( k n1)prnrr时， c k0. . .复变函数作业三一、判断题（对的用“ T”表示，错的用
9、“ F”表示）1、若 f (z) 在区域 D 单叶解析，则在 D f( z) 0。（F ）2、线性变换将平面上的圆周变为圆周或直线。（T ）3、解析函数具有保形性。（ F）4、函数在可去奇点处的留数为0。（F ）二、填空题1、方程在单位圆 6z62z4z21 0 有6个根。2、 i 关于 zi1的对称点为 x 2 +(y-1)2 =1。3、 f ( z)1,C : z2 ，则C arg f (z) =4。( z1)2 ( z 5)( z4 3i)4 、 z5 在 点 z1 i 处 的 旋 转 角 为，伸缩率为20。三、 计算题dz1、z 49 ( z 1)( z 2)( z 48)( z 50
10、)解：设f1(z)=1/(z-2)(z-48)(z-50) ，f2(z)=1/(z-1)(z-48)(z-50) ，f3(z)=1/(z-1)(z-2)(z-50) ，则答案为 2 if1(1)+f2(2)+f3(48)2d2、sin0 4解：. . .2d1dz2dz0 4sinz 1z2 1izz 1 z28iz142iz22zz1z1i415,i limz z1 ( zz1 )( z z2 )z2i4154i22i1515x sin x3、 x2 16dxx sin x解：2dxx164、求把 z 平面的单位圆变为 平面的单位圆，并使 1 成为不动点，使1 i 变为无穷远点的线性变换 L
11、(z) 。eiza1解：依题意得，设1az ，因为 1+i 关于单位圆的对称点为1 i ，无穷远点关于单位圆的对称点是0，. . .1 i,10,1111iiz11iz1ii1i,112e11iz 1i1 zi1125、求把 z 平面的单位圆z 1变为平面的单位圆1 的线性变换L(z) ，使 L10,arg L1。33解：设圆周部一点Z=a( a1) 变为w=0, 点 a(a0) 关于单位圆周z 1对称点a*1w1a，应该变为 w=0 关于单位圆周的对称点，因此所求变换具有形式为：wk zak1zdz11aza其中k1为常数，当z1 时， w1 ，故取 z=1，对应点 w 满足1wk11ak11a因此令 k1 ei ( 为实数）wei zaz 1从而所求的变换为1az. . .
