1、北师大版七年级数学下册三角形难题全解来源：2011-2012学年广东省汕头市潮南区中考模拟考试数学卷(解析版) 考点：三角形如图，已知，等腰 Rt OAB中，/ AOB=9Q等腰Rt EOF中，/ EOF=90,连结 AE、BF.求证：（1） AE=BF （ 2） AE! BF.【答案】见解析【解析】解：（1）证明：在厶AEOW BFO中, Rt OAB与 Rt EOF等腰直角三角形， AO=OB OE=OF / AO=90- / BO=Z BOF AEOA BFO AE=BF(2 )延长 AE交 BF于 D,交 OB于 C,贝BCI=Z ACO由(1)知：/ OA(=Z OBF/ BDA/
2、AO=90， AE! BF.(1)可以把要证明相等的线段 AE, CF放到 AEO BFO中考虑全等的条件, 由两个等腰直角三角形得AO=BO OE=OF再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去/ BOE的结果，所以相等，由此可以证明厶 AE3A BFO(2)由(1)知：/ OACMOBF 二/BDAMAOB=90，由此可以证明 AE!BF来源：2012-2013学年吉林省八年级上期中考试数学试卷(解析版)考点：四边形如图，在正方形 ABCD中, E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF= AB, 已知 ABEA ADF.(1) 在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使 ABE变到厶A
3、DF 的位置；(2)线段BE与DF有什么关系？证明你的结论.【答案】(1)绕点 A旋转 90;( 2) BE=DF BE! DF.【解析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判断和性质(1)根据旋转的概念得出；(2)根据旋转的性质得出 ABEAADF从而得出BE=DF再根据正方形的性 质得出BE! DF.(1)图中是通过绕点A旋转90,使厶ABE变到 ADF的位置.(2)BE=DF BE! DF;延长BE交DF于G;来源：2012年江苏省东台市七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）如图，在Aabc中，已知/abc=30，点d在be上，点e在ac上，/ bad=Z ebc, ad交be于f.1.
4、隶初FD的度数；2.若eg / ad交bc于g， eh丄be交bc于h， 求/ heg的度数.【答案】1./ BFD ABF+Z BAD （三角形外角等于两内角之和）vZ BADZ EBC/ BFDZ ABF+Z EBCZ BFDZ ABC=30 ;2.v EG/ Ad，/ BFDZ BEG=30 （同位角相等）v EHL BE:丄 HEB=90 ,/ HEGMHEB / BEG=90 -30 =60.【解析】1./ BFD的度数可以利用角的等效替换转化为/ ABC的大小，2.在直角三角形中，有平行线，利用同位角即可求解.三角形强化训练和深化 ？1、如图a是长方形纸带，/ DEF=25,将纸带
5、沿 EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,则图c中的/ CFE的度数是 .和高AD相交于F,作FG/ BC交AB于G,求证解析：由题意可知折叠前，由BC/AD得：/ BFE玄DEF=25将纸带沿EF折叠成图b后，/ GEFM DEF=25所以图 b 中，/ DGFM GEFV BFE=25 +25 =50 又在四边形CDGF中, Z C=Z D=90则由：/ DGFZ GFC=180所以：Z GFC=180 50 = 130将纸带再沿BF第二次折叠成图C后Z GFC1度值保持不变且此时：Z GFGZ EFG-Z CFE所以：Z CFEZ GFCZ EFG=130 -25 =1052、在Rt AB
6、C中，Z A= 90 ，CE是角平分线,AE= BG.解法1：【解析】证明：TZ BAC=900AD 丄 BCZ 1 = Z B/ CE是角平分线Z 2=Z 3vZ 5=Z 1 + Z 2Z 4 =Z 3+Z BZ 4=Z 5AE= AF过F作FM丄AC并延长MF交BC于N MN/AB/ FG/BD四边形GBDF为平行四边形GB=FNTAD丄BC,CE为角平分线FD=FM在 RtA AMF 和 RtNDF 中乙如F = ZNDF = 90： FM = FDZ6=Z7 AMFA NDF AF= FN AE= BGZ AGF=Z BAF=EH, AFGA EHB (AAS)AG=EB,即 AE+E
7、G=BG+GEAE=BG. ABC为等腰直角三角形，/ ACF=Z BCF=45 ,即/ ACG=45，/ B=45 , CE 丄 AD,/ 1 + Z ACE=Z 2+ / ACE=90 ,/ 仁/2,在 AGC和厶 CEB中/仁/2AC=CB/ ACG=Z CBEAGCA CEB(ASA),CG=BEAD为腰CB上的中线，CD=BD,在 CGD和厶BED中CG=BE/ GCD=Z BCD=BD, CGDA BED (SAS , / CDA=Z EDB.4、如图，已知 AD和BC相交于点O,且d均为等边三角形，以 托工卞二三平行四边形ODEB连结AC, AE和C吕求证也是等边三角形证明： O
8、AB和OCD为等边三角形,CD=OD , OB=AB , / ADC= / ABO=60四边形ODEB是平行四边形,OD=BE , OB=DE , / CBE= / EDO .CD=BE , AB=DE , / ABE= / CDE . ABE EDC .AE=CE , / AEB= / ECD ./ BE / AD ,/ AEB= / EAD ./ EAD= / ECD .在 AAFE 和 CFD 中又AFE= / CFD ,/ AEC= / ADC=60 . ACE为等边三角形.5.如图，在直角梯形 ABCD中，/ ABC=Z BAD=90, AB=16，对角线 AC与BD交于点E,过 E
9、作EF丄AB于点F, 0为边AB的中点，且 FE+B0=8.求AD+BC的值.解：设EF, BF=y?.FE+E0=8?/.0E-8_xf而AB=16, 0洵边AE的中点,JEF丄AB,.Z0FE=90 ,.OE2=OF2+EF2,即(8-k) 8-y) Z+T2,又 TZABC二 ,即ADEFEG/.ABEFABDA AAEFooAACBj.EF BF EF AF一 一 一 一 一 :AD BV ECAE16 /.AD+BC16x =16 16厂十6.如图，在 ABC中，/ BAC=90 ,AB=AC, D 是厶 ABC内一点， 且 ZMC = Z= 15求证：BD=BA如图：以AD为边，在
10、ADB中作等边三角形 ADE，连接BE . =15，即/ BAE= / CAD，且 AB=AC，AE=AD，/ EAB DAC (SAS )，/Z BEA= / CDA=180 -15 15 =150，/Z BED=360 - Z BEA-60 =150，即 Z BEA= Z BED ; 又v AE=ED ， BE=BE ，/ BEA BED ( SAS )，/ BA=BD .求证：_一二一一-延长CA至F，使得AF=CA 则三角形DAF与三角形BAC全等,DF=BC,且C=F又DE=BC=DF，所以三角形DFE为等腰三角形，所以DEF=vDEA=vF= 3，则a的取值范围、2(x+ 1).1
11、1-x(2x - a 1(3) 若 的解是-1 v x v 1，则(a+1) ( b-2 )=x- 2b )3(4)若2xv a的解集为xv 2，贝U a= 2x m 兰 0(5) 若 有解，则m的取值范围4160X3x 2y = m 1 +5、 已知 ，xy，贝U m的取值范围 ;_2x + y = m16、 已知上山的速度为 600m/h，下上的速度为 400m/h，则上下山的平均速度为？7、已知 4(x+ y _3)2 +|x y =0，贝H x= ，y= 3x 5y 3z = 0 nt8、 已知 ( zh0)，则 x:z= , y:z= ；3x _5y _8z = 01 x 2y =
12、69、 当m= 时，方程 中x、y的值相等，此时 x、y的值2x - y = 3m -1010、 已知点P（5a-7,-6a-2） 在二、四象限的角平分线上，则 a= 。”x +2y =3m 小 小 小 2 111、 丿 的解是3x+2y=34的解，求m2 。xy=9m m12、 若方程3m（x 1） 1 = m（3x）-5x的解是负数，贝U m的取值范围是 。13、 船从A点出发，向北偏西60行进了 200km到B点，再从B点向南偏东20方向走500km到C点，则/ ABC 。3x +5y = a +214、 丿 的解x和y的和为0,贝U a= 。gx + 3y = a15、 a、b互为相反
13、数且均不为 0, c、d互为倒数，则（a b） 5 cd = 。a 3aa、b互为相反数且均不为 0,则（a b-1） （ 1） 。ba、b互为相反数，c、d互为倒数，x=2，则10a + 10b+cdx= 。m16、 若一 =1，则 m 0。（填 “” 、“v” 或“=”）m_2 717、 计算： 一二 ; 0.2576 477 二 。1218、 若m +5与（n 2 f互为相反数，则 m = 。19、 倒数等于它本身的数是： ；相反数等于它本身的数是： 。20、 有23人在甲处劳动，17人在乙处劳动，现调 20人去支援，使在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的 2倍，应调往甲乙两处各多少人？
14、21、如图（1）, 已知 ABC中,/ BAC=90, AB=AC, AE 是过 A的一条直线，且B、C在A、E(1)试说明：BD=DE+CE./ ABD+Z BAD=90 , / CAE+Z BAD=90 /-Z ABD玄 CAE在 Rt ABD和 Rt CAE中，Z ABD玄 CAE, Z ADBZ CEA=90 , AB=CA, ABDA CAE,/ BD=AE, AD=CE, T DE+AD=AE, / DE+CE=AE=BD若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BDCE),其余条件不变，问BD与DE、CE的关系 如何？DE=BD+CE(AAS)等腰 Rt EOF中,Z EOF=90,
15、连结 AE、BF.22、如图，已知：等腰 Rt OAB中 , Z AOB=90求证:(1) AE=BF; (2) AE 丄 BF.证明：(1)tZ AOEZ EOBZ AOB=90oZ BOF-Z EOBZ EOF=90o/Z AOEZ BOF又 t AO=BO EO=FO AO舉/BOF( SAS/ AE=BF(2)t/ AO 舉/BOF/Z OAEZ OBF延长AE交BF于GtZ ABOZ BAEZ OAE=90o/Z ABOZ BAE-Z OBF=90o/Z AGB=90o即 AE! BF123、如图示，已知四边形 ABCD是正方形，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=AB,2已
16、知 ABEA ADF. (1)在图中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法， 使厶ABE 变到 ADF的位置；(3分) (2)线段BE与DF有什么关系？证明你的结论。 (10 分)BE=DF且垂直于DF过程如下：T四边形ABCD是正方形/ AB=ADt E是AD的中点 AE=1/2AD 又 t AF=1/2AB AE=AFvZ DAB=90/ DAF=90 DFAA BEA（边角边）vZ FDAZ F=90,Z EBAZ FDAZ F+Z EBA=90Z FPB=90 （ P是延长后交DF的点） BE! DF24、上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图） .设计了如下方案：（I）Z AOB是
17、一个任意角，将角尺的直角顶点 P介于射线OA 0B之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与 M N重合，即PM=PN过角尺顶点P的射线0P就是Z AOB的平分线.（H）Z AOB是一个任意角，在边 OA 0B上分别取0M=0,将角尺的直角顶点 P介于射线 OA 0B之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与 M N重合，即PM=PN过角尺顶点P的射 线0P就是Z AOB的平分线.（1） 方案（I）、方案（n）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由 .（9 分）（2） 在方案（I） PM=PN勺情况下，继续移动角尺，同时使 PML OA PN1 0B.此方案是否可行？请说明理由 （5分）餡；仁方案
18、 I 不可行.離少证明三角形全等的築件, .只有OP=OP, 二FM不能判断前不能判定UF就是/ ADB的平分线J方案5）可行-证明：在珂和QFN中OM=ON, PM-PNoF=OPA AOPWAOFM CSSS） tAZW=ZB0F （全等三角羽对应角相等（5分）；CiF就是3啲平分线.当是直角时，方案（I ）可行.四边形内甬和为36胪J又若FM丄0虹FNIOBj ZOP=Z0HF=9Os j ZMPH=9O r. ZAOB=9O t垂直的走文），TFM丄 DM PN1OB,且FM二FN,MF为EAOB的孚分线（角平分线隹质）当不芮直角时.此方案也可行.V PM-LOKj PFXOB?几OFNI和OFM是盲角三角网.在RtAOFH和肮FIT中PM=PNvop=opA AOPMAOfU （KL）,GOFN应全等三角形对应嗣目等）（5分八“蹴是三血的平分线.
