1、考研数学高等数学强化资料多元函数积分学数学一doc一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导 老师为考生准备了【高等数学-多元函数积分学（数学一）知识点讲 解和习题】，同时屮公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及 各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研 辅导服务。模块十一 多元函数积分学（*数学一）I教学规划【教学目标】1、 回顾多元函数微分学的基本概念、基本性质和常用公式2、 全面掌握各类重积分及曲线、曲面积分的计算方法，形成系统的计算思路【主要内容】1、 三重积分的概念、性质和计算方法2、 第一类曲线积分的概念、性质和计算方法3、 第二类曲线
2、积分的概念、性质和直接计算的方法4、 格林公式的使用5、 积分与路径无关的条件6、 二元函数的全微分7、 斯托克斯公式的使用8、第一类曲面积分的概念、性质和计算方法9、第二类曲面积分的概念、性质和直接计算的方法10、 高斯公式的使用11、 场论初步【重难点】1、 格林公式的使用2、 积分与路径无关的条件3、 高斯公式的使用II知识点回顾1. 三重积分1. 基本概念设/Cr,z）是空间有界闭区域G上的有界函数.将。任意分成n个小闭区域，其中匕表示第7个小闭区域，也表示它的体积在每个上任取一点作乘积/（纟,JU （ 7 = 1,2,），并作和工/（纟,口用）匕.用4表示岭的肓径当/=1t/ = m
3、ax.趋于零时，如果和的极限总存在，则称该极限值为函数f（x,y9z）在区域0上的三重积分，记作旳，W：岭,JJJ/（X，z）dv = lim / （石,r）t ,rz）A2 /=1注：三重积分表示密度为/（兀,”Z）的空间形体Q的质量我们看到，三重积分的定义完全 是将二重积分的定义推广到三重积分，本质上是一样的，故三重积分的性质与二重积分的性 质类似：2. 基本性质二重积分的所冇性质都可以平行地移到三重积分中来，这里不再一一赘述.3 计算三重积分的主要方法1）利用直角坐标系利用直角处标计算有两种情况：先一后二和“先二后一.（1） “先一后二”法（以先对变量Z积分为例）：沿着Z轴方向白下而上画
4、一条直线，找到该直线与积分区域的上下两个交点，设这两个交 点在Z方向的坐标分别为zg）和Z2（兀,刃,则它们分别为积分变量Z的上下限;然后再 找出积分区域在兀-平面上的投影Dxy ,则该三重积分可表示为口必妙（：/任,刃比.其中，计算二重积分时可选用直角坐标也可以选用极坐标.如选 S l（x，y）用极坐标，则该积分坐标又称为柱而坐标.（2） “先二后一法（以最后变量z积分为例）：作一个垂直于Z轴的平而，找到该平而与积分区域截而在xoy平而上的投影2,则计算二 重积分时的积分区域即为再确定Z的上下限即可.此时三重积分可表示为2) 利用球面坐标球面坐标简介:球面坐标通过三个变量式來确定三维空间中的
5、点其中p为点到原点的距离, 确定了该距离后，该点就被限制在了一个以原点为圆心的球面上；0(Q0 2tt)和(p(O(p0部分的半平面逆时针旋转，当旋转到经过该点时，所转过的角度即为0,可见，&的作用类似于地球仪上的经度；将该点与原点连接，该连线与2轴正半轴的夹角即为0,对见0的作用类似于纬度(只不过这个纬度是以南纬x = /?sin/cosO90度作为0度的).它与直角处标系的转换公式为 y = psn(psin0 .三重积分球而朋标转换公式:3) 利用对称性三重积分与二重积分有相同的对称性，对称性包括奇偶性和轮换对称性两人类:(1)奇偶性：假设积分区域关于坐标平面xOp对称，则0, /(x,
6、 y, z)关于z为奇函数卩/(兀,y, z)dv = 2出/(兀,y, z)dv, /(兀,y z)关于z为偶函数(2)轮换对称性:假设积分区域关于平而= x对称，则lfl/(x,y,z)c/v= fff/(y,x,z)c/v.2. 曲线积分1. 基本概念1) 对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)物理背景，粗细不均的曲线形物件的质量.定义：设厶为XOY平面内的一条光滑曲线，函数/(兀)在该曲线上有界将厶分为个 小段，设第z个小段的长度为 H 在第j个小段上任取一点g, 7)，作和式工込 如果当各小段的最大长度2 TO时，该和式的极限存在，我们就把该极限称为函数/(X)在曲线厶上对弧长的曲线积分
7、或第一类曲线积分，记作/(x,yds.2) 对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)物理背景，变丿J沿曲线做的功.定义：设厶为XOY平面内从/点到3点的一条有向光滑曲线,函数P(x)，O(x,y)在该 曲线上有界将厶分为/7个冇向弧段,在第7个小段上任取一点(6，J，作和式与如果当各小段的最大长度几TO时，和式7=1 i=工p(&，m 的极限存在，我们就把该极限称为函数/(X)在曲线厶上对处标*的曲线 /=!积分，记作(4兀刃弘类似地，如果和式乞Pg,77闷 的极限存在，我们就把该极限/=1称为函数f(x,y)在曲线厶上对坐标夕的曲线积分，记作Q(x,y)dy.上述定义可以推广到三维的情况.注：要结
8、合物理背景理解第二类曲线积分.(P(x),0(x)可以理解为变力由物理知 识可知力在甌甌+|上所做的功nJ近似地计算为F (纟，) Mg =m，Q(&, U) a, Ayz) = P(&, 7)0 + Q(6，U)Ay，而和式+0(6，%)Ax则近似农示变力F沿着曲线厶从A到B所做的功当/=1划分取得无限细时，可知该和式的极限LP(x,y)dx+ 0(x,y)dy实际就是变力&在有向 弧段厶所做的功，该和式记作Px,y)dx+Qx,y)dy= Fx,y)dr.2. 基本性质1) 对弧长的曲线积分的性质 线性性：(a/(x,y) + 0g(x)M = a/(x)ds + 0g(x,y)d&；(2
9、)对积分弧段的可加性： f (x, y)ds = J /(x, y)ds+ J /(x, y)ds,(厶 U 厶2 =厶厶 D d = 0)；1 2 比较定理：f (x, y)ds g(x, y)ds. f (x, y) g(x, y):(4)对称性： a奇偶性：假设厶关于y轴対称，则 0, f(x,y)关丁N是奇函数ZW +/(“)俎/(“)关丁，是偶函数其屮厶是L在第一四象限内的部 分.b轮换对称性：假设厶关于直线尹=兀对称，则2) 对坐标的曲线积分的性质 a.线性性： aP(x, y)dx + /3Q(x, y)dy 二 & J P(x,y)dx + 0 J Q(x, y)dyb对积分弧
10、段的可加性：P(x, y)dx + Q(x,y)dy=J l、P(x,y)dx + Q(x, y)dy + J P(x,y)dx + Q(x, y)dy,(Lt QL2 =0,L =厶 U 厶2)；F(x,y)dr ；d对称性：假设厶关于y轴对称，则F(x9y)drc设有向弧段厶的反向弧段为匸,贝惰其屮厶是厶在第一四象限内的部分.3) 两类曲线积分的关系| Pdx + Qdy- Rdz = J Pcosq + 0cos 0 + 7?cosy0s.3. 重要公式定理1) 格林公式定理：设闭区域D由分段光滑Illi线厶围成，函数P(x,y)及0(x)在D上具有连续的一阶偏导数，则有:注：花运用时要
11、注意检验P(x,y)及是否具有所需的连续的一阶偏导数.该公式的意义在于将对坐标的曲线积分转化为我们相对比较熟悉的二重积分，降低了计算难 度.同时，由该定理出发还可以得到如下结论：2) 平面上曲线积分与积分路径无关的条件设函数P(x, y)及Q(x,y)在单连通区域G上具冇连续的一阶偏导数.我们想要讨论对坐标的曲线积分+ 0(x,y)妙在什么条件下只与厶的起点A 和终点B有关，而与具体的积分路径无关.设厶,厶是从A到B的两条分段光滑1111线，则+ Q(x,y)dy当且仅当P(x,y)dx + Q(x,y)dy= P(x,y)dxJ/-I j/jP(x,y)dx + g(x,y)dy + P(x
12、,y)dx + y)dy = 0 (其中厶;表示厶？的反向路径)若令厶二厶U厶；，则厶就成为区域G内的一条分段光滑的曲线由上述讨论nJ知,P(x,y)dx + Q(x,y)dy = P(x, y)dx + Q(x, y)dy 当 且 仅 当 J厶 JZ*2f Py)dxQ(x,y)dy = ()(其中积分方向取正向边界).J厶再设D是曲线厶所围成的区域，则由格林公式可得：iPdx + Qdy = | 雲-甞 dxdy. 趴 ox Sy)也就是说，如果要求曲线积分Py)dx + Qy)dy在区域G内为积分路径无关则有口(型兰)次妙=0,其屮D为G内任一子区域.而川(越竺肚妙二。对任意区域 北 d
13、x dy 计 8x dyD成立又要求有譽-齐0成立由此我们可以得到如下定理:定理：设函数P(x,y)及0(x,y)在区域G上具有连续的一阶偏导数，则曲线积分P(x,y)dx+ Qy)dy在G内与积分路径无关的充要条件是拏=迟在G内恒成立. ex dy3) 二元函数的全微分定理：设函数尸(兀刃及0(兀刃在单连通区域G上具冇连续的一阶偏导数，则P(x,y)dx + Q(x,y)dy在G内为某一函数的全微分的充分必要条件是越=兰在G内恒 dx dy成立.先取定G内一定点(x0,y0),则原函数ux,y)的计算公式为ux,y) = Pdx + Qdy,中厶(x,y)为从点(心几)到(x,y)的任意路径
14、为计算简便起见，可以选择与兀轴及y轴平行的垂直折线，具体的计算公式为f P(x()/+ f Q(x,y)dy 或f P(x,y)dx+Q(x0,y)(Jy.y() Jx。 Jy()4. 主要计算方法1) 对弧长的曲线积分的计算方法设曲线厶的参数式为J * = %(Z),at(3,则有计算公式： f(x,y)ds = /(兀,W)J(x a)+(/)t.注：对该公式可以结合曲线弧氏计算公式来记忆，具体证明过程要了解.计算时要注意，积 分上限一定要大于下限该公式还可以推广到三维，设三维曲线厶的参数式为X = x(t) y-y(f).atp ,则有计算公式Z = z(/) f(X, y)ds = /
15、(x(Z), y(tz(/)(x(/) + (;/(/) +(z(/)dt.特殊形式：如果曲线厶是由函数y = f(x)9axb决定的，相应的计算公式可改为 P(x,y)dx + Q(x,y)dy = P(x(Z), y(f)x (/) + 0(x(/), y(t)y (f)dt.参数式如果曲线厶是由极朋标方程r = pOad 0决定的，相应的计算公式可改为特殊形式：如果曲线厶是山函数y = fxax 0 ,因此(AS)” = cosySi =(Aq)“(其中(AcrJ是面积元A5在XOY平而上的投影)因此，我们有/=1 /=1令几TO即可得到Rx,y,z)dxdy = ,y,z(x,y)dx
16、dy. 为 %,计算吋，首先将变量z转化为z(x,y),最后再确定曲而在XOY平而上的投影即可.注意，如果积分是取的1111面的下侧的话，公式应该札I应地变为07?(兀,y, z)dxdy = -jjR(x, y, z(x9 y)dxdy. 4,同样地，我们还有公式P(x,y,z)dydz = P(x(y,z),y,z)cfydz (其中积分取曲而指向x轴正方向一侧).2 Dy:Qxyy,z)dzdx= jjQ(x,y(z,x),z)dzdx (其屮积分取曲面指向y轴正方向一侧).3) 利用两类曲面积分的关系JJ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = |J(Pcosa + 0cos
17、p + 7?cos/)dS，结合对面积的曲面积分的计算公式,我们可以得到对坐标的曲面积分的计算公式:其中工是由函数z = z(x,y)决定的曲面的上侧由多元函数的几何应用可知，曲面z = z(x.y)上侧的点(兀尹二(兀)处的外法线方向的方向向量(cos a. cos 0、cos /)=(-zv,-zv,l) 进而由对面积的IW面积分的计算公式我们有:Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = JJ Z S Jl + (zJ+CJ1PzxQZy+%ds= -P-zx-Q-zv+Rdxdy,Sy其中2,是曲面E在XOY平面上的投影当曲面是兀=x(y,z)，或尸y(x,z)时我们也有相丿应形式
18、的公式.4) 利用高斯公式高斯公式的应用与第二类曲线积分的格林公式的应用比较接近.4. 场论初步1. 散度向量值函数, = (P,Q,R)的散度定义为等+詈+詈，记作div：2. 向量值函数v = (P,Q,R)的旋度定义为(8RdQ dPdR5QdPl勿dz dzdx，&莎丿,记作rotu旋度的计算公式也可以写为ddxPkd&R旋度III考点精讲1. 三重积分的计算1. 利用直角坐标其中 fl:%? + y2 2z,z 2 .【例 1：计算 (x2+y2)dxdydz , 答案：16兀 3【例 2】：计算 + y2dxdydz ,其中 Q 由 z = x2 + y2,z = ,z = 2 围
19、成.【例 3】：i| I - xydxdydz，其中。由 z = xy,x + y = 1 及 z = 0 围成.答案:【例4】：已知/点和B点的直角处标分别为（1,0,0）, （0,1,1）,线段绕Z轴旋转一-周所 成的旋转曲面为S,求由S及两平面z = 0,z = l所围成立体的体枳.答案：TCF(f)二出 z2+/(x2+j【例5】：设/（）连续，雪为空间区域03,兀2+尹2“2 ,令小结：般來说，当积分区域是由旋转Illi面围成或是被积函数为/（Z）或/（x2+/）可以 考虑使用“先二后一进行计算.使用“先二后-法的关键是确定二重积分的积分区域，方法是作-个Mz轴垂直的平面，找 出该平
20、面在积分区域上的截面.2. 利用球面坐标【例 6】：计算/ = JJjz Jx? + 才 + z?dxdydz ,其中 Q 由 x2 +y2 +z2 = 1,z = + J2）围成.答案：.20【例7： zdxdydz其中。是由球面疋+ j? +（z_q）2 = /所围成的闭区域.小结：球面坐标定限的一般方法：1） 画-条从原点出发的射线，使咲穿过积分区域，找出积分区域和该射线和交的部分（结 合图像）.在相交的这一段上 找出Q的最大值和最小值，即为的积分上下限；2） 和0的积分上下限，就是使得该射线积分区域相交的収值范围.考试对三重积分的计算耍求并不高，了解简单的计算方法即可.【例 8 :计算
21、/训（2尹+仃+才）血处,其中0由曲面x2 +y2 +z2 =672,%2 +y2 +z2 = 4a2 x2 +y2 -z2 =0 围成.答案，15龙(兀 2)/8小结：在使用球面处标时，锥面的作用-般是限制的取值范围.【例 9：求 / = Jjj(x3 +y3 + z3) dxdydz Jt 中 0：/ +j? +z2 2z. Q答案：32兀 15 *2. 第一类曲线积分1.直接计算答案:136【例 11【例10】：已知曲线厶：y = x2（0x V2）,贝|J 设 |11| 线 r：x = a cos t,y = asint,z = bt(O t 2)f (x2 + y2 )ds = 答案：2勿2厶2+方2.【例12: Lyds其中厶：（/+尹2）2二兀2 一尹2在第一象限内的部分.答案:【例：设厶lHjtfx2+/ + z2= 1与x = 2p的交线，试计算（5j；2+z2）2.答案：2龙.小结：在计算曲线积分时,曲线上的方程可以直接“代入被积函数,以简化计算.2.借助对称性【例讥设厶为椭圆手+牛1，其周长记为。，则答案：12a.小结：第一类曲线积分打曲面积分冇着打重积分一样的对称性，当积分曲线或曲面关于某一坐标轴 对称或坐标平面对称时，应该首先考虑函数的
