1、名师点睛八年级数学下册同步讲义第02课 勾股定理逆定理+测试题及答案培优第02课 勾股定理逆定理【例1】若ABC三边长满足下列条件，判断ABC是不是直角三角形？若是，请说明哪个教角是直角（1）BC=，AB=，AC=1；（2）ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=n21，b=2n，c=n2+1（n1）【例2】如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。 【例3】如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACB=ECD=90，D为AB边上一点。 求证：ACEBCD；若AD=5，BD=12，求DE的长。【例4】观察下列等式：32+4
2、2=52；52+122=132；72+242=252；92+402=412按照这样的规律，第七个等式是：_。【例5】如图,已知在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为CB的四等分点且CB=4CE.求证：AFFE【例6】如图,已知ABC中,C=90,D为AB的中点,E、F分别在AC、BC上,且DEDF.求证：AE2BF2EF2课堂同步练习一、选择题：1、若线段a，b，c组成Rt，则它们的比可能为( ) A2：3：4 B3：4：6 C.5：12：13 D.4：6：72、ABC中A、B、C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是( ) A如果CB=A，则ABC是直角三角形 B.如果c2=b2a2
3、，则ABC是直角三角形，且C=90 C.如果（c+a）（ca）=b2，则ABC是直角三角形 D.如果A：B：C=5：2：3，则ABC是直角三角形3、ABC的三边为a、b、c，且（a+b）（ab）=c2，则( ) A.ABC是锐角三角形 B.c边的对角是直角 C.ABC是钝角三角形 D.a边的对角是直角4、下列命题中，其中正确的命题的个数为( ) RtABC中,已知两边长分别为3和4,则第三边长为5；有一个内角与其他两个内角的和相等的三角形是直角三角形；三角形的三边分别为a，b，c，若a2c2=b2，则C=90；在ABC中,A:B:C=1:5:6，则ABC是直角三角形 A1个 B2个 C3个 D
4、4个5、如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形的线段是( ) A. CD、EF、GH B. AB、CD、GH C.AB、EF、GH D.AB、CD、EF6、如图，四边形ABCD中，B=D=90，A=45，AB=3，CD=1，则BC的长为( ) A3 B2 C D7、如图,有一块地ABCD,已知AD=4米，CD=3米,ADC=90,AB=13米,BC=12米,则这块地面积为（ ） A60米2 B48米2 C30米2 D24米2 8、在ABC中，C=90，c2=2b2，则两直角边a，b的关系是( ) Aab CA=b D以上三种情况都有可能
5、9、已知a，b，c为ABC的三边长，且满足a2c2b2c2=a4b4，判断ABC的形状（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形10、已知：在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断ABC的形状( )。 A. 直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形11、如图，在55的正方形网格中，以AB为边画直角ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数（） A6 B7 C8 D912、如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA,PB,PC,以BP为边作PBQ=60,且BQ=BP,连
6、结CQ.若PA:PB:PC=3:4:5，连结PQ，试判断PQC的形状（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形二、填空题：13、有四个三角形，分别满足下列条件：（1）一个内角等于另外两个内角之和；（2）三个内角之比为3：4：5；（3）三边之比为5：12：13； （4）三边长分别为7、24、25其中直角三角形有 个14、在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，若a2b2c2，则c为_；若a2b2c2，则c为_；若a2b2c2，则c为_15、已知一个三角形的三边长分别是12，16，20，则这个三角形的面积为 16、如图，D为ABC的边BC上一点，已知AB=13，A
7、D=12，AC=15，BD=5，则BC的长为_17、已知a、b、c是ABC的三边长，且满足关系式+|a-b|=0,则ABC的形状为 。 18、如图，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2，则ABC的面积为_19、如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC，则ABC中BC边上的高是 。 20、如图，ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为Vp=2cm/s，VQ=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t= s时,PBQ为直角三角形三、简答题：2
8、1、如图,有一块地,已知AD=4m,CD=3m,ADC=90,AB=13m,BC=12m.求这块地的面积。 22、如图,是一块四边形绿地的示意图,其中AB长为24米,BC长15米,CD长为20米,DA长7米,C=90.求绿地ABCD的面积 23、已知ABC三边长a,b,c满足a2+b2+c2-12a-16b-20c+200=0,请判断ABC的形状并说明理由.24、已知:ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断ABC是否为直角三角形. 25、如图,已知一块四边形草地ABCD,其中A=45,B=D=90,AB=20m,CD=10m,求这块草地的面积26、在甲村
9、至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CACB，如图所示为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明勾股定理逆定理同步测试题1、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( ) A6，8，10 B5，12，13 C1，2，3 D9，12，152、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） 3、三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角
10、形是( ) A等边三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D锐角三角形4、若ABC的三边a、b、c，满足（ab）（a2b2c2）=0，则ABC是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形5、下列说法中, 不正确的是 ( ) A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形 B. 三个角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形 C. 三边长度之比为3:4:5的三角形是直角三角形 D. 三边长度之比为5:12:13的三角形是直角三角形6、有长度为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm的五根木棒,可搭成（首尾连接）直角三角形的个数为（ ） A.
11、1个 B.2个 C.3个 D.4个7、有下列判断:ABC中，则ABC不直角三角形；ABC是直角三角形，则；ABC中，则ABC是直角三角形；若ABC是直角三角形，则（，正确的有（ ） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个8、如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ） A2 B C D 9、如图,有一块地,已知AD=4米,CD=3米,ADC=90,AB=13米,BC=12米,则这块地的面积为( ) A. 24平方米 B. 26平方米 C. 28平方米 D. 30平方米10、在下列条件中：在ABC中,A:B:
12、C=1:2:3；三角形三边长分别为32，42，52；在ABC中,三边a，b，c满足(a+b)(a-b)=c2；三角形三边长分别为m-1,2m,m+1(m为大于1的整数)，能确定ABC是直角三角形的条件有( ) A1个 B2个 C3个 D4个11、在ABC中，如果（a+b）（ab）=c2，那么 =9012、若三角形三边分别为6，8，10，那么它最长边上的中线长是 13、某住宅小区有一块草坪如图4所示，已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且ABBC，这块草坪的面积是 。14、若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数),则以a-2、a、a+2为边的三角形面积为 15、
13、在ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是_16、如图,RtABC中,ACB=90,ABC=60,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着ABA的方向运动,设E点的运动时间为t秒,连接DE,当BDE是直角三角形时,t的值 17、如图,一块地,已知AD=4m,CD=3m,ADC=90,AB=13m,BC=12m.求这块地的面积。 18、如图，已知ADC=90，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24（1）证明：ABC是直角三角形（2）请求图中阴影部分的面积19、如图，在ABC中,ABC=45,CDAB,BEAC,
14、垂足分别为D、E,F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,ABECBE(1)求证：BH=AC；(2)求证：BG2GE2EA220、已知a、b、c为ABC的三边,且满足a2c2b2c2=a4b4，试判断ABC的形状解：a2c2b2c2=a4b4，c2（a2b2）=（a2+b2）（a2b2）c2=a2+b2ABC是直角三角形问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；（2）错误的原因为 ；（3）本题正确的解题过程：例题答案详解【例1】解：（1）（）2+12=（）2，BC2+AC2=AB2ABC是直角三角形；（2）（n21）2+（2n）2=n4+2n2+1=（n2
15、+1）2，a2+b2=c2，ABC是直角三角形【例2】解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3)20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3，b=4，c=5。 32+42=52, a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。 【例3】通过SAS证明全等 13【例4】152+1122+1132.【例5】提示：连结AE，设正方形的边长为4a，计算得出AF，EF，AE的长，由AF2EF2AE2得结论【例6】提示：延长FD到M使DMDF，连结AM
16、，EM课堂同步参考答案1、C 2、B 3、D 4、B 5、C 6、D 7、D 8、C 9、D 10、A 11、C 12、A13、答案为314、锐角；直角；钝角 15、96 16、1417、等腰直角三角形 18、6提示：延长AD到E，使DEAD，连结BE，可得ABE为Rt19、20、或 21、2422、【解答】解：连接BD如图所示：C=90，BC=15米，CD=20米，BD=25（米）；在ABD中，BD=25米，AB=24米，DA=7米，242+72=252，即AB2+BD2=AD2，ABD是直角三角形S四边形ABCD=SABD+SBCD=ABBD+BCCD=247+1520=84+150=23
17、4（平方米）；即绿地ABCD的面积为234平方米23、a=6, b=8, c=10, 直角三角形24、证明： 所以ABC是直角三角形.25、150m2提示：延长BC，AD交于E26、解：公路AB需要暂时封锁理由如下：如图，过C作CDAB于D因为BC=400米，AC=300米，ACB=90，所以根据勾股定理有AB=500米因为SABC=ABCD=BCAC所以CD=240米由于240米250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁 同步测试题参考答案1、C 2、C 3、C 4、C 5、B 6、B 7、C 8、C 9、A 10、B 11、9012、513、36 14、8提示：7a9，a8 15、10
18、8 16、2,6,3.5,4.5 17、2418、解答】（1）证明：在RtADC中，ADC=90，AD=8，CD=6，AC2=AD2+CD2=82+62=100，AC=10（取正值）在ABC中，AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676，AC2+BC2=AB2，ABC为直角三角形；（2）解：S阴影=SRtABCSRtACD=102486=9619、证明：（1）CDAB，BEAC，BDH=BEC=CDA=90，ABC=45，BCD=180-90-45=45=ABCDB=DC， 1BDH=BEC=CDA=90，A+ACD=90，A+HBD=90，HBD=ACD， 在DBH和DCA中，BDHCDA BDCD HBDACDDBHDCA（ASA），BH=AC（2）连接CG， 由（1）知，DB=CD，F为BC的中点，DF垂直平分BC，BG=CG，点E为AC中点，BEAC，EC=EA，在RtCGE中，由勾股定理得：CG2-GE2=CE2，CE=AE，BG=CG，BG2-GE2=EA2 20、【解答】解：（1）（2）除式可能为零；（3）a2c2b2c2=a4b4，c2（a2b2）=（a2+b2）（a2b2），a2b2=0或c2=a2+b2，当a2b2=0时，a=b；当c2=a2+b2时，C=90，ABC是等腰三角形或直角三角形故答案是，除式可能为零
