1、课时作业46立体几何中的向量方法课时作业(四十六)立体几何中的向量方法一、选择题1平面的一个法向量为n(1,2,0)，平面的一个法向量为m(2，1,0)，则平面和平面的位置关系是()A平行 B相交但不垂直C垂直 D重合答案：C解析：n(1,2,0)，m(2，1,0)，mn2200，即mn，.2设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k等于()A2 B4C4 D2答案：C解析：，k4.3(2015济南模拟)已知平面内有一个点A(2，1,2)，的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1,1) BC. D答案：B解析：对于选项A，(1,0,1
2、)，则n(1,0,1)(3,1,2)50，故排除A；对于选项B，则n(3,1,2)0，B正确；对于选项C，n(3,1,2)60，C不正确；对于选项D，n(3,1,2)120，D不正确故应选B.4如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1，AD2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系为( )A平行 B异面C垂直 D以上都不对答案：C解析：以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，依题意，可得D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)(，1，)，(，2,0)，(，
3、1，)(，2,0)0，即，AMPM.5在正四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PAPBPCa，则点P到平面ABC的距离为()A. BaC Da答案：B解析：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，则P(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)过点P作PH平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离PAPBPC，H为ABC的外心又ABC为正三角形，H为ABC的重心，可得H点的坐标为.PHa.点P到平面ABC的距离为a.6(2015昆明模拟)如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC平面PAB，PAAB，M为
4、PB的中点，PAAD2.若AB1，则二面角BACM的余弦值为()A. BC. D答案：A解析：BC平面PAB，ADBC，AD平面PAB，PAAD，又PAAB，且ADABA，PA平面ABCD.以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，B(0,1,0)，M，(2,1,0)，易求得平面AMC的一个法向量为n(1，2,1)，又平面ABC的一个法向量(0,0,2)，cosn，.二面角BACM的余弦值为.二、填空题7如图所示，在三棱锥ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC9
5、0，点E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_答案：60解析：以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系设ABBCAA12，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则(0，1,1)，(2,0,2)，2，cos，EF和BC1所成的角为60.8如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是_答案：平行解析：正方体棱长为a，A1MAN，()().又是平面B1BCC1的法向量，0，.又MN平面B1BCC1，MN平面B1BCC1.9设正方体ABCDA1B1C1D
6、1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是_答案：解析：如图，建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0)，设平面A1BD的一个法向量为n(x，y，z)，则令x1，则n(1，1，1)，点D1到平面A1BD的距离d.三、解答题10(2015济南一模)如图，四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，ABDC，ADDC，ABAD1，DC2，PD，M为棱PB的中点(1)证明：DM平面PBC；(2)求二面角ADMC的余弦值解：(1)证明：连接BD，取DC的中点G，连接BG，由此知DGGCBG1，即DBC为直
7、角三角形，故BCBD.又PD平面ABCD，故BCPD，所以BC平面BDP，BCDM.又PDBD，PDBD，M为PB的中点，DMPB.PBBCB，DM平面PBC.(2)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0，)，从而M，设n1(x，y，z)是平面ADM的法向量，则即所以可取n1(0，1)同理，设n2(x0，y0，z0)是平面DMC的法向量，则即所以可取n2(，0，1)，所以cosn1，n2.显然二面角ADMC的大小为钝角，所以二面角ADMC的余弦值为.11(2015德州模拟)在直角梯形ABCD中，ADC90，CDA
8、B，AB4，ADCD2，M为线段AB的中点，将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得几何体DABC.(1)求证：BC平面ACD；(2)求二面角ACDM的余弦值解：(1)证明：由条件，知AC2，CAB45，AB4，由余弦定理，得CB28，CB2，AC2BC2AB2，ACBC.又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，BC平面ACD.(2)取AC的中点O，连接DO，MO，DOAC，DO平面ABC，OMBC，ACBC，OMAC.建立如图所示的空间直角坐标系，M(0，0)，C(，0,0)，D(0,0，)(，0)，(，0，)设n1(x，y，z)为平面CDM的法向量，则即令x1，得n1(1,
9、1,1)由题意，得n2(0,1,0)为平面ACD的一个法向量，cosn1，n2.二面角ACDM为锐角，二面角ACDM的余弦值为.12(2015衡水二模)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O为AD中点(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；(2)求点B到平面PCD的距离；(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角QACD的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：(1)在PAD中，PAPD，O为AD中点，所以POAD，又侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面P
10、AD，则PO平面ABCD.又在直角梯形ABCD中，连接OC，易得OCAD，所以以O为坐标原点，直线OC为x轴，直线OD为y轴，直线OP为z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，(1，1，1)，易证OA平面POC，(0，1,0)是平面POC的法向量，cos，.直线PB与平面POC所成角的余弦值为.(2)(0,1，1)，(1,0,1)，设平面PDC的一个法向量为(x，y，z)，则取z1，得(1,1,1)B点到平面PCD的距离d.(3)存在设(01)，(0,1，1)，(0，)，(0，1)，Q(0，1)设平面CAQ的一个法向量为m(x，y，z)，则取z1，得m(1，1，1)，又平面CAD的一个法向量为n(0,0,1)，二面角QACD的余弦值为，|cosm，n|，得321030，解得或3(舍)所以存在点Q，使得二面角QACD的余弦值为，此时.
