1、完整版圆锥曲线知识点+例题+练习含答案整理docx圆锥曲线一、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数（大于 | F1 F2 |）的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意： 2a | F1F2 | 表示椭圆； 2a | F1F2 | 表示线段 F1 F2 ； 2a | F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在 x 轴上 中心在原点，焦点在 y 轴上标准方程图 形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(a b 0)yB 2yB 2PF2PA 1A 2xA 1xA 2OF1O
2、 F21B 1FB 1顶 点对称轴焦 点焦 距离心率通 径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a)x 轴， y 轴；短轴为 2b ，长轴为 2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2a 2b 2ec (0e 1) （离心率越大，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3常用结论： （1）椭圆 x2y21(a b 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ，过 F1的直线交椭圆于 A, B 两a2b
3、 2点，则 ABF 2 的周长 =（2）设椭圆 x2y222 1( a b 0) 左、右两个焦点为 F1, F2 ，过 F1且垂直于对称轴的直线ab交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |二、双曲线：1（ 1）双曲线的定义：平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于 | F1F2 | ）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意： | PF1 | PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表示双曲线的一支。2a | F1 F2|表示两条射线； 2a| F1F2 |没有轨迹；（
4、2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在 x 轴上中心在原点，焦点在 y 轴上标准x2y21( a 0,b 0)y2x21(a 0, b 0)22方程a 2b 2abPy2F图形PyB2xxF1 A 1O A 2 F2OB1F1顶 点对称轴焦 点焦 距离心率渐近线A1 ( a,0), A2 ( a,0)B1(0,a), B2 (0, a)x 轴， y 轴；虚轴为 2b ，实轴为 2aF1 ( c,0), F2 ( c,0)F1 (0,c), F2 (0, c)| F1F2 | 2c(c 0)c 2a 2b2ec (e 1) （离心率越大，开口越大）ay b x y a xa b
5、通 径2b2a（3）双曲线的渐近线：求双曲线 x 2y21的渐近线，可令其右边的1 为 0，即得 x2y 20 ，因式分解得到 xy0 。a 2b2a2b2ab与双曲线 x2y 21共渐近线的双曲线系方程是x2y2；a2b 2a 2b 2（4）等轴双曲线为x 2y2t 2 ，其离心率为22（4）常用结论：（ 1）双曲线 x2y 21(a 0, b 0)的两个焦点为 F , F，过 F的直线交双曲线a2b 2121的同一支于 A, B 两点，则ABF 2 的周长 =（2）设双曲线 x2y 21(a0, b 0)左、右两个焦点为F , F，过 F 且垂直于对称轴的a2b 2121直线交双曲线于 P
6、, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质： p 0焦点在 x 轴上，焦点在 x 轴上，焦点在 y 轴上，焦点在 y 轴上，开口向右开口向左开口向上开口向下标准y 22 pxy 22 pxx22 pyx22 py方程lyPPyylylOxx图形PF xxOFFOPFOl顶点O(0,0)对称轴x 轴y 轴焦点F ( p ,0)F (p ,0)F ( 0, p)F ( 0,p )2222离心率e1准线xpxpypyp222
7、2通径2 p焦半径| PF | x0|p| PF | y0|p22焦点弦焦准距p3四、弦长公式： | AB |1k 2 | x1x2 | 1k 2( x1 x2 ) 24x1 x21 k 2| A |其中 , A, 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程, 消去 y 后所得关于 x 的一元二次方程的判别式和 x2 的系数求弦长步骤：（ 1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y, 得关于 x 的一元二次方程 Ax2Bx C0, 设 A( x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，由韦达定理求出 x1x2B ，C ；（ 3）代入弦长公式计算。Ax1 x2A法（二）若是联立两方程
8、，消去x, 得关于 y 的一元二次方程 Ay 2ByC0,则相应的弦长公式是： | AB | 1(1) 2 | y1y2 | 1 (1)2( y1 y2 )24 y1 y21 (1)2| A |kkk注意（ 1）上面用到了关系式 | x1 x2 | ( x1 x2 ) 24x1 x2和| A |y1 y2( y1y2 ) 24 y1 y2| A |注意（ 2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法五、弦的中点坐标的求法法（一）：（ 1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（ 2）联立
9、两方程，消去 y, 得关于 x的一元二次方程 Ax 2Bx C0, 设 A( x1 , y1 ) ，B( x2 , y2 ) ，由韦达定理求出 x1 x2B ；（3）A设中点 M ( x0 , y0 ) ，由中点坐标公式得 x0 x1 x2 ；再把 x x0 代入直线方程求出 yy0 。2法（二）：用点差法，设A(x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，中点 M (x0 , y0 ) ，由点在曲线上，线段的中点坐标公式， 过 A、B 两点斜率公式， 列出 5 个方程，通过相减，代入等变形，求出 x0 , y0 。六、求离心率的常用方法：法一，分别求出 a,c ，再代入公式法二、建立
10、 a,b,c 满足的关系，消去 b, 再化为关于 e 的方程，最后解方程求 e ( 求 e 时，要注意椭圆离心率取值范围是 0e1，而双曲线 离心率取值范围是 e1)4例 1：设点 P 是圆x2y24上的任一点，定点D的坐标为（，），若点M 满足80uuuuruuuurPM2MD 当点 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹方程解 设点 M 的坐标为 x, y ，点 P 的坐标为 x0 , y0uuuuruuuur，由 PM2MD ，得 x x0 , y y02 8 x, y ，即 x0 3x 16 ， y03y 因为点 P x0 , y0在圆 x2y24 上，所以 x02y024 即 3x162
11、2，3y41624 ，这就是动点 M 的轨迹方程即 xy239例2：已知椭圆的两个焦点为（ -2，0），（ 2,0）且过点 ( 5 , 3) ，求椭圆的标准方程2 2解法 1因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为x2y2b 0) ，a2b21(a由椭圆的定义可知：2a(523252322102） （20）(2） （20）22a10 又 c2,b2a2c26 所以所求的标准方程为x2y21106解法 2Q c2,b2a2c2a24 ，所以可设所求的方程为x2y241，将点 ( 5 ,3)a2a222代人解得：a10所以所求的标准方程为x2y21016例 3.例4.5高二圆锥曲线练习题
12、11、 F1 ，F2 是定点，且 |F 1F2|=6 ，动点 M满足 |MF1|+|MF 2|=6 ，则 M点的轨迹方程是 ()(A) 椭圆(B)直线(C)圆(D)线段2、已知ABC的周长是 16，A( 3,0)，B,则动点的轨迹方程是 ()( 3,0)(A) x 2y21(B)x 2y 21( y0)(C)x2y 21 (D)x 2y 21( y 0)25162516162516253、已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，则椭圆的离心率等于（）A 1B 3C 1D 333224、设椭圆 C1 的离心率为5 ，焦点在 x轴上且长轴长为 26若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个13焦点的距离的
13、差的绝对值等于8，则曲线 C2 的标准方程为（）A x2y21B x2y21C x2y21D x2y 2142321325232421321225、设双曲线 x2y21 a 0的渐近线方程为3x2 y0，则 a 的值为（） .a29（A）4（B）3（C）2（D）16、双曲线2x2y28 的实轴长是（）（A）2（B） 22（C） 4（D）4 27、双曲线 x2y2=1 的焦点到渐近线的距离为（）412A 2 3B2C 3D 18、以双曲线 x2y21的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）916A x2y210x90B x2y210 x1606C x2y210x160D x2y210x
14、909、过椭圆 x2y2（ ）的左焦点F1 作 x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若a2b2 =1 a b0F1 PF260，则椭圆的离心率为（）A2B 3C 1D 1232310. “ mn 0 ”是“方程 mx2ny21”表示焦点在 y 轴上的椭圆的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件(D)既不充分也不必要条件11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1) 长轴与短轴的和为18，焦距为 6;.(2) 焦点坐标为 ( 3,0) , ( 3,0) , 并且经过点 (2 ， 1);.(3)椭圆的两个顶点坐标分别为 ( 3,0) , (3,0) , 且短轴是长轴的 1
15、 ;3(4) 离心率为3，经过点 (2 ， 0);212、与椭圆 x2y 21有相同的焦点 ，且短 轴长为 2 的椭圆方程是：9413、在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点， 焦点 F1, F2 在 x 轴上，离心率为2 过2F1 的直线 l 交 C 于 A, B 两点，且ABF 2 的周长为 16，那么 C 的方程为：14 、 已知 F1， F2 为椭 圆 x2y21 的两个焦点，过 F1 的直线交椭 圆于 A，B 两点，若259F2 A F2 B12 ，则 AB15、已知x2y2uuuruuuurF21（ a b0）的两个焦点， 为椭圆C上一点，且PF1PF2，F1 、是椭圆 C：a2b2P若 PF1F2 的面积是 9，则 b16、求心在原点，焦点在坐标轴上，且经过P（ 4 ，3 ）， Q （22,3 ）两点的椭圆方程。7圆锥曲线练习题21抛物线 y 210x的焦点到准线的距离是（）5B 515D 10A
