1、完整版求数列通项公式的十种方法例题答案详解求数列通项公式的十一种方法(方法全，例子全，归纳细)总述：一利用递推关系式求数列通项的 11 种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法) 、迭代法、对数变换法、倒数变换法、 换元法(目的是去递推关系式中出现的根号) 、数学归纳法、不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式) 、 特征根法二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三 求数列通项的方法的基本思路是： 把所求数列通过变形， 代换转化为等差数列或等比数 列。四求数
2、列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 五数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。、累加法1适用于： an 1 an f (n) 这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。2若 an 1 an f (n) (n 2) ，a2 a1 f (1)a3 a2 f (2) LLan 1 an f ( n)n两边分别相加得 an 1 a1 f (n )例1已知数列an满足an 1an 2n 1, ai 1，求数列an的通项公式。解：由 an 1 an 2n 1 得 an 1 an 2n 1 则an (an an 1) (an 1 an 2) L 3 a2) (a2 aj a12( n
3、1) 1 2( n 2) 1 L (2 2 1) (2 1 1) 12(n 1) (n 2) L 2 1 (n 1) 1 (n 1)n2 (n 1) 12(n 1)( n 1) 12n2所以数列an的通项公式为an n 。解法一：由an 1ann2 31 得 an 1ann2 31则an (a* an 1 )(an 1an 2) L(a3a2)(a2 a1) a1n(2 31 1)(23n2 1)L (23211) (2 3 1) 312(33n2L32；31)(n 1)3(13n1)2(n1)313n3 3n 133 n1所以an 3nn1.例2已知数列an满足an 1 an 2 3n 1，
4、印3，求数列 佝的通项公式。解法二：时3an 2 31两边除以扌1，得鄴肆3 3an 13nan 2n3 3a3nan3an 1)an 1(an 1an 1an 2)(an 2(尹za2 q 色(32 31)32132)332 32(n 1)313n3n13n2L討 3n 1)112 2 3n2则 an 一 n 3n3数、分式函数，求通项 an则an2n(n 1) ,2n(n 1)此题也可以用数学归纳法来求解二、累乘法1适用于： an 1 f (n )an 这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2若乩 f(n)，则电 f(1),鱼 f(2) LL,，1 f(n)an a1 a2 an
5、两边分别相乘得,an 1aiai f(k)k 1例4已知数列an满足an 12(n 1)5n an, ai 3，求数列an的通项公式。解：因为 an i 2(n 1)5n an, ai3，所以an0，则也an2(n 1)5n ，故anan an 1 |an 1 an 2a2 ai2(n 1 1)5 12(n 2 1)5n 2 L 2(2 1) 522(1 1) 51 32n 1n(n 1) L 3 2 5(n 1 (n 2) L 21 3n(n 1)3 2n 1 5丁 n!则它的通项公式是 ananan2时,评注：本题是关于an和an 1的二次齐次式，可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得
6、到 an与an 1的更为明显的关系式，从而求出 an.练习已知an 1 nan n 1,ai 1，求数列an的通项公式.答案：an (n 1)!(ai 1) -i.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式 an 1 nan n 1,转化为an 1 1 n(an 1),若令bn an 1,则问题进一步转化为bn 1 形式，进而应用累乘法求 出数列的通项公式三、待定系数法 适用于an 1 qan f(n)基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一 个函数。a)型1 形如 an 1 can d,(c ,其中 a1(1)若c=1时，数列 an为等差数列(2)若
7、d=时，数列 an为等比数列；(3) 若c 1且d 时，数列 an为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列 来求.(4)逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系 an 1 can d中把门换成n-1有an can 1 d两式相减有an 1 an c（an an1）从而化为公比为 c的等比数列an 1 an,进而求得通项公式.n / an 1 an C広 ,再利用类型（1）即可求得通项公式 我们看到此方法比较复杂解法一：Qan 2an 1 1(n 2),an 1 2(an 1 1)an 1 2an比数列，再用累加法的（其中q是常数，且n 0,1）若p=1时，即： 1anq :累加即可若
8、P 1时，即： 1 Pnan qn 1a n 1FT3-即: pannqan bn 1 bn p ，则-（-）nq ，然后类型1，累加求通项ii.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列。即:an 1n 1qannqbn令nq ,则可化为R bq q 然后转化为类型5来解,iii.待定系数法:目的是把所求数列构造成等差数列n设 an 1 q1 p(ann P ） 通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项注意：应用待定系数法时，要求p q,否则待定系数法会失效。例7已知数列an满足an 12an 41，求数列 an的通项公式。解法一（待定系数法）:设an13n2(an3n1)比较系数得1 4,
9、 2 2,则数列an 4 3是首项为a14 315，公比为2的等比数列,n 1所以an 4 35 2n 14 3n 15 2n 1解法二（两边同除以）：两边同时除以n 13 得:an 1尹2a33n432，下面解法略解法三（两边同除以1):an 13 .形如an 1 pankn方法1 :逐项相减法（阶差法）方法2:待定系数法通过凑配可转化为(an xn两边同时除以2n1 得:an三刖，下面解法略解题基本步骤:（其中k,b是常数,y) p(an 1 x(n)1) y).1、 确定 f(n)=kn+b2、 设等比数列bn (an xn y)，公比为p3、 列出关系式(an xn y) P(an1
10、X(n 1) y),即 bn pbn14、 比较系数求x,y5、 解得数列(an Xn y)的通项公式解得数列 an的通项公式8在数列%中，a1 1务13an 2n，求通项冇.(逐项相减法)解. a n 1 3a n 2 n,an 6n 9 9 Q)n2an9 (2)n6n 94形如an 1 pan a n b n c (其中a,b,c是常数，且a )基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。比较系数得x 3, y 10, z 18，2 2所以 an 1 3(n 1) 10(n 1) 18 2(an 3n 10n 18)n 4 22 3n 10n 18。2
11、 n 1an 3n 10n 18 32 2 ，则 an5形如an 2 pan 1 qan时将an作为f (n)求解，数列分析：原递推式可化为 an 2 an 1 ( p )(an 1 an)的形式，比较系数可求得an 1 an为等比数列。例11已知数列an满足an 2 5an 1 6和印 1,a2 2，求数列an的通项公式。解.设 an 2 an 1 (5 )(an 1 an)比较系数得 3或 2，不妨取 2 ,(取-3结果形式可能不同，但本质相同)则an 2 2an 1 3(an 1细)，则an 1 2an是首项为4，公比为3的等比数列an 1 2an4 3n 1，所以an4 3n 1 5
12、2n 1练习数列a,中,a1 8,去 2,且满足 an 2 4an 13a n 0 求 an答案：an113n四、迭代法anrPan（其中p,r为常数）型例12已知数列an满足an 1a3(n 1)25，求数列an的通项公式。解：因为an 13( n 1)2 nan ，所以an a；n121a3(n 2) 2an 333(n 2)(n an 3an La3(：1)2nj3n2n1 332(n 1) n 2(n 2) (n 1)1)n 2(n 3) (n 2) (n 1)3a11 23L L (n 2) (n 1) n 21 2 L L (n 3) (n 2) (n 1)n( n 1)1 n!
13、2 2又a1 5，所以数列an的通项公式为ann(n 1)3n 1 n! 2 25注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。五、对数变换法 适用于an 1rPan（其中p,r为常数）型p0, an 0例14.设正项数列an满足a11 an2a2 1(n2) 求数列an的通项公式解：两边取对数得:log an 12 log an 1log an1 2(log an11)a设 bn log2n 1，则bn2 bn 1bn是以2为公比的等比数列,1b1 log 2bn 1 2n 1 2n 1log；2nlog；n2n 1 1 . an 22练习数列an中,a11 , % 2妞1 （n2
14、）,求数列的通项公式答案:an例15已知数列an满足an 1n 52 3 an , ai 7 ,求数列务的通项公式。7 ,所以 an 0, an 1 0。两边取常用对数得lg an 15lg an n lg3lg2设 lg an1 x(n1) y5(lg an xn y)（同类型四）比较系数得，xlg3 lg3 lg2416 4由lg印lg3-1lg3lg2 lg3lg71 -lg3lg20,得4164 4164所以数列lganlg3n是以lg 7lg3lg3lg2416 44164则 lg anlg3-n3 2 (lg7 3lg3-lg2)5n1，因此4164 4164lg an(lg7lg
15、3 lg3lg 2 n 1 lg 3n 3lg24 164 46411 1n 11lg(734316 24)5n 1 lg(34 31624)11 1n 11lg(734316 24)5n 1lg(34 316 24)5n 4n 15n 1 15 n 1lg(73 162 4 )5n4n 15n 1 1则a5n 175316 24。ai为首项，以解：因为 an i 2 3n a；.n 4里口里咗0，16 45为公比的等比数列,六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项2a例16已知数列an满足an 1 n , a1 1，求数列an的通项公式。an 2解：求倒数得an 1an an
16、1an12an 11 1 1 为等差数列，首项 1，公差为一，an a1 2ai丄1(nan 21),an七、换元法适用于含根式的递推关系1例17已知数列an满足an 1 （1164an 1 24an ），印1，求数列务的通项公式。解：令bn 11 24an，则an 刃(bn21)代入an 11存1 4an 1 24an)得丄(b；2411）押142： 1）和即 4b； 12(bn 3)24an则 2bn 1bn3，即bn1知可化为bn13 2(bn 3)，所以bn3是以 b 3 , 1 24a!A.1 24 1 3 2为首项，以一为公比的等比数列，因此2bn1 n 1 1 n 2 13 2(
17、2) (2)，则 bn (2)n22 3，即,124an(2)n 2 3，得2an八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前法加以证明。n项,猜出数列的通项公式，再用数学归纳例18已知数列an满足an1 an8(n 1)(2n 1)2 (2 n 3)2，a18,求数列an的通项公式。98(n 1)解：由 an1 an (2n 1)2(2n 3)28及a1 ，得9a18(1 1)8 8 22421(2121) (2 13)29 92525a3a28(2 1)248348(2221) (2 23)225254949a4a38(3 1)488480(231)2(2 33)249498181由此
18、可猜测an(2n 1)2 1F面用数学归纳法证明这个结论。2(2n 1)由此可知，当n k 1时等式也成立。九、阶差法（逐项相减法）1、递推公式中既有 Sn,又有an方法求解。16(an 1)(an 2)，且a2,a4,a9成等比数列，求数列an的通项公式。解:-对任意 nN有 Sn (an61)(an 2)当n=1 时，S1印1(a1 1)(a162)，解得a11 或 a1 2当n2时，Sn 116(an1 1)(an12) -整理得：(an an 1 )( an an 13) 0aln各项均为正数，an an 13当ai1 时，an3n22，此时a4a?a9成立当42 时，an3n21，此
19、时a4a?a9不成立，故a1 2舍去所以an 3n 2练习。已知数列、 1 2an中,an 0 且 Sn (玄门 1)2,求数列an答案：SnSn 1an(an 1)2 (an1 1)22、对无穷递推数列的通项公式an 2n 1由 an a1 2a2 3氏 L (n 1)an 1( n 2),取 n 2得 a2 a1 2a2，则 a2 a1，又知 a1 1 ,则a2 1，代入得an 1 3 4 5 L n -n I所以，%的通项公式为an 2D，使f(Xo) Xo成立，则称X0为十、不动点法 目的是将递推数列转化为等比(差)数列的方法不动点的定义：函数 f(x)的定义域为D，若存在f(x)x0
20、f (x)的不动点或称(Xo, f (Xo)为函数f(X)的不动点。分析：由f (x) X求出不动点x0，在递推公式两边同时减去 x0，在变形求解。类型一：形如an 1 qan d例21已知数列an中，ai 1,an 2a. 1 1(n 2)，求数列 昂 的通项公式。解：递推关系是对应得递归函数为 f(x) 2x 1，由f (x) x得，不动点为-1二 an 1 1 2(an 1),分析：此类问题常用参数法化等比数列求解 解：对等式两端同时加参数 t,得：5an 4 t (2t 5) an 7t2an 7 2an 7(2t5)an7t 42t 52an 77t 4令t亍，解之得t=1,-2an
21、 t代入 an1 t (2t 5)得1 3旦2an相除得an 1 1an 1 21 一1,即色3 a n 2 ana1 1a1 2公比为的等比数列，an 1 = 1 an 2蔦31 n解得an4 3n亍1 1方法2:an 1 12an 7两边取倒数得1an 1 12an 73(an1)1) 93(an 1)2(anan令bn则bn3bn ,转化为累加法来求例23已知数列an满足an21an4an241解：令21x4x241得4x220x 24 0动点。因为24a1 4，求数列，则 Xi 2，X2an 121an4an 121an 244anai 2a1 3an的通项公式。3是函数f（x）21x
22、 2421x 24的两个不4x 121an 24 2(4an 1)13an 2621an24 3(4an 1)13以13为公比99an2713旦。所以数列an 3 anan3。I一。特征方程法形如anpan 1qan(p,q是常数)的数列形如 a1 m1,a2m2, an 2pan 1 qan （p, q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项an ,其特征方程为2x pxq若有二异根，则可令an C1 nC （C1, C2是待定常数）若有二重根，则可令an （C1 nC2） n（C1,C2是待定常数）再利用a1 m1, a2m2,可求得c1,c2，进而求得an例24已知数列 an满足a1
23、 2, a2 3耳2 3a. 12an(n N ),求数列 an的通项an解：其特征方程为2 小x 3x2，解得Xi1,X2n令 an C1 1nC2 2 ,ai由a2C| 2c2C| 4c23,得例25、数列an满足ai解:anan 12an25X2942an254_2an 294c 29 252 an42an 2942an求数列an的通项。29 254解得11,25，将它们代回得，an 1an 1 2- 292an4,25an225an 7_2942an十,25an 14an 1 1an25Aan 1,2541254an则Ig -an 1 12lg25A 数列 an 1ananIg成等比数列，首项为1，公比q=2an25an 所以Ig 4 an 1251 an -72n1，则4an 1n 110an25 “10A2n 1102 12“ 1十二、基本数列1 形如an 1an f（n）型 等差数列的广义形式，见累加法。2.形如屯2anf(n)型 等比数列的广义形式，见累乘法。3.形如an 1an f(n)型(1)若 an 1an d(d为常数)，则数列 an为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为 2，an f(n)型，通过累加来求出通其通项分奇数项和偶数项来讨论(2)若f(n)为n的函数(非常数)时，可通过构造转化为 an 1
