1、中考圆知识点总结复习初中圆复习、圆的概念集合形式的概念：1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2 、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 （也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两 条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且
2、到两条直线距离都相等 的一条直线。点与圆的位置关系d r 点C在圆内;d r 点 B 在圆上；d r 点A在圆外;1、点在圆内2、点在圆上3、点在圆外直线与圆的位置关系四、圆与圆的位置关系外离（图1） 无交点 d R r ；外切（图2） 有一个交点 d R r ;相交（图3） 有两个交点内切（图4） 有一个交点 d R r ；内含（图5） 无交点 d R r ；五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1:（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦
3、，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可 推出其它3个结论，即：AB是直径 AB CD CE DE 弧BC 弧BD 弧AC 弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。推论 2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O O 中， AB / CD弧 AC 弧 BD六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即： AOB DOE : AB DE ;OC OF ;弧BA弧BD七、圆周角定理1 、
4、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： AOB和 ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 AOB 2 ACB2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧;即:在。O中C、 D都是所对的圆周角CD推论 2 ：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是 直径。即：在O O中， AB是直径 或 C 90 C 90 二AB是直径推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在厶ABC中OC OA OB ABC是直角三角形或 C 90注意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论
5、： 在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半 的逆定理。八、 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在。O中，四边ABCD是内接四边形 C BAD 180 B D 180DAE C九、 切线的性质与判定定理1 、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即： MN OA且MN过半径OA外端 MN是O O的切线2 、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂
6、直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分 两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线 PA PB; PO 平分 BPA十一、圆幂定理1、相交弦定理 ：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在。O中，弦AB、CD相交于点P , PA PB PC PD推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O O中，直径AB CD , CE AE BE2、 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线 段长的比例中项。即：在。O中
7、，：PA是切线，PB是割线2 PA PC PB3、 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等(如右图)。即：在。O中，：PB、PE是割线 PC PB PD PE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：0Q2垂直平分AB。即P：v Oi、O O2相交于A、B两点二0102垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：(1 )公切线长：Rt OQ2C 中，AB2 CO,2 OQ22 CO22 ；(2)外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和十四、圆内正多边形的计算(1 )正三角形在。
8、O中厶ABC是正三角形，有关计算在 Rt BOD中进行：OD:BD:OB 1:、一3:2 ;(2 )正四边形同理，四边形的有关计算在 Rt OAE中进行，OE:AE:OA 1:1: .2 : (3 )正六边形十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：(1)弧长公式：,n R180 ；(2 )扇形面积公式：。n R2 1S IR360 2n：圆心角 R:扇形多对应的圆的半径 I :扇形弧长 S:扇形面积2、圆柱：(1 )圆柱侧面展开图S表 S侧 2S底=2 rh 2 r(2)圆柱的体积：V r2h3、圆锥侧面展开图(1)S表 S侧 S底=Rr r1(2)圆锥的体积：V - r2h3十六、内切
9、圆及有关计算(1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。(2) ABC 中，/ C=90 , AC=b , BC=a , AB=c，则内切圆的半径1(3) S abc= r (a b c)，其中a, b , c是边长，r是内切圆的半径。(4)弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切OO于点B , AB为弦，/ ABC叫弦切角，/ ABC= / D。 C练习题1若O O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与O O的位置关系是( )A.点A在圆内 B .点A在圆上 c.点A在圆外 D .不能确定2.已知O O的半径为5,弦A
10、B的弦心距为3,则AB的长是 3.如图，MN是半径为1的O O的直径，点 A在O O上，/ AMN =30 , B为AN弧的中点，点 P是直 径MN上一个动点，则求 PA+PB的最小值4如图2，已知BD是O O的直径，O O的弦AC丄BD于点E，若/ AOD=60 ，则/ DBC 的度数为 _5.与直线L相切于已知点的圆的圆心的轨迹是 .6.已知直角三角形的两直角边长分别为 5和12，则它的外接圆半径 R= ，内切圆半径r= .7. O O的半径为6 , O O的一条弦AB为6 3，以3为半径的同心圆与直线 AB的位置关系是 8.PA、PB是O O的切线，切点是 A、B，/APB =50。，过
11、A作O O直径AC ,连接CB，则/ PBC= 99 .如图4, AB是O O的直径，弦 AC、BD相交于P,贝U CD : AB等于则PC的长是构成圆环面积为13.如图 7, PE 是O O 的切线，E 为切点，PAB、PCD 是割线，AB=35 , CD=50 , AC : DB=1 : 2,则PA= .14.如图8 , AB是O O的直径，点 D在AB的延长线上，且 BD =OB，点C在O O上，/ CAB =30 , 求证：DC是O O的切线.15.如图，AB既是O C的切线也是O D的切线，O C与O D相外切, O C的半径r=2 , O D的半径R=6，求四边形 ABCD的面积。
12、（1） AC 是O O 的切线.（2）若 AD : DB=3 : 2 , AC=15，求O O 的直径.（12 分）图1017 .如图11 , AB是O O的直径，点P在BA的延长线上，弦 CD丄AB，垂足为E,且PC2=PE PO. (1) 求证：PC是O O的切线；(2)若0E : EA=1 : 2 , PA=6，求O O的半径；(3)求sin PCA的值.(12分)图1118 .如图，O O的两条割线 AB、AC分别交圆 0于D、B、E、C,弦DF/AC 交BC于C .(1)求证：AC FG BC CG ；(2 )若CF = AE .求证： ABC为等腰三角形.19.如图，AB是O O的
13、直径，弦 CD丄AB与点E，点P在O O上，/ 1= / C , (1 )求证：CB / PD ;3(2 )若 BC=3 , sinP= ，求O O 的直径。520.如图， ABC内接于O O, AB是O O的直径，PA是过A点的直线，/ PAC =Z B .(1)求证：PA是O O的切线；(2)如果弦CD交AB于E, CD的延长线交PA 于 F, AC = 8 , CE : ED = 6: 5 , AE : EB = 2 : 3 ,求AB的长和/ ECB的正切值.21如图，在 Rt ABC中，/ B = 90 ，/ A的平分线交 BC于点D , E为AB上的一点，DE = DC，以D为圆心，
14、DB长为半径作O D ,求证：(I) AC是O D的切线；(2 ) AB + EB = AC.22如图，AB是O O的直径，以OA为直径的O O1 ;与O O的弦AC相交于D , DE丄OC,垂足为E .(l)求证：AD = DC ;(2 )求证：DE是O。1的切线；(3 )如果OE = EC,请判断四边形 O2ED是什么四边形，并证明你的结论.考点一：与圆相关概念的应用利用与圆相关的概念来解决一些问题是必考的内容，在复习中准确理解与圆有关的概念，注意分清它们之间的区别和联系1.运用圆与角（圆心角，圆周角），弦，弦心距，弧之间的关系进行解题【例1】已知：如图所示，在 ABO中，/ AOB=90
15、。，/ B=25。，以0为圆心，OA长为半径的圆交 AB于D，求弧AD的度数.【例2】 如图，A、B、C是O 0上的三点，/ AOC=100 ，则/ ABC的度数为（ ）.A . 30 B . 45 C . 50 D . 60 2.利用圆的定义判断点与圆，直线与圆、圆与圆的位置关系【例3】 已知O 0的半径为3cm , A为线段0M的中点，当0A满足：（1 ）当0A=1cm 时，点M与O 0的位置关系是 .（2 ）当0A=1.5cm 时，点M与O 0的位置关系是 L（3 ）当0A=3cm 时，点M与O 0的位置关系是 【例4】O 0的半径为4，圆心0到直线I的距离为3，则直线I与O 0的位置关
16、系是（ ）.A.相交 B .相切 C .相离 D .无法确定【例5】 两圆的半径分别为 3cm和4cm，圆心距为2cm，那么两圆的位置关系是 .3.正多边形和圆的有关计算【例6】 已知正六边形的周长为 72cm，求正六边形的半径，边心距和面积4.运用弧长及扇形面积公式进行有关计算【例7】 如图，矩形ABCD中，BC=2 , DC=4，以AB为直径的半圆 0与DC相切于点E，则阴影部分 的面积为 （结果保留）.5.运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行计算【例8】 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是考点二：圆中计算与证明的常见类型1.利用垂径定理解题垂径定理及其
17、推论中的三要素是：直径、平分、过圆心，它们在圆内常常构成圆周角、等分线段、直角 三角形等，从而可以应用相关定理完成其论证或计算【例1】 在O O中，弦CD与直径AB相交于点P,夹角为30 ，且分直径为1 : 5两部分，AB=6，则 弦CD的长为A . 2 B . 4 C . 4 D . 22.利用“直径所对的圆周角是直角”解题“直径所对的圆周角是直角”是非常重要的定理，在解与圆有关的问题时，常常添加辅助线构成直径所 对的圆周角，以便利用上面的定理 【例2】 如图，在O O的内接 ABC中，CD是AB边上的高，求证：/ ACD= / OCB.3.利用圆内接四边形的对角关系解题 圆内接四边形的对角
18、互补，这是圆内接四边形的重要性质，也揭示了确定四点共圆的方法【例3】 如图，四边形 ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若/ C = 45 , AB = 2，则点 B到AE的距离为 .4.判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：(1)与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；(2 )若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；(3 )经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【例4】 如图，O O的直径AB=4，/ ABC=30 , BC= 4.3 , D是线段BC的中点.(1 )试判断点D与O O的位置关系，并说明理由(2 )过点D作DE丄AC，垂足为点 E，求
19、证：直线 DE是O O的切线.【例5】 如图，已知0为正方形ABCD对角线上一点，以 0为圆心，0A的长为半径的O O与BC相切 于M，与AB、AD分别相交于 E、F，求证CD与O 0相切.【例6】 如图，半圆0 ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB的延长线上,且有/ BAP= / BDA.求证：AP是半圆0的切线.【课堂巩固练习】一.选择题：1.O O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d R，则P点 A.在O O内或圆周上 B.在O O夕卜C.在圆周上 D.在O O外或圆周上2.由一已知点P到圆上各点的最大距离为 5，最小距离为1，则圆的半径为 A、2 或 3 B、
20、3 C、4 D、2 或 43.如图，O O中，ABDC是圆内接四边形，/ BOC=11O ，则/ BDC的度数是 A.110 B.70 C.55 D.125 4.在O O中，弦AB垂直并且平分一条半径，则劣弧 AB的度数等于 A.30 B.120 C.150 D.60 5.直线a上有一点到圆心 O的距离等于O O的半径，则直线a与O O的位置关系是A、相离 E、相切 C、相切或相交 D、相交6、如图，PABOO于A,PC交O O于点B、C，若 PA = 5 ,PB =B C,则PC的长是A、 10 B、5 C:、5.2D、537 .如图，某城帀公园的雕塑是由3个直径为1m的圆两两相垒立在水平的
21、地面上，则雕塑的最咼点到地面的距离为2 33.32 - 23、2A.B.C.D.22228、已知两圆的圆心距是 9，两圆的半径是方程 2x2 17x+35=0A、1条 B、2条 C、3条 D、4条10、 如图，O Oi和O O2相交于A、B两点，且A 01、A O2分别是两圆的切线， A是切点，若O O1的半径r=3，O O2的半径R=4，则公共弦 AB的长为 A、2 B、4.8 C、3 D、2.411、 水平放置的排水管（圆柱体）截面半径是 1cm，水面宽也是1cm，则截面有水部分（弓形）的面积是 :A、 B、 C、 D、 或二.填空题：12.6cm 长的一条弦所对的圆周角为 90 ，则此圆
22、的直径为 。 13.在O0中，AB是直径，弦CD与AB相交于点E，若 ，贝U CE=DE （只需填一个适合的条件）。14.在圆内接四边形 ABCD 中，/ A :/ B :/ C=5 : 2 : 1，则/ D= 。15.若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是 。16.如图，圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC , BD交于E点，AB=120 , CD=70。则/ AEB= 。17 .已知两个圆的半径分别为 8 cm和3 cm，两个圆的圆心距为 7 cm，则这两个圆的外公切线长为 。18.如图，O 0 中，弦 AB 丄弦 CD 于 E , OF 丄 AB 于 F , 0G 丄 CD 于
23、 G,若 AE=8cm , EB=4cm ，贝U 0G= cm 。19.已知圆锥的母线长为 5厘米，底面半径为 3厘米，则它的侧面积为 。四.解答题20.如图在 ABC中，/ C=90。，点0为AB上一点，以0为圆心的半圆切 AC于E,交AB于D ,AC=12 , BC=9，求AD的长。21.如图在O 0中，C为ACB的中点，CD为直径，弦 AB交CD于点P,又PE丄CB于E，若BC=10 , 且 CE : EB=3 : 2，求 AB 的长.22.EB 的已知：如图，A是以EF为直径的半圆上的一点，作 AG丄EF交EF于G，又B为AG上一点, 延长线交半圆于点 K，求证： AE 2 EB EK23.已知：如图， ABC内接于O O , AE是O O的直径，CD是厶ABC中AB边上的高,求证：AC BC=AE CD
