1、届北京市石景山区高三上学期期末考试数学试题石景山区2020届高三第一学期期末数学本试卷共5页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无 效，考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）-、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 已知集合 A x0w xw 2 , B 1,0,2,3，则 Al BA. 0,1,2 B. 0,2 C. 1,3 D. 1,0,1,2,32. 复数z 的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为1 iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. 下列函数中既是奇函数，
2、又在区间 （0,1）上单调递减的是3A. f(x) XB.f(x)lg|x|C.f(x) xD.f (x) cosx4.已知向量a 5, m,b2, 2，若abb，则实数mA. 1B.1C.2D.25.我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮,有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28 粒立，则这批米内夹谷约为A. 134 石B.169石C.338石D.1365 石6.已知 a log34 ,b log n3,c 5 ,则a , b, c的大小关系:H.A是A. a b cB.a cbC.b c aD.b a c7. 艺术体操比赛共有7位评委分别给出
3、某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差8. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为A.B.C.左（侧）视图D.9.在等差数列a.中，设k,l,p,r N，则k lP r 是 ak ai ap ar 的A.充分而不必要条件C.充要必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件10.关于曲线C ： x2 xy y2 4 .给出下列三个结论：1 曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数
4、的点）；2 曲线C上任意一点到原点的距离都不大于 2 2 ;3 曲线C上任意一点到原点的距离都不小于 2 .其中，正确结论的个数是A. 0 B. 1 C. 2 D. 3第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.2 611. 在（x -）的二项展开式中，常数项等于 .（用数字作答）x2x 212. 已知双曲线标准方程为 y 1 ,则其焦点到渐近线的距离为 .313. 已知数列an n （n N*）为等比数列，a1 1, a? 2，则a3 .14. 已知平面，.给出下列三个论断： ： ： / .以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 1
5、15. 在厶ABC中，角 代B,C所对的边分别是a,b,c .已知b- c= -a ,2sinB = 3sinC，则 cosA 的值为 .ir ur16. 已知向量e1 , e2是平面 内的一组基向量， 0为 内的定点，对于 内任意uur ir ur一点P，当OP xe, ye2时，则称有序实数对（x, y）为点P的广义坐标，若点A、B的广义坐标分别为（xi,yj、（X2,y2），对于下列命题：1 线段AB的中点的广义坐标为（仝 圣,上 丝）；2 2uur uur2 向量0A平行于向量0B的充要条件是x,y2 x2y,；uuu uuu3 向量0A垂直于向量0B的充要条件是x,x2 y, y2
6、0 .其中，真命题是 . （请写出所有真命题的序号）三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17. (本小题13分)1 已知函数 f(x) cosx(sin x cosx) .2n 3(I)若0 ，且sin ,求f()的值；2 5(n)求函数f (x)的最小正周期，及函数 f(x)的单调递减区间.18. (本小题1分)一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“ 6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“ 6点”则扣除12分(即获得12分)(I)设每盘游戏中出现“ 6点”的次数为X,求X的分布列；(n)玩两盘游戏，求两盘中至少有一
7、盘获得 15分的概率；(川)玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象.19. (本小题14分)已知在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形， PAD是正三角形，CD 平面PAD ,E、F、G、O 分别是 PC、PD、BC、AD 的中点.PC(I)求证：PO平面ABCD ；(n)求平面 EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小;(川)线段PA上是否存在点 M，使得直线GM与平面EFG所成角为n，若存在，求线段 PM6的长度；若不存在，说明理由.20. (本小题14分)已知函数 f (x) ex ax. (
8、 a R)(I)求函数f(x)的单调区间；(n)若a 3, f (x)的图象与y轴交于点A，求y f(x)在点A处的切线方程;(川)在(n)的条件下，证明：当 x 0时，f(x) x2 3x 1恒成立.21. (本小题13分)2 2已知椭圆C:笃 1过点P(2,1).a 2(I)求椭圆C的方程，并求其离心率；(n)过点P作x轴的垂线I，设点A为第四象限内一点且在椭圆 C上(点A不在直线l上)，直线PA关于I的对称直线PB与椭圆交于另一点 B 设0为坐标原点，判断直线 AB与直线OP的位置关系， 并说明理由.22. (本小题13分)已知由n(n N*)个正整数构成的集合 A 印耳丄 舄(印a?
9、L an,n 3),记Sa a1 a2 L an，对于任意不大于 Sa的正整数m，均存在集合 A的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m.(I)求aa2的值;(n)求证：“ a1,a2,為成等差数列”的充要条件是San(n 1) ”.;2(川)若Sa 2020，求n的最小值，并指出n取最小值时务的最大值.石景山区2020届第一学期高三期末数学试卷答案及评分参考、选择题：本大题共 10个小题，每小题 4分，共40分.题号12345678910答案BACBBDACDC、填空题：本大题共 6个小题，每小题 5分，共30 分.11.160 ;12 . 1;13.5 ;14.或；15.1-; 16.
10、.4三、解答题：本大题共6个小题,共80分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题13分）4341281 =315552252 =501 sin2 4解：（I）因为 0所以cos所以f，且 sin -2 5(n) f x cosx sinx cosx -2輛做 1 c0s2x 12 2 22 sin(2x 4)所以函数f x的最小正周期Tcosx sin x2cos x1 細荻 cos2x)2 nn.2由2k nnn3n2x -2k n+ ,k Z ,242解得k nnx k n+5 n,k Z .88所以函数fn 5 nx的单调递减区间 kn ,k n+ ,k Z8 811分1
11、3分18. （本小题13分）解：（I） X可能的取值为0, 1, 2, 3.每次抛掷骰子，出现16点”的概率为P 1.0 1 3P(X 0) C3(1 6)125216p(x 1) (1 -1)26 675216所以X的分布列为:X0123P12525512167272216P(X2) C32(6)2 (1 1)15216 ， P(X3 i 33)叫)1216p（A） p（a2） p（x 1） p（x所以“两盘游戏中至少有一次获得因此，玩两盘游戏至少有一次获得2)90 5216 1215分”的概率为1P(A)P(AJ951449515分的概率为 10分144（n）设“第i盘游戏获得15分”为事
12、件A（i = 1, 2），则（川）设每盘游戏得分为 Y.由（I）知，Y的分布列为:Y1215120P1255121612216125 5 1 5Y的数学期望为 EY 12 15 120 . 12分216 12 216 36这表明，获得分数Y的期望为负.因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大.13分19. （本小题14分）（I）证明：因为 PAD是正三角形，0是AD的中点，所以 PO AD .又因为CD 平面PAD，P0 平面PAD，所以PO CD .AD CD D，AD，CD 平面 ABCD ,所以PO 面ABCD . 4 分（H）如图，以 0点为原点分别以 OA、OG、OP所在直线为x轴、y
13、轴、z轴建立空间直角坐标系则 O(O,O,O),A(2,O,O),B(2,4,O),C( 2,4,0),D( 2,0,0),G(0,4,0),P(0,0,2、3),E( 1,2, .3), F( 1,0, .3)， EF (0, 2,0), EG (1，2,3),（川）假设线段 PA上存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为-,6设 PM PA, 0,1,GM GP PM GP PA，所以 GM (2 , 4,2.3(1 ) . 11 分n v 3所以 sin |cos GM,m , 13分6 2,4 2 6 7整理得2 2 3 2 0 ,无解，所以，不存在这样的点 M 14分20. （本小
14、题14分）解：（I） f （x） ex a ,当a 0时，f (x) 0恒成立，所以f(x)在R上单调递增,当a 0时，令f (x) 0，解得x Ina.当x变化时，f (x), f (x)的变化情况如下表:x(,ln a)In a(In a,)f (x)0+f(x)减极小值增所以a 0时，f (x)在(，1 n a)上单调递减，在(In a,)上单调递增.5分(n)令 x 0，得 y 1，则 A 0,1 , 6 分因为f x ex 3，所以f 0 1 3 2 , 7分所以在A点处的切线方程为y 1 2(x 0)，即y 2x 1. 9分2 x 2(川)证明：令 g x f(x) (x 3x+1
15、)=e x 1 ,则 g x ex 2x.令 h x ex 2x，贝y h x ex 2 ,当0x1 n2时，h x 0 , h x单调递减，当x In2时，h x 0 , h x单调递增； 11分所以 h x h In2 eln2 2In2 2 2In2 0，即 g x 0 恒成立.所以g x在上单调递增，所以g x g 01010,13分所以ex x2 1 0 ,即当x 0时,2x x 3x 1恒成立.14分21. (本小题13分)I a2可得412 a21,解得8a2所以2 c2 ab2826,2 2解：(I)由椭圆C:笃工 1过点P(2,1),2 2所以椭圆C的方程为丄8 22分3分1
16、，离心率e、.6 仝2.2 2(n)直线ab与直线OP平行.证明如下：由题意，设直线 PA: y 1k(x2), PB:y1 k(X 2),2 1得2k 12 2(4k 1)x28k(1 2k)X 16k16k所以2+Xi8k (2 k 1)2 ，4k 1所以Xi8k24k2 18k2，同理x228k +8k 24 k2 1所以x1X216k4k2 110由yikX1kX22k 1 ,有y1y2k(X-i x2 ) 4k4k28k一 ?1因为A在第四象限，所以k0,且A不在直线OP上，所以kAB 7X1 x2又koP -，故kAB koP ,所以直线2AB与直线OP平行.设点 A(Xi, yi
17、), B (X2, y2),2 2x y 由 8y kx22.解:(本题13分)(i)由条件知1 SA，必有1 A，又a1 a2 an均为整数，a1 1.2分2 Sa，由Sa的定义及a1 a2 a.均为整数，必有 2 A, a? 2 .(n)必要性：由“ a1,a2, ,a.成等差数列”及 印1, a? 2得ai i(i 1,2, ,n)此时A 1,2,3, ,n满足题目要求1 从而 SA 1 2 3 n n(n 1). 6 分2充分性：由条件知a1 a2 an,且均为正整数，可得 ai i(i 1,2,3, , n),1故Sa 1 2 3 n n(n 1)，当且仅当ai i(i 1,2,3,
18、 ,n)时，上式等号成立21于是当Sa n(n 1)时，ai i(i 1,2,3, ,n)，从而a1,a2, , an成等差数列.21所以“ ai,a2, ,an成等差数列”的充要条件是“ Sa n(n 1) ” . 8分2(川)由于含有n个元素的非空子集个数有 2n ，故当n 10时，210 1 1023 ,此时A的非空子集的元素之和最多表示 1023个不同的整数 m，不符合要求.而用11个元素的集合 A 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024的非空子集的元素之和可以表示1,2,3, ,2046,2047 共 2047个正整数因此当SA 2020时，n的最小值为1
19、1. 10分当SA 2020时，n的最小值为11.记S10 a-i a2 a10则 S10 an 2020 并且 S|0 1 an.事头上右 S10 1 an, 2020 S10 an 2an，则 an 1010 , S10 an 1010 ,所以m 1010时无法用集合 A的非空子集的元素之和表示，与题意不符 .2021 *于是 2020 S0 an 2an 1，得 an , a“ N，所以 an 1010.2当 a11 1010 时 A 1,2,4,8,16,32,64,128,256,499,1010满足题意所以当Sa 2020时，n的最小值为11,此时an的最大值1010. 13分【若有不同解法，请酌情给分】
