1、全国初中数学等腰三角形一等奖教学设计人教版高中数学组合全国一等奖教学设计人教版高中数学组合全国一等奖教学设计课例点评总体评价： xxx老师能够以新课程理念为指导，以“问题串”为导向来设计 本节课的 教学情境，不断地向学生提供参与数学活动的机会，教师并加以适当 引导，帮助学生在自主探究与合作交流过程中真正理解和掌握本节内容， 切实做到了“学生真正成为学习的主人，教师成为组织者、引导者、 参与者”，取得了很好的教学效果。本节课有以下突出的 三 个优点：1 、新课引入非常注意问题情境的创设，他通过播放 “十佳歌手赛”场景视频，一下子集中了学生的注意力，极大地激发了学生的学习兴趣。趁机提出相关的数学问
2、题，引发认知冲突，引导学生对比、分析、思考，既回顾了排列知识，又自然 地 引出了课题，情境创设新颖、切题、富有生活气息。2 、在知识的生成上，运用特殊到一般的方法引导学生进行探究，如：组合数 计算公式得出、组合数性质的发现等。每个问题的设置层层递进，由浅入深，符合学生的认知规律。同时 重视 数学思想方法的渗透 , 如：特殊与一般的思想， 分类讨论思想，转化与化归的思想以及类比的方法在 本节课中得到了体现。而且学法指导也能够落到实 处。3 、非常重视学生的思维活动和自主探究，舍得给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台。如：在如何得出组合数 计算公式过程中，给学生提供了口头表达、上台展示、
3、小组讨论、合作交流的机会，还有组合数性质的猜想、归纳、证明等 等 ， 生生互动，师生互动的场面精彩纷呈，效果较好。组合教学设计（第一课时） 一、教材分析本节课的教学内容是选修 2-3 （人教 A 版） 1.2.2 组合第一课时 本节内容是两个计数原理及排列知识的延续，也是后续学习二项式定理，研究二项式系数性质及求等可能事件概率的基础，因此本节课在整个章节中起了承上启下的重要作用。本节课主要是借助学生身边的例子，类比排列的知识探究组合的定义、组合数的定义、组合数计算公式及组合数的性质，并从具体情境中体会排列与组合的区别与联系。通过对组合教学的探究，让学生体会类比，从特殊到一般等重要数学思想的应用
4、以及数学来源于生活又服务于生活的课程理念。二、设计思想组合是继排列后的又一特殊的计数模型，是计数问题的延续与拓展。本节课我的设计理念是：以问题为载体，以学生为主体，创设有效问题情境，努力营造开放、民主、和谐的学习氛围，充分调动学生的兴趣与积极性。让学生在经历“自主、探究、合作”的过程中，体验从生活中发现数学，并通过观察、分析、对比、归纳、猜想、证明、展示、交流等一系列思维活动，在教师的适当引导、组织下主动地建构数学知识的过程。同时注重渗透“特殊与一般”、“分类讨论”、“转化与化归”等重要数学思想及类比的学习方法，让学生掌握知识的同时提升数学素养与思维品质，真正做到“授之以鱼不如授之以渔”。三、
5、学情分析从学生的现有知识水平看，在学习本节前，学生已学习了两个基本计数原理、排列。绝大多数学生能正确运用两个计数原理，能正确理解排列、排列数的概念，能比较熟练地应用排列数公式进行计算。还能遵循先特殊后一般、先取后排、先分类后分步的原则，解决典型的排列问题。因此在本节课教学要借助这些已有的知识，通过观察、分析、类比、归纳，帮助学生理解组合的概念；从能力的角度看，学生已经具备了一定的分析问题的能力、思考的能力、探究的能力、计算的能力、数学表达的能力，教学中要借助学生已有的能力，提供实际问题情境，引导学生进行分析，向学生提供合适的探究材料，引发学生的主动探究，借助小组讨论、合作交流，全班展示等活动培
6、养学生的自主学习、合作学习及数学表达能力。四、教学目标1 、知识与技能 : 正确理解组合、组合数的概念；会利用排列与组合的关系推导组合数公式；初步掌握组合数的性质；2 、过程与方法 : 借助学生生活中熟悉的例子创设问题情境，学生通过对实际问题的探究、思考、对比、分析，初步形成组合、组合数的概念；用类比、归纳的思想得出组合、组合数的概念，并深刻体会组合、排列的区别与联系；通过小组讨论、交流合作、成果展示等活动，才用类比、特殊到一般的思想探究推导组合数公式并能进行简单应用；从组合数的计算中观察、归纳、猜想得到组合数的性质并进行简单的应用。3 、情感态度与价值观 : 学会用联系的观点看问题， 培养良
7、好的个性品质及团队合作意识；让学生充分感受到数学来源于生活又服务于生活，提高应用数学的意识。五、教学重点： 组合的概念、组合数公式 、组合数的性质六、教学难点： 组合数公式的推导 .七、教学方法： 启发、引导、自主、合作、探究八、教学过程设计：教学环节问题情境设计意图师生互动创设情境新课导入先播放永安一中“十佳歌手赛”的精彩视频片段 教师：十佳歌手赛是永安一中校园特色文化之一，为我们紧张、忙碌的学习之余提供了休闲、放松的舞台。同时也给我们出了一道数学的问题 : 永安一中今年的“十佳歌手赛”又开始报名了，我们高二（ 11) 班有 5 人想参加比赛，而学校给每个班级只分配 3 个名额，请问：共有几
8、种不同的报名结果？学情预设： 生 1 ： 是排列问题 生 2 ：不是排列，因为不要考虑顺序 问 题 1 、能否适当改变条件，使它变成排列问题呢（要考虑顺序呢？）问 题 2 、同学们能否再举些生活中类似的例子呢？1 、从学生校园文化生活 入手，借助精彩的视频，让学生熏陶校园文化的同时，激发学生学习的兴趣与积极性。同时感受数学来源于生活又服务于生活。2 通过容易混淆的问题引发认知冲突： 有的学生认为是排列，而有的同学反对，觉得不要考虑顺序。 通过对比、分析发现在现实生活中：排列已经不能满足计数的需要，而急需研究一种新的计数问题，从而引出新课。让学生了解引入新知识的必要，学习生活中的数学。学生观看视
9、频学生回忆知识，思考分析，引发矛盾教师叫学生回答如何思考的？学生回答若干学生代表依次举例教师与学生共同分析并适时点评，补充类比 探 究构建概念合作交流探究公式组合的定义探 究组合排列异同点探究组合数的定义组 合数公式推导问题 3 、面对全新的概念，同学们准备怎么去探究呢？问题 4 、从哪些方面类比呢？问题 5 、通过刚才的引例及几位同 学所举的例子，同学们能归纳出组合的定义吗？ 师：数学概念的学习要严谨、简练排列与组合是两个平行的概念，引导学生用类比的方法对组合进行探究既回顾了排列的相关内容，又为组合的探究指明了方向。培养学生观察、思考、分 析能力及抽象概括能力学生回答：类比学生回答：定义、公
10、式等等教师评价学生学生尝试归纳概念其他学生补充师生共同完善学生从相同点、不同点、完成一件事情的步骤角度进行分析教师适时点评学生说，教师板书学生出题若干学生回答教师适时点拨并适当评价问题 6 、比较排列与组合两个定义，同学们有什么发现呢？ 相同点： 不同点： 排列是先选后排，组合只选不排生生互动环节同学们能否当老师，出题来考考其他同学呢？请你列举出生活中的一些例子，其他同学来判定是组合问题还是排列问题？比较是一种常见的学习方法，让学生通过比较学习发现排列与组合的异同点检测课堂学习的效果，通过师生角色的互换，构建和谐的课堂氛围。体现教师为主导，学生为主主体的新课程理念问题 7 、类比排列的计数方式
11、，同学们能否说说组合是如何计数的呢通过对比，类比，达到知识的迁移，内化学生思考学生齐答问题 8 、同学们准备如何去推导组合数公式呢？即 师生达成共识：从特殊到一般的思想以及排列与组合的关系入手探究组合数公式。探究过程分三大组， 10 小组进行分配任务如下：第一大组探究从 3 个不同元素取出 2 个元素的组合数与排列数的关系。第二大组探究从 4 个不同元素取出 3 个元素的组合数与排列数的关系。第三大组探究从 5 个不同元素取出 3 个元素的组合数与排列数的关系。交流、展示探究成果：每个大组派一个代表对本组的探究结果跟全班同学一起交流学生观察、归纳猜想公式、证明公式分析公式特点 引导学生学会思考
12、，分析问题的习惯，体现授之于鱼不如授之于渔的理念。让学生体会用特殊到一 般的方法解决问题的思路。同时通过小组分工、合作学习，加强团队合作精神及集体意识。培养学生交流表达能力及分析问题，解决问题的能力培养学生的归纳猜想的能力，及推理论证能力公式的学习，不仅要知道公式的来龙去脉，更要熟悉公式的结构特点，为灵活运用公式打下基础学生代表回答，其他同学倾听并给予评价，教师适当补充，总结 .学生在小组内进行交流、讨论、学生代表一边投影结论。一边解释本组的探究成果，教师适时提问、总结叫一学生进行归纳、猜想，并对结论进行解释。师生共同分析，交流公式计算探究性质例1 计算下列式子的值： (2): (3): 观察
13、计算结果，同学们发现了什么？能解释你的发现吗？ 学情预设： 同学们能证明这个式子吗？ 性质（ 1 ）： 1 、让学生熟悉组合数公式的构成，并对组合数公式进行简单应用 .2 、进一步培养学生观察、归纳、猜想的数学能力；推理论证能力学生独立完成学生代表回答教师适时提问教师引导学生发现规律并板书师生共同分析公式的特点、作用变式训练：变式 1 、 计算 + 的值。变式 2 、已知 = ，求 n 的值。通过变式题组训练，发散学生的思维，一方面能强化组合数相关计算的训练，另一方面则巩固组合数性质从常数到单变量，由浅入深，层层递进。学生代表依次回答其他同学补充教师适时点拨并提醒学生解题的注意事项及易错点教学
14、环节教学内容设计意图师生互动公式应用探究性质例题 2 、 永安一中今年的“十佳歌手赛”又开始报名了，我们班有 5 人想参加比赛，但学校给每个班级只分配 3 个名额，请问：共有几种不同的报名结果？变式 1 ： 如果 5 人中的小文 被选上 ，问：有几种不同的报名结果？变式 2 ： 如果 5 人中的小文 没有被选上 ，问：有几种不同的报名结果？思考：上述三个问题之间有何联系？学情预设： 同学们能类比上述分析方法写出 ， 的表示结果吗？ 观察这些结果，能否推广到一般形式的结论呢？ 学情预设： 可能也有 同学们能否给出证明呢？利用组合知识解决实际生活中的问题，让学生初步体会数学来源于生活服务于生活的理
15、念。为组合数的性质 提供实际模型。培养学生观察、归纳、类比、分析等思维能力培养大胆质疑的学习习惯及辩证统一的思维能力。让学生明白合情推理的结论未必正确，要对归纳猜想进行推理证明。组合数性质（ 2 ）的初步应用从特殊到一般，进一步熟练组合数性质（ 2 ）的应用，培养学生化归与转化的数学思想。学生交流、思考学生代表回答教师适当补充说明并板书教师适时评价并加以引导学生代表发言师生共同分析学生代表发言教师补充、说明教师借助投影暴露学生的思维障碍，因势利导，让学生充分展示他们的思维，教师适当提问，总结。组合数性质（ 2 ） 课堂练习：（ 1 ） 计算： 变式：教师分析公式的结构特点及作用学生独立完成后师
16、生共同分析教学环节教学内容设计意图师生互动课堂小结1、 知识点2、 思想方法让学生大胆发言，谈谈收获，教师及时点评并归纳总结，通过多媒体展示出来，使学生对所学内容有一个系统的认识 .学生代表回答，其他同学补充，教师总结完善，多媒体展示小结 .作业布置板书设计作业：（1） 必做题： 书 第 27 页 ： 2 、 3 、 4 课时训练第 66 页： 1 、 3 、 6（2） 选做题： 课时训练第 66 页： 7 、 8 、 9 、 10 （3） 探究题：课本第 26 页例题 2 组合（ 1 ）1 、组合的定义 5 、性质2 、组合与排列的异同点3 、组合数的定义 6 、例题4 、组合数公式帮助学生
17、巩固所学知识，完善认识结构，反馈课堂教学效果 . 让不同层次的学生有不同程度的发展。课堂知识的再现，方便学生记忆、理解必做部分：所有学生完成；选做部分：只要求学有余力的学生完成 . 全国初中数学优秀课一等奖：等腰三角形-教学设计13.3 等腰三角形 （ 习题 ）一、内容和内容解析1 、内容（人民教育出版社八年级上册）等腰三角形的习题。2 、内容解析本节课是在学生已经学习了等腰三角形的概念、性质、判定方法以及等边三角形相关内容 的基础上，对等腰三角形进行 深入研究主要内容是对教材上的一道典型题（习题 13 3 第 12 题）进行 横向拓展和纵向延伸 其中包括两个环节：一是条件不变，发现更多的结论
18、并证明其中的两个结论；二是结论不变，弱化条件，将问题 “ 一般化 ” ，或强化条件，将问题 “ 特殊化 ” 基于以上分析，确定本课的教学重点是：以典型题的研究为载体，探索几何问题的研究思路和研究方法二、目标和目标解析1 、目标（ 1 ）在题目条件不变的前提下，探索并发现其他隐含结论（ 2 ）在题目结论不变的前提下，探索使其成立的条件（ 3 ）在对题目进行横向拓展和纵向延伸的过程中，体会 分类、转化、类比、一般化、特殊化等数学 思想和数学方法，进一步理解数学内容的本质，提高思维能力2 、目标解析达成目标（ 1 ）的标志是：学生在题目条件不变的前提下能从不同的角度发现图形中隐含的结论 相等的线段、
19、相等的角、全等的三角形、特殊角以及特殊位置关系的线段等，并且能对发现的结论进行分类，从而明确 探索几何问题的 研究 思路 达成目标（ 2 ）的标志是：学生知道使题目结论成立的条件共有两个 “ 等边三角形 ” 和 “ 共线 ” ， 并能分别从这两个条件入手进行探索，即弱化条件，将问题 “ 一般化 ” 或强化条件，将问题 “ 特殊化 ” ， 能证明一般化（或特殊化） 后 的结论达成目标（ 3 ）的标志是：学生对发现的结论进行分类时，进一步体会分类的作用 使无序变得有序；学生在证明比较复杂的结论时，能够利用前面发现的隐含结论，将其作为下一步证明的依据，体会转化的作用 使复杂变得简单；学生对条件进行拓
20、展时，体会一般化的思想，并在拓展后证明相应的结论时，体会类比的作用 思路和方法的迁移，进而加深对数学内容本质的认识，使思维 的广阔性、深刻性、灵活性等得到锻炼三、教学问题诊断分析在第一个环节中，尽管有的学生能够发现一些结论，但他们所发现的结论往往是无序的，而且是不全面的；在第二个环节中，很多学生不知道应该首先分别从两个条件入手进行研究产生以上问题的根本原因是学生没有真正找到研究几何问题的切入点，对 几何问题的研究思路和研究方法没有清晰的认识本节课的教学难点是：以典型题的研究为载体，探索几何问题的研究思路和方法四、教学支持条件分析利用几何画板，动态演示图形的变化（形状的变化以及位置的变化），加深
21、对图形本质特征的理解五、教学过程分析引言 前面，我们学习了等腰三角形，研究了它的概念、性质和判定，今天我们通过一节习题课来进一步巩固等腰三角形的有关知识题目 如图 1 ， ABC 和 DCE 均是等边三角形，且点 B 、 C 、 E 共线 BD 与 AE 、 AC 分别相交于点 P 、 M ， CD 与 AE 相交于点 N 求证： BD = AE （ 屏幕显示题目）师生活动： 学生独立思考后，一名学生口述证明过程，教师板书，其它学生说明每一步的证明根据设计意图： 巩固特殊的等腰三角形 等边三角形的概念、性质 ，为后续深入研究作准备1 、探索并证明题目的隐含结论思考 1 在不添加任何条件的前提下
22、，你还能得到哪些结论？师生活动： 教师提出问题，学生将自己发现的所有结论都写在练习本上，教师让一名学生到黑板上写出发现的结论设计意图： 提出开放性问题，将题目向纵向延伸，让学生尝试多角度地发现结论，锻炼学生思维的发散性追问 1 ： 你们也发现以上的结论了吗？是否还有补充？师生活动： 学生相互补充、纠正追问 2 ： 刚才，我们找到了这么多的结论，你能对它们进行分类吗？分类的依据是 什么？师生活动： 学生独立思考后进行小组交流，交流重点是：（ 1 ）互相补充、纠正结论；（ 2 ）对结论进行分类；（ 3 ）说明分类的依据，充分交流后小组派代表进 行汇报当学生回答 “ 将三角形全等的结论放在一起 ”
23、时，教师指出 “ 全等 ” 就是指图形的 “ 形状相同、大小相等 ” ，并板书 “ 形状、大小 ” ；当学生回答 “ 将线段相等、角相等以及一些角等于 60 的结论放在一起 ” 时，教师指出这些其实是特殊的大小关系；当学生回答 “ 将平行的结论放在一起 ” 时，学生自然想到这是位置关系，教师指出平行是位置的特殊关系，并板书 “ 位置 ” 教师点拨，最初我们发现结论时有些是无序的，经过分类，就将无序变为有序了，所以，我们不仅要能够发现结论，更要知道应该从哪个角度去发现结论，即从 “ 形状、大小、位置 ” 三个角度，而 “ 形状、大小、位置 ” 正是几何学的研究对象，也是几何学的研究本质设计意图：
24、 让学生对发散的结论进行梳理，明确发现结论的角度，体会分类思想，提升对研究内容本质的认识，增强思维的深刻性追问 3 ： 本节课我们只证明其中的两个结论 “ APB =60 和 CM = CN ” ，其他结论课后证明师生活动： 学生口述 “ APB =60” 的证明过程， “ CM = CN ” 的证明过程写在练习本上，最后，一名学生利用实物展台讲解证明思路，并展示证明过程，其他学生对其进行评价追问 4 ： 还有不同的证法吗 ?师生活动： 学生展示不同的证明方法，并相互补充教师最后指出，平时做相对复杂的题目，比如证明 “ CM = CN ” ，有的学生感觉没有思路，觉得缺失证明的条件，其原因主要
25、是他们没有发现题中的隐含结论（此处教师利用课件依次展示图形中 EAC = DBC 、 BMC 与 ANC 全等 、 BDC = AEC 、 MCD 与 NCE 全等，等等，如图 2 、 3 ），其实，一旦发现了这些结论，并证明其中的重要结论，复杂问题也就迎刃而解了可见，前面发现题中的隐含结论有多么重要有时不是我们做不到，而是想不到 设计意图： 引导学生用多种方法证明结论，体会发现隐含结论的重要性，进一步感悟转化思想2 、 拓展并推广题目的前提条件思考 2 在题目中，结论 “ BD=AE ” 是在 “ 等边 ”“ 共线 ” 的条件下得到的，这个结论是否一定需要这么强的条件呢？师生活动： 学生独立
26、思考后小组交流，小组派代表汇报讨论结果预案 1 ： 学生认为 “ 点 B 、 C 、 E 可以不共线 ” 追问 1 ： 为什么？学生很容易想到 “ 因为 ACB = DCE , 所以 ACB+ACD=DCE+ACD 即 BCD=ACE , 所以 BCD 和 ACE 全等， 从而得到 BD=AE ” 此时，教师利用课件，动态展示 DCE 绕点 C 顺时针 旋转的过程（如图 4 ），显示出学生所说的两个全等三角形，并用手指着题目证明的板书过程，与学生一起总结出 “ 虽然点 B 、 C 、 E 位置变了，但是结论 BD=AE 没有变，而且解题的思路和方法都没有改变 ” 追问 2 ： 类比顺时针的旋转
27、，你能猜想一下逆时针旋转的情况吗？（教师动态展示 DCE 绕点 C 顺时针 旋转的过程，如图 5 ） 追问 3 ： 在以上的探究中 APB =60 还成立吗？追问 4 ： 刚才得到的其它结论是否成立呢？类比共线时的证明，课后探讨师生活动： 教师演示，学生思考，并回答设计意图： 通过动态的展示，让学生进一步感受由 “ 共线 ” 到 “ 不共线 ” 的过程，深刻体会虽然图形的位置改变了，但是结论不变，证明的思路和方法也不变 , 其原因是证明全等的关键条件没有改变；由顺时针旋转到逆时针旋转，体现思维的完整性；对学生的启发，由课上到课下，体现思维的延续性在整个探究过程中让学生逐步体会类比、一般化的数学
28、方法预案 2 ： 学生认为 “ 可以不是等边三角形，只要是等腰三角形即可 ” 追问 1 ： 你是怎么想到的？师生活动： 学生回答 “ BD=AE 的前提是 BCD 和 ACE 全等 ” 追问 2 ： 全等的条件是什么？师生活动： 学生回答 “ SAS ” 追问 3 ： 只要 “ 等腰三角形 ” 就行吗？还需要满足什么条件？师生活动： 学生答 “ 顶角相等 ” 追问 4 ： 必须是顶角相等吗？此 处若学生发现出 “ 底角相等也可以 ” 教师要继续追问 “ 为什么？ ” 教师点拨， “ 我们发现，虽然图形变了（屏幕展示图 6 ），但是结论 BD=AE 没有变，而且解题的思路和方法（指向板书过程）也
29、都没有改变 ” （ 屏幕显示题目： 如图， ABC 和 DC E 均是等腰三角形，其中 CA=CB ， CD=CE ， BCA=DCE= ，且点 B 、 C 、 E 共线求证： BD=AE ）设计意图： 让学生在由 “ 等边 ” 到 “ 不等边 ” 的过程中，体会虽然图形的形状改变了，但是结论 BD=AE 没有改变，证明的思路和方法也没有改变，其原因是证明全等的关键条件没有改变；由 “ 等边 ” 到 “ 等腰 ” ，将问题推广到一般的情况在此过程中让学生进一步体会类比、一般化的数学方法思考 3 ： 刚才我们探讨了 “ 不共线 ” 可以， “ 不等边 ” 也可以，那么既 “ 不共线 ” ，又 “
30、 不等边 ” 可以吗？（动态展示 DCE 绕点 C 旋转的过程，如图 7 ）师生活动： 学生发现可以，原因同前学生发现，原来题目中的条件不必是两个等边三角形，只要是两个顶角相等的等腰三角形就可以了，这个问题就更具有一般性了教师指出，我们不仅要学会发现结论，还要抓住图形的本质特征，尝试着把问题推广到一般情况这也是研究问题的思路和方法追问 1 ： 我们刚才研究问题的思路是将问题 “ 一般化 ” ，还可以怎样研究呢？师生活动： 学生很容易回答出将问题 “ 特殊化 ” 追问 2 ： 特殊的等腰三角形还有什么？师生活动： 学生很容易想到等腰直角三角形，（屏幕显示图 8 ，然后动态展示）类比刚才的研究思路和方法，同学们可以课下研究设计意图： 深化问题的研究，增强学生思维的全面性、深刻性3 、 小结 教师与学生一起回顾本节课的学
