1、版高中数学 第二章 函数章末复习课学案 北师大版必修1第二章 函数章末复习课网络构建核心归纳知识点一对函数的进一步认识(1)函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型它的三要素是定义域、值域和对应关系函数的值域是由定义域和对应关系所确定的(2)研究函数要遵从“定义域优先”的原则，表示函数的定义域和值域时，要写成集合的形式，也可用区间表示(3)函数的表示方法有三种：解析法、图像法和列表法在解决问题时，根据不同的需要，选择恰当的方法表示函数是很重要的(4)分段函数是一种函数模型，它是一个函数而并非几个函数(5)函数与映射是不同的概念，函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射在映射f：AB中
2、，A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像知识点二函数的单调性1函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键2函数单调性的证明根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下：(1)取值：任取x1，x2D，且x10；(2)作差变形：yy2y1f(x2)f(x1)，向有利于判断差的符号的方向变形；(3)判断符号：确定y的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；(4)下结论：根据定义得出结论3证明函数单调性的等价变形：(1)f(x)是单调递增函数任意x1x2，都有f(x1)0f(x1
3、)f(x2)(x1x2)0；(2)f(x)是单调递减函数任意x1f(x2)0f(x1)f(x2)(x1x2)1，且p，q互质)：001p，q都是奇数001p是偶数，q是奇数p是奇数，q是偶数当0时，幂函数的图像都经过原点和点(1,1)在第一象限内，当01时，曲线下凸当0时，yx是增函数；当1)(1)若q为奇数，则yx的奇偶性取决于p是奇数还是偶数当p是奇数时，yx是奇函数；当p是偶数时，yx是偶函数(2)若q为偶数，则p必是奇数，此时yx既不是奇函数，也不是偶函数规律方法函数的奇偶性判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(x)与f(x)的关系；二
4、是用其图像判断，考察函数的图像是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提要点一函数的概念与性质研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图像及其变化趋势，从近几年的高考形式来看，对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征，做题时应注重上述性质知识间的融合【例1】已知函数f(x)是奇函数，且f(2)(1)求实数m和n的值；(2)求函数f(x)在区间2，1上的最值解(1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，比较得nn，n0又f(2)，解得m2实数m和n的值分别是2和0(2)由(1)知f(x)任取x1，x22，1，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x
5、1x2)，(x1x2)2x1x21，x1x21，x1x210，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在2，1上为增函数，f(x)maxf(1)，f(x)minf(2)【训练1】设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x)f(x)，f(x)在(，0)上单调递增，且f(2a2a1)0，2a24a32(a1)210，由f(2a2a1)2a24a3，得5a2，aa的取值范围是要点二根据幂函数的图像确定对应的解析式先根据幂函数在第一象限内的图像特征，确定幂指数的取值区间即在(，0)，(0,1)，(1，)中哪一个区间上取值；再根据函数在y轴左侧有无图像确定函数的定义域，进而确定中分母“
6、m”是偶数还是奇数；当函数在y轴左侧有图像时，再研究其图像关于y轴(或原点)的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“n”的奇偶性类似地，可作出幂函数yx的图像，即先作出第一象限的图像，再研究在y轴左侧有无图像，有图像时，再利用函数的奇偶性作出对称图像即可【例2】给定一组函数解析式：yx；yx；yx；yx；yx；yx；yx和一组函数图像请把图像对应的解析式序号填在下图中图像下面的括号内解析先区分幂指数的正负，若是正指数，再与1比较大小，若是负指数，再区分奇偶性，就可找到对应图像的函数观察前三个图像，由于在第一象限内，函数值随x的增大而减小，则幂指数应小于零其中第一个函数图像关于原点
7、对称，第二个函数图像关于y轴对称，而第三个函数的定义域为(0，)，所以第一个图像对应yx，第二个图像对应yx，第三个图像对应yx.后四个图像都通过(0,0)和(1,1)两点，故0.第四个图像关于y轴对称，第五个图像关于原点对称，定义域都是R，所以第四个图像对应yx，第五个图像对应yx.由最后两个图像知函数定义域为0，)，而第六个图像呈上凸状，应小于1，第七个图像呈下凸状，应大于1，故第六个图像对应yx，第七个图像对应yx.所以按顺序分别填答案【训练2】已知幂函数yxn在第一象限内的图像如图所示，已知n取2，四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n的值依次为()A2，2 B2，2C，2,
8、2， D，2，2，解析考查幂函数yx的指数与图像的关系0时，当x1时，指数大的图像在上方，当0x1时，指数大的图像在下方1时，指数大的图像在上方，当0x1时，指数大的图像在上方，当0x1时，C1在C2上方，所以C1的指数大于C2的指数故选B答案B要点三抽象函数问题抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、图像的对称性，或是求函数值、解析式等主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数特性，特别是定义域上恒等式，利
9、用变量代换解题【例3】函数f(x)对一切实数x，y，都有f(xy)f(x)f(y)，且当x0时，f(x)0，试判断函数f(x)的单调性，并说明理由解法一设任意的x1，x2R，且x10.由条件x0时，f(x)0，f(x2x1)0又f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x2x1)0，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0)，则x10时，f(a)0，f(x1)f(x2)0，即f(x1)1时，f(x)0求证：(1)f(x)是偶函数；(2)f(x)在(0，)上是单调递增的证明(1)令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0令x1x21，得f(1)f(
10、1)(1)f(1)f(1)，f(1)0f(x)f(1)xf(1)f(x)f(x)f(x)是偶函数(2)设0x1x10，1f0，即f(x2)f(x1)0f(x2)f(x1)f(x)在(0，)上是单调递增的.考查方向要点四体现在函数中的数学思想方向1数形结合思想函数的图像是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图像能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等反之，掌握好函数的性质，有助于图像正确的画出函数图像广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点【例41】对于任意xR，函数f(x)表示x3，x，x24x3中的较大者，则f(x)的最小值是_解析首先应理解题意，“函
11、数f(x)表示x3，x，x24x3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f(x)表示x3，x，x24x3中最大的一个如图，分别画出三个函数的图像，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)从图像观察可得函数f(x)的表达式：f(x)答案2方向2分类讨论思想应用分类讨论思想解决问题的关键是确定分类的标准，从而使分类不重不漏解决该类问题的步骤：(1)确定分类讨论的对象，即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理的分类；(3)逐个讨论；(4)归纳总结，即对各类情况进行归纳，得出结论【例42】已知函数f(x)ax2(2a1)x3在区间上的最大值为1，求实数a的值解当a0时，f(x)x3，f(x)在上不能取得1，故a0f(x)ax2(2a1)x3(a0)的图像的对称轴为直线x0令f1，解得a，此时函数f(x)的图像的对称轴为直线x0，又因为a0，f(x0)最大，所以f1不符合题意
