1、完整版届高三理科数学理知识点公式总结A4doc2014 届高三理科数学（理）知识点、公式总结第一部分 集合1.集合中元素具有确定性、无序性、互异性。2.集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为 A A ；空集是任何集合的子集，记为 A ；空集是任何非空集合的真子集；如果 A B ，同时 B A ，那么 A = B. 如果 A B， B C，那么 A C .3. n 个元素的子集有 2n 个 . n 个元素的真子集有 2n 1 个 .n 个元素的非空真子集有 2n2 个.4. 一个命题为真，则它的逆否命题一定为真，原命题 逆否命题 . 一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真 . 否命题 逆
2、命题 .小范围推出大范围；大范围推不出小范围 . 例：若 x 5， x 5或 x 2 ，反之不行第二部分 函数1.函数的三要素：定义域，值域，对应法则。2.函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分，对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（ 1，2）上为减函数，就不能 说函数在上为减函数 .x（0，1）（1，2）y=a 0 a1y=ax a 1yx3. 指数函数： y a （ a 0,a 1 ），定义域 R，值域为（ 0, ）.x当 a 1，指数函数： y a 在定义域上为增函数；1x当当0a 1 ，指数函数： y a x
3、在定义域上为减函数 .Oa1时， y a x 的 a 值越大，越靠近 y 轴；当 0a 1 时，则相反 .4. 对数函数：如果 a （ a0, a1 ）的 b 次幂等于 N ，就是 abN ，数 b 就叫做以 a 为底的 N 的对数，记作 loga Nb （ a0, a1 ，负数和零没有对数）；其中 a 叫底数， N 叫真数。对数运算：Mlog a (M N )log a Mlog a Nlog a Nlog a M log a Nlog a M nn log a Mlog a nM1 log a Ma log a NNn换底公式：log b N推论：b log b c log c a1log
4、 a Nlog b alog alog a1 a2log a2a3. log an 1 anlog a1 an（以上 M0,N0,a0,a1,b0,b 1,c0,c1,a1,a2 .an 0且 1） ya x （ a0, a1）与 ylog ax 互为反函数。当 a1时， ylog a x 的 a 值越大，越靠近 x 轴；当 0 a1 时，则相反。5.奇函数，偶函数：偶函数： f ( x) f (x) ,设（ a, b ）为偶函数上一点，则（ a, b ）也是图象上一点 .1偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：yx 21在 1,1) 上不是偶函数。满足 f ( x)f
5、 (x) ，或 f (x)f (x)0奇函数： f ( x)f ( x) ,设（ a, b ）为奇函数上一点，则（a, b ）也是图象上一点 .奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：yx3 在 1,1)上不是奇函数。满足 f ( x)f (x) ，或 f ( x)f (x)06. 对称变换： y = f（ x）y轴对称yf（x）y =f（x）x轴对称（ ）原点对称f（ x）yfxy =f（ ）yx第三部分 直线和圆一、直线方程1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与 x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，直线倾斜角的范围是 0 o180 o(0) .注：当90 或
6、 x 2x1 时，直线 l垂直于 x 轴，它的斜率不存在 .每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有唯一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定。2.把握直线方程的几种形式：点斜式、两点式、斜截式、一般式。3.两条直线平行：l 1 l 2 k 1 k 2 两条直线平行的条件是：l 1 和 l 2 是两条不重合的直线 . 在 l 1 和 l 2 的斜率都存在的前提下得到的，因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提 ”都会导致结论的错误。推论：如果两条直线 l1 ,l 2 的倾斜角为1,2 则 l 1 l 212 。两条直线垂直：两条直线垂直
7、的条件：设两条直线l 1 和 l2 的斜率分别为 k 1 和 k 2，则有 l 1l 2 k1 k 2 1 这里的前提是 l 1,l 2 的斜率都存在。 l 1l 2k 1 0 ，且 l 2的斜率不存在或 k20 ，且 l 1 的斜率不存在 . （即 A1 B 2 A2 B1 0 是垂直的充要条件）4.点到直线的距离： 点 到直线的 距离 公式 ：设点 P( x0 , y0 ) ，直 线 l : Ax By C0, P 到 l 的距 离为 d ，则有Ax0 By 0 CdA 2.B 2两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l 1 : AxBy C1 0,l 2 : Ax By C 2 0(C1
8、 C 2 ) ，它们之间的距离为 d ，则有 dC1C 2 .A 2B 25.关于点对称和关于某直线对称：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等。关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等。若两条直线不平行， 则对称直线必过两条直线的交点， 且对称直线为两直线夹角的角平分线。点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程） ，过两对称2点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点 .1. 圆的标准方程：以点 C(a, b) 为圆心， r 为半径的圆的标准方程是 ( x a)2( yb) 2r
9、2 。特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是： x 2y 2r 2 。2. 圆的一般方程： x2 y 2 DxEyF0当 D 2E 24F0 时，方程表示一个圆，其中圆心 CD ,E，半径 rD 2E 24F 。222当 D 2E 2 4F 0时，方程表示一个点D ,E . 当 D 2E 24F0 时，方程无图形（称虚圆） 。22注：圆的参数方程：xar cos（ 为参数） .ybr sin方程 Ax 2BxyCy 2DxEyF0 表示圆的充要条件是：B 0 且 A C0 且 D 2 E 2 4 AF 0 。3.直线和圆的位置关系：设圆圆 C ： (xa) 2 ( yb) 2r 2 ( r
10、0) ；直线 l ： AxByC 0(A 2 B 20) ；(1)圆心 C( a, b) 到直线 l的距离 dAaBbC.A 2 B 2d r 时， l 与 C 相切； dr 时， l 与 C 相交； dr 时， l 与 C 相离 .(2)由代数特征判断：方程组( xa) 2( yb) 2 r 2用代入法，得关于 x （或 y ）的一元二次AxBxC0方程，其判别式为，则：A.0 l 与 C 相切； B.0l 与 C 相交； C.0l 与 C 相离 .第四部分三角函数1. 与 （0360）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：|k 360, k Z熟悉如终边在 x 轴上的角的集合：|k 18
11、0 , k Z2. 角度与弧度的互换关系： 360=2180=1 =0.01745 1=57.30 =57 183.三角函数的公式：（一）基本关系1）同角的三角函数： sin 2 xcos2 x1tan xsin x2）诱导公式：形如： sin( k) （或 cos(kcos x) ）方法： 奇变偶不变，符号看象限 。如： sin( 322)cos， tan(3)tan。2（二）角与角之间的互换公式组一公式组二cos()coscossinsinsin 22 sincoscos()coscossinsincos2cos2sin 22 cos21 1 2sin 2sin()sincoscos si
12、ntan22 tan1tan2sin()sincoscossin3tan(tantantan(tantan)tan)tan1 tan1 tan5.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：ysin xy cosxytan xx | x R且x1定义域RRk,k Z2值域 1, 1 1, 1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数2k,2k 2k1,2k ；上为增函数k ,k2k, 2k 1 上为减函数2222单调性上为增函数；（ kZ ）上为增函数（ kZ ）2k , 32k22上为减函数（ k Z ）对称性对称轴为 x k，对称对称轴为 xk，对称中心无对称轴，2为 (k,0)kZ对称中心为 (
13、k,0) k Z中心为 (k,0)， kZ22注意： ysin x 与 ysin x 的单调性正好相反； ycos x 与 ycos x 的单调性也同样相反 .一般地，若 yf ( x) 在 a, b 上递增（减），则 yf ( x) 在 a, b 上递减（增） . ysin x 与 y cosx 的周期是. ysin( x) 的对称轴方程是xk（ kZ ），对称中心（ 1 (k),0 ）；y cos( x )xk2）； ytan(x) 的对称中心的对称轴方程是（ kZ ），对称中心（ 1 (k1),02（ 1 ( k),0 ） .2tan x 在 R 上为增函数说法是错误的 . 只能在某个单
14、调区间单调递增。 若在整个定义函数 y域， y tan x为增函数，同样也是错误的 。ysin x 为周期函数（ T）； y cos x 为周期函数（ T）；辅助角公式： ya cosb sina2b2 sin()(其中 tanb )。a第五部分 向量与解三角形1.长度相等且方向相同的两个向量是相等的量。2. a =aaa a a bab设 ax1 , y1 , bx2 , y2 ,Ra bx1x2 , y1y 2a bx1x 2 , y1y 2ax1, y2a bx1 x2y1 y2ax12y12（向量的模，针对向量坐标求模）平面向量的数量积： a bab cos a bb aa ba b
15、a b a b c acb c注意： a bca bc 不一定成立； a bb cac .向量无大小（“大于”、“小于”对向量无意义） ，向量的模有大小。长度为 0 的向量叫零向量，记0 ， 0 与任意向量平行， 0 的方向是任意的，零向量与零向量4相等，且 0 0 。 a a = | a |2 ， | a |= a 2 （针对向量非坐标求模）， | a b | | a | | b | 。当 a 0 时，由 a b 0 不能推出 b 0 ，这是因为任一与 a 垂直的非零向量若 a b ， b c ，则 a c 是不成立的，因为当 b 等于 0 时，不成立。3. 向量 b与非零向量共线的充要条件
16、是有且只有一个实数，使得 b ab ，都有 a b =0。a（平行向量或共线向量）。r0, a 与 b 共线反向；当0, 则为 0, 0 与任何向量共线。当0,a 与 b 共线同向：当设 a = x1 , y1 ， bx2 , y2a bx1 y2 x2 y10ab a b a ba ba b 0x1 x2y2 y10两个向量 a 、 b 的夹角公式： cosx1 x 2y1 y 2x1x2x32222xx1y1x2y23三角形重心坐标公式： ABC 的顶点 A x1, y1, B x2 , y2 , C x3 , y3 ，重心坐标 G x, y：yy1y 2y3注意：在 ABC 中，若 0
17、为重心，则 OA OB OC0，这是充要条件。3平移公式：若点 P x, y按向量 a = h, k平移到 Pxxhx , y，则yky4. 正弦定理： 设 ABC 的三边为 a、b、c，所对的角为 A、B、C，则 abc2R 。sin Asin Bsin Ca2b 2c 22bc cos A余弦定理： b2a 2c 22ac cos Bc2b 2a 22ab cos C(4)三角形的四个“心” ；外心：三角形三边垂直平分线相交于一点 .重心：三角形三条中线交点内心：三角形三内角的平分线相交于一点垂心：三角形三边上的高相交于一点 .第六部分数列1. 等差数列等比数列等差、定义an 1anda
18、n 1q( q0)等 比an数列：递推公式anan 1d ； a nam nmdanan 1q ； anamq n m 看通项公式ana1(n 1) da na1 qn1 （ a1 , q0 ）数 列中项Aan kan kGan k an k (a n k a n k0)是 不2（ n, k N * , n k0 ）是 等k0 ）（ n, k N * , n差 数前 n 项和Snnan )na 1 (q1)列 有(a1n2S na1 1 qa1a n q以 下n(n1)2)Snna11q1( q三 种2dqa q (m, n, p, q N * ,方法：重要性质am anpa pamana paq (m, n, p, qN * ,m n p q)mnq)anan 1d( n 2, d为常数 )2 anan 1a n 1 ( n2 ) a nkn b ( n, k 为常数 ).看数列是不是等比数列有以下四种方法：5 anan 1 q( n 2, q为常数 ,且 0) a n2a n1 a n 1 ( n2 ， an a n 1 an 1 0 ) a ncq n ( c, q 非零常数 ).数列 a n 的前 n 和 Sn 与通 a n 的关系： ans1a1( n1)snsn 1 (n2)2. 等差数列依次每 k 的和仍成等差数列，其公差 原公差的 k2 倍 Sk , S2kSk
