1、第十五章整式的乘除与因式分解教学案15.1.1同底数幂的乘法（第一课时）学习目标：经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，能用代数式和文字正确地表述，并会熟练地进行计算。通过由特殊到一般的猜想与说理、验证，发展推理能力和有条理的表达能力学习重点：同底数幂乘法运算性质的推导和应用 学习过程： 一、 创设情境 引入新课 复习乘方an的意义：an表示 个 相乘，即an= 乘方的结果叫 a叫做 ，n是 问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？列式为 ，你能利用乘方的意义进行计算吗？二、探究新知：探一探： 1根据乘方的意义填空（1）2324=（222）（2222）=2
2、( )；（2）5554=_ _=5( )；（3）（3）3（3）2=_ _ =（3）( )；（4）a6a7=_ _ =a( )（5）5m5n 猜一猜： aman = (m、n都是正整数) 你能证明你的猜想吗？说一说：你能用语言叙述同底数幂的乘法法则吗？ 同理可得：aman ap = (m、n、p都是正整数)三、范例学习：【例1】计算：（1）103104； （2）aa3； （3）mm3m5； （4）xmx3m+1 (5)xx2 + x2x 1.填空： 10109= ； b2b5= ； x4x= ； x3x3= .2.计算：(1) a2a6； (2)(-x)(-x)3； (3) 8m(-8)38n；
3、 (4)b3(-b2)(-b)4【例2】：把下列各式化成（x+y）n或（xy）n的形式（1）（x+y）4（x+y）3 (2)（xy）3（xy）（yx）(3)8（xy）2（xy） (4) （x+y）2m（x+y）m+1 四、学以致用：1.计算： 10n10m+1= x7x5= mm7m9= 4444= 22n22n+1= y5y2y4y= 2.判断题：判断下列计算是否正确？并说明理由 a2a3= a6( )； a2a3= a5（ ）； a2+a3= a5 ( )； aa7= a0+7=a7（ ）； a5a5= 2a10 （ ）； 2532= 67 （ ）。3计算：(1) xx2 + x2x (2
4、) x2xn+1 + xn-2x 4 xn-1x4 (3) -(-a)3(-a)2a5； (4) (a-b)3(b-a)2 (5)（x+y）（x+y）（x+y）2 + （x+y）2（x+y）24.解答题：（1）已知xm+nxm-n=x9，求m的值（2）据不完全统计，每个人每年最少要用去106立方米的水，1立方米的水中约含有3.341019个水分子，那么，每个人每年要用去多少个水分子？15.1.2 幂的乘方（第二课时）学习目标：理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质学习重点：幂的乘方法则学习过程一、情境导入大家知道太阳，木星和月亮的体积
5、的大致比例吗？我可以告诉你，木星的半径是地球半径的102倍，太阳的半径是地球半径的103倍，假如地球的半径为r，那么，请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少？（球的体积公式为V=r3） 二、探究新知： 探究一： a3代表什么？ （102）3表示什么意义呢？ 探究二：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算的结果有什么规律？（1）（24）3= =2( ) （2）（a2）3= =a( )（3）（bn）3= =b( )（4）归纳总结得出结论：（am）n= a( ) 用语言叙述幂的乘方法则： 三、范例学习 【例1】计算：（1）（103）5； （2）（b3）4； （3）（xn）3； （4）（x7）7
6、 【练习】A组：（103）3 = （）74 = （6）32= B组：（x2）5 = （a）2 7 = （am）3= C组： 262 = （ab）m n = （a4）3（a3）4= D组：（x2）37 = （x2）3x7= x2n（xn）2= 10510n+1= （x+y）7（x+y）5 = x2x2（x2）3+x10= 【例2】：判断（错误的予以改正） a5+a5=2a10 ( ) (x3)3=x6 ( ) （6）2（6）4 = （6）6 = 66 ( ) x7 +y7=(x+y) 7 ( ) （mn）3 4（mn）2 6=0 ( ) 【例3】若(x2)m=x8 ，则m= 若(x3)m2=x1
7、2 ，则m= 若xmx2m=2，则x9m= 若a2n=3 ，则(a3n)4= 已知am=2,an=3,求a2m+3n的值。 自主检测幂的乘方，底数_，指数_用公式表示（am）n=_（m，n为正整数）1下面各式中正确的是（ ） A（22）3=25 Bm7+m7=m14 Cx2x3=x5 Da6a2=a42 （x4）5=（ ） Ax9 Bx45 Cx20 D以上答案都不对3 a2a+2aa2=（ ） Aa3 B2a6 C3a3 Da64 （1）（x5）3=_，（2）（a2）4=_ （3）（y4）2=_， （4）（a2n）3=_5 （a6）2=_，（a3）3=_，（102）3=_6 （2ab）3 3
8、=_， （2x3y）2 2=_（mn）4 3=_7 a12=（ ）6=（ ）4=（ ）3=（ ）28 （a3）5（a2）3=_9 3（a2）32（a3）2=_10 若27a = 32a+3，则a=_11 若a2n=3，则a6n=_12 若（）n=，则n=_13 若2n+3=64，则n=_14 计算：（1）x3x5x+（x3）2x 3+4（x6）2; （2）2（a3）4+a4（a4）215已知：5225x=625，求x的值16已知A=355，B=444，C=533，试比较A，B，C的大小（用“”连接） 17若2m=5，2n=6，求2m+n，22m+3n的值15.1.3 积的乘方（第三课时）学习目
9、标： 1通过探索积的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义 2积的乘方的推导过程的理解和灵活运用学习重点：积的乘方的运算学习方法：采用“探究交流合作”的方法，让学生在互动中掌握知识 学习过程：一、情境引入：计算：（1）（x4）3 = （2）aa5 = （3）x7x9（x2）3= 二、探索新知活动：参考（2a3）2的计算，说出每一步的根据。再计算（ab）n。（1）（ab）2=（ab）（ab）= （aa）（bb）= （2）（ab）3= = = （3）（2a3）2= = = 猜测并证明：（ab）n= （n是正整数）用语言叙积的乘方法则： 同理得到：（abc）n = （n是正整数） 三、范例学习【例
10、1】计算： 1.计算：（1）（2b）3； （2）（5a）3 （3）（2x2y3）2； （4）（3x）4 2.下面计算对不对？如果不对，应怎样改正？； ； 【例2】计算： （8）2011 （0.125）2010 3.用简便方法计算下列各题（1） (）2008（）2008 （2）（8）2006（）2005 【例3】计算： 自主检测：积的乘方，等于 用公式表示：（ab）n=_（n为正整数）1填空：（1）（2）2（2）3= ； （2）（a5）5= ；（3）（2xy）4= ；（4）（3a2）n= ； （5）（x4）6（x3）8= ；（7）；p（p）4= （8）（tm）2t= 2下面各式中错误的是（ ）A
11、（24）3=212 B（3a）3=27a3 C（3xy2）4=81x4y8 D（3x）2=6x23.如果（ambn）3=a9b12，那么m，n的值等于（ ）Am=9，n=4 Bm=3，n=4 Cm=4，n=3 Dm=9，n=64计算：a6（a2b）3的结果是（ ）Aa11b3 Ba12b3 Ca14b D3a12b45428n= 6. 若x3=8a6b9，则x=_7计算：（1）（ab）2 （2）（x2y3）4 （3）（2103）2 （4）（2a3y4）3 8已知xn=5，yn=3，求（xy）3n的值 9.已知：am=2，bn=3，求a2m+b3n的值10.计算：（0.125）12（1）7（8）
12、13（）915.1.4 单项式乘以单项式（第四课时）学习目标：理解整式运算的算理，会进行简单的整式乘法运算学习重点：单项式乘法运算法则的推导与应用学习过程一、问题：如图，把6个长为a，宽为b的长方形拼在一起，那么大长方形的面积是多少呢？你能用两种方法表示吗？ ； 你会用我们所学的知识说明从等式左边推导到等式右边的过程吗?二、探索新知探索一：计算下列式子的结果，并与同学交流你的做法： 3a2 2a3 -3m2 2m4 x2y3 4x3y2 (4) 2a2b3 3a3通过以上探究总结单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘的运算法则： 三、范例学习例1 计算：(1) (-5a2b)(-3a
13、); (2) (2x)3(-5xy2). （3）练习 课本P145 练习1、2例2 光的速度约为米/秒，太阳光照射到地球上的时间大约是秒，求地球与太阳的距离约为多少千米？3.计算：（）（）（）； 例3 计算：； 自主检测1下列计算中，正确的是（ ）A2a33a2=6a6 B4x32x5=8x8 C2x2x5=4x5 D5x34x4=9x72下列计算： a5+3a5=4a5 2m2 m4=2m8 2a3b4(-ab2c)2= -2a5b8c2 (-7x) x2y= -7x3y中，正确的有（ ）个。A1 B2 C3 D43如果单项式-3x4a-by2与x3ya+b是同类项，那么这两个单项式的积是（
14、 ）A3x6y4 B-3x3y2 C 3x3y2 D -3x6y44已知am=2，an=3，则am+n=_；a2m+3n=_5下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？（1）4a2 2a4 = 8a8 （2）6a3 5a2=11a5 （3）(-7a)(-3a3) = -21a4 （4）3a2b 4a3=12a5 。6计算：(1) -5a3b2c 3a2b； (2) （2xy2）（3x2y）； (3) （m2n3t）（25mnt2）；(4) x3y2(-xy3)2； (5) (-9ab2) (-ab2)2； (6) (2ab)3(-a2c)2；7已知，求m、n的值。若x3n=2,求2x2n x4n+
15、x4n x5n的值。15.1.5 单项式与多项式相乘（第五课时）学习目标：通过尝试，体验单项式与多项式的乘法运算法则，会进行简单的整式乘法运算 学习重点：单项式与多项式相乘的法则学习过程：一、知识回顾计算：（1）（3x）（x）= （2）（5x）（3x）2 = （3）xyxy2 = （4）5m2（mn）= （5）x4y62x2y（x2y5）= 二、探究新知：问题1：请同学们观察如图所示的大长方形，试用代数式表示大长方形的面积？问题2：冬天已经来临，某公司在三家连锁店以相同价格n（单位：元台）销售A牌电暖器，他们在一个月内的销售量（单位：台）分别是x，y，z，请你采用两种不同的方法计算该公司在这一
16、个月内销售这种电暖风的总收入？ 问题3：根据以上两个问题的探索你认为应如何进行单项式与多项式的乘法运算？ 单项式与多项式的乘法运算法则： 三、范例学习例1 计算： a（1+b-b2） 2a2（3a2-5b） （2a2）（3ab25ab3） 练习 课本P146 练习1、2例2 化简求值：，其中。3.先化简再求值 x2（x2x1）x（x23x），其中x=2 （2xy）2（x2y2）（3xy）3+9x2y49x4y2，其中x=1，y=1例3 解方程：8x（5x）=192x（4x3） 自主检测1计算：（3105）（2106）3102（103）3=_2要使的结果中不含项，则等于 3下列各式计算中，正确的
17、是（ ）A（2x23xy1）（x2）=x4x3y+x2 B（x）（xx2+1）=x2+x3+1C（ xn1xy）2xy=xnyx2y2 D（5xy）2（x21）=5x2y25x2y24计算：（3xy25x2y）（xy）； an（ama21）； 5x2（2x23x3+8） 5.拓展：一家住房的结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是a元/米，那么购买所需地砖至少要多少元？15.1.6 多项式与多项式相乘（第六课时）学习目标：理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算学习重点：多项式与多项式的乘法法则的理
18、解及应用学习过程：一、创设情境 我们在上一节课里学习了单项式与多项式的乘法，请口算下列练习中的(1)、(2)：(1) 3x(x+y)= ； (2) (a+b)k= ；(3) (a+b)(m+n)= ？ 比较(3)与(1)、(2)在形式上有何不同？如何进行多项式乘以多项式的计算呢？这就是我们本节课所要研究的问题二、探索新知：问题1：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积吗？不同表示方法之间有什么关系？问题2：请同学们认真观察上述等式的特征，讨论并回答如何用文字语言叙述多项式的乘法法则？多项式与多项式相乘， 字母表示为：
19、 三、范例学习：例1：计算(1) (a+4)(a+3) (2) （3x1）（2x+1） （3）（x3y）（x+7y）（4）(x+2y)2 （5）(3x+y)(3xy) （6）(x+y)( x2xy+y2)练习1 课本P148 练习1、2例2 计算：（1）n(n+1)(n+2) (2) （3）8x2（x2）（3x+1）练习2 计算：(1) (3a2+2)(4a+1) (2) (5m+ 2)(4m2- 3) （3） 2（a4）（a+3）（2a+1）（a3）例3先化简，再求值：（a3b）2+（3a+b）2（a+5b）2+（a5b）2，其中a=8，b=6练习3 先化简，再求值（x2y）（x+3y）2（
20、xy）（x4y），其中x=1，y=2自主检测：1判断题：(1) (a+b)(c+d)= ac +bd；( ) (2) (a+b)(c+d)= ac+ad+bc+bd； ( )(3) (a-b)(c-d)= ac- bd；( ) (4) (a- b)(c-d)= ac+ ad+bc- ad( )1下列各式计算中，正确的是（ ） A（x1）（x+2）=x23x2 B（a3）（a+2）=a2a+6 C（x+4）（x5）=x220x1 D（x3）（x1）=x24x+32计算（5x+2）（2x1）的结果是（ ）A10x22 B10x2x2 C10x2+4x2 D10x25x23计算：（1） （2） （3
21、） （4） (5) 2x-1)(4x2+2x+1) 5.2.1 平方差公式（第七课时）学习目标：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用平方差公式进行简单计算学习重点：平方差公式的推导和运用学习过程一、 知识回顾：计算： （x3）（x+7） （2a+5b）（3a2b） (mn)(m2+mn+n2) 二、探索新知：计算：（1）（x+2）（x2）； （2）（1+3a）（13a）；（3）（x+5y）（x5y）； （4）（y+3z）（y3z） 观察以上算式及运算结果，请你猜测： = ，并证明。用语言叙述规律： 。体现的数学思想是从特殊到一般的归纳证明。【特殊归纳猜想验证用数学符号表示】三、
22、范例学习平方差公式的运用，关键是正确寻找公式中的a和b，只有正确找到a和b，一切就变得容易了 例1 运用平方差公式计算：（1）（2x+3）（2x3）； （2）（b+3a）（3ab）； （3）（m+n）（mn）练习 1.下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？（1）（x+2）(x-2)= x2-4 ( ) （2）（3x+2）(3x-2)=3x2-4 ( ) （3）（-2x-3）(2x+3)=4x2-9 ( )2.计算：（a+5）(a-5) （4x+2y）(4x-2y) （-3x+2）(3x+2) （x2+2）(x2-2)例2 计算：（1）10397 （2）（ab）（a+b）（a2+b2）； （3）
23、（3xy）（3yx）（xy）（x+y）练习3.计算： 201199 （-a-1）（1-a）-（a+3）（a-3）； 自主检测知识要点：1平方差公式：两个数的 与这两个数 的积，等于它们的 即：（a+b）（a-b）= 公式结构为：（+）（-）= 2公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式只要符号公式的结构特征，就可以用这个公式（要注意公式的逆用）1.填空：（xy）（x+y）= ； （3x2y）（3x+2y）= （ ）（_3a +2b）=9a24b2； （3x-y）（_ _）=9x2-y2。 2.计算（1-m）（-m-1），结果正确的是（ ） Am2-2m-1 Bm2-1 C
24、1-m2 Dm2-2m+13.计算（2a+5）（2a-5）的值是（ ） A4a2-25 B4a2-5 C2a2-25 D2a2-54.下列计算正确的是（ ）A（x+5）（x-5）=x2-10 B（x+6）（x-5）=x2-30 C（3x+2）（3x-2）=3x2-4 D（-5xy-2）（-5xy+2）=25x2y2-45.下列能用平方差公式计算是（ ）A（a+b）（-a-b） B（a-b）（b-a） C（b+a）（a+b） D（-a+b）（a+b）6.利用平方差计算 （3a+b）（3a-b） （a-b）（a-b） （a-b）（a2+b2）（a4+b4）（a+b） （3x4y）（4y+3x）+（
25、y+3x）（3xy）7.利用平方差公式计算 1003997 1415 15.2.2.1 完全平方公式（第八课时）学习目标：会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算，掌握完全平方公式的计算方法形成推理能力学习重点：完全平方公式的推导和应用学习过程一、知识回顾：请同学们应用已有的知识完成下面的几道题：计算：（1）（2x3）（2x3） （2）（a+1）2 （3）（x+2）2（4）(a - 1) 2 (5)（m - 2）2 (6)（2x4）2二、探究新知：【活动1】: 观察思考：通过计算以上各式，认真观察，你一定能发现其中的规律？ 要计算的式子都是 形式，结果都是 项， 原式第一项和结果第一项有
26、什么关系？ 原式第二项与结果最后一项是什么关系？ 结果中间一项与原式两项的关系是什么？ 猜测：（a+b）2 = （ab）2 = 验证：请同学们利用多项式乘法以及幂的意义进行计算（a+b）2 （ab）2归纳：完全平方公式：（a+b）2= （ab）2= 语言叙述： 【活动2】：其实我们还可以从几何的角度去解析完全平方公式，你能通过课本P154思考中的拼图游戏说明完全平方公式吗？三、范例学习：例1 运用完全平方公式计算：（1）（4m+n）2 (2) (y）2 （3）（xy）2； （4）（ba）2练习 1 课本P155练习1、2例2 运用完全平方公式计算： (1) 1022 （2）992 练习2 计算： 2012 972思考：与相等吗？与相等吗？注意： 如果两个数是相同的符号，则结果中的每一项 的；如果两个数具有不同的符号，则它们乘积的2倍这一项就是 自主检测1填空：（x）2=x2+_+ （0.2x+_）2=_+0.4x+_（x2y）2=x2+（_）+4y2 （_ _）2=a26ab+9b2 x2+4x+4=（_ _）2 （xy）（x+y）（x2y2）=
