1、三角函数应用题练习及答案三角函数的应用题第一阶梯例 1如图，ADBC, AC丄BC,若 AD二3, DC二5,且ZB二30 ,求 AB 的长。解：TZDAC二90。 由勾股泄理，有 CD：=AD：+AC：AD二3, DC二5AC 二 4 ZB 二 30 AB 二 2ACAB 二 8丄例 2如图，ZUBC 中，ZB二90 , D 是 BC 上一点，且 AD二DC,若 tgZDAC二 4,求 tgZBADo探索：已知tgZDAC是否在直角三角形中？如果不在怎么办？要求ZBAD的正切值需要满足怎样的条件？ 点拨：由于已知中的tgZDAC不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，即可地D点作AC的
2、垂线。又要求ZBAD的正切值应已知RtABAD的三边长，或两条直角边AB、BD的长，根据已知可知没有提 供边长的条件，所以要充分利用已知中的tgZDAC的条件。由于AD二DC,即ZC=ZDAC,这时也可 把正切值直接移到RtAABC中。解答：过D点作DE丄AC于E,/ /gZDAC = *DE且以dac花设 DE二k,则 AE=4kTAD 二 DC,A ZDAC=ZC, AE=ECAC 二 8kfgC = 设 AB二m, BC=4m 由勾股定理，有 AB:+BC:=AC:8眄 tn = k 17由勾股左理，有CD:=DE:+EC: CD = 4vik.他=込17由正切左理，有5唱tgZBAD=
3、吕例 3如图，四边形 ABCD 中,ZD二90 , AD二3, DC=4 AB二 13, BC二 12,求 sinB。探索：已知条件提供的图形是什么形？其中ZD二90 , AD二3, DC二4,可提供什么知识？求sinB应放在什么 图形中。点拨：因已知是四边形所以不能求解，由于有ZD二90 , AD二3, DC二4,这样可求AC二5,又因有AB二13, BC二12, 所以可证AABC是RtA因此可求sinBo解：连结ACIZD二90 由勾股圧理，有AC：=CD=+CD2TAD二3, CD二4,AC 二 5TAB二 13, BC二 12/. 13:=12:+52 ZACB=90sin B =AC
4、.- sin B =13设 AB=x由正眩左义，有&tsZACB = CB/.C)= x(V3-l)CD = 20, x(V3-1) = 20解得兀=10( + 1)即塔高 A = 10(J + l)答：塔高AB为1（循+ 1）米。第三阶梯例1己知等腰三角形的顶点为A,底边为乩 求它的周长及面积。探索：在现在的已知条件下能否求得周长与而积？如果不能求解是因为什么原因造成的，这时底边为/ 能否确立腰长及各个内角呢？首先能否确左三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办？ 点拨：由于没有相应的图形，所以应先确左图形，若是等腰三角形，应先假设这个三角形是斜三角形， 再根据条件先转化为直角三角形，再
5、求相应的量。设已知AABC中，AB二AC, BC=a （如图） 解：过A点作：AD丄BC竿D点，设ZBAD”TAB 二AC-,ZBAD=ZCAD = aBD二CD二 2根据正弦立义，有sin ABAD= ABa即佔=丄=_sin a 2 sin a同理4C =一2sin aAB+AC+BC 二 a+sina.羔叱例2有一块矩形纸片ABCD,若把它对折，B点落在AD上F处，如果DC=6cm,且ZDFC二2（）, ZECB二0 , 求折痕CE长。探索：根据已知条件图形对折，B点落在F点的含义是什么？它会有怎样的结论？这时又可以形成什么 图形关系？另知DC的长能否求折痕呢？又根据条件我们还可以确左什
6、么？这时又可形成怎样的问 题？点拨：由于F点的形成是因对折B点而形成的，因此可有厶EBCAFEC,同时又可有 AEFACDF 根据已知条件ZDFC=2 0及ZECB二0,这时就可以形成与角有关的图形。进而可求CE的长。解：根据已知条件，有AEBCAFECEB二EF, BC二FC, ZECB二ZECFTZCFD二2 0,且 ZECB二 0 ZECF二（）由余弦泄义，有CDcosZA）C= CFV ZADC=90 -2 0 CDCF = sin 20由余弦泄义，有CF. c os ZFCE = CE:.CE = sin 2&cos&例3如图6-5-5,某船向正东方向航行，在A处望见灯塔C在东北方向
7、，前进到B处望见灯塔C在北偏西30 , 又航行了半小时，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离，（结果不取 近似值）图 6-5-5思路分析：易知AACD是等腰直角三角形，要求AD,不能利用AACD直接求得，由于BD=20x- = 0,图形中再没有2其他的直角三角形，必须构造直角三角形，作CE丄AD于E,只要求出CE,就可能以求出AD,借助两个直角三角形（4BCE 和ADCE）中，BE、DE与BD的关系以及BE与CE之间的关系就可求CE“解作CE丄AD,垂足为E,设CE二x海里V ZCAD=ZCDA=90 -45 =45 ,/. CE=AE=DE=Xo在 Rt A
8、BCE 中，ZCBE=90 -30 =60 , BE = Ccot60 = x,3由 DE-BE二BD 得，x-x = 20 x ,32解得 x = 15 + 5V3 o. AD = 2x = （30 + 10Q（海里丿 o答：A、D两点间的距离为（3O + 1OJ5）海里。第四阶梯例1有一段防洪大堤，英横断而为梯形ABCD, ABDC,斜坡AD的坡度iE:1.2,斜坡BC的坡度乙二1:0.8,大 坝顶宽DC为6米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断而为梯形DCFE, EFDC，点E、F 分别在AD、BC的延长线上（如图6-5-6）,当新大坝顶宽EF为3.8米时，大坝加髙了几米？图
9、 6-5-6思路分析：本题实质上是梯形CDEF的有关计算问题,注意到大堤加高但坡度不变，即DE、CF的坡度公别为1:1. 2,1:0. & 又 DC二6米，EF二3. 8米,要求大坝加高的高度，分别作FH丄DC于G, FH丄DC于H,利用Rt A DEG, Rt A CFH和矩形EFHG 可以求出新大坝的高度.解作EG丄DC, FH丄DC,垂足分別为G, H,则四边形EFHG是矩形,GH二EF二3. 8米.设大坝加髙x米，则EG二FH二x米。*1:1.2, i=l:0. &.EG _ 1 FH _ 1DGV2CHODG = 1.2x,CH =O.8x.由 DG-GH+CH二6,得 1. 2x+
10、3. 8+0. 8=6.解得 x=l. 1答：大坝加髙了 1.1米。例2如图6-5-7,台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范囤内形式气旋风集，有极强的 破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级， 每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30方向往 C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。2）若会受到台风的影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？思路分析
11、：（1）作AD丄BC于D,达到或超过四级风力所影响的范用是距台风中心不超过（12-4） X20=160千米的范囤内,比较AD与160的大小关系，就可以确定该城市是否受这次台风的影响。（2） 当A点距台风中心不超过160千米时，将受到台风的影响，如图6-5-7, AE二AF二160千米，当台风中心 从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响，利用勾股立理计算岀EF的长度，就可以计算岀这次台风 影响该城市的持续时间。（3） 显然当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大。解（1） 如图6-5-7,由点A作AD丄BC,垂足为D。TAB二220, ZB=30 ,AD =丄 AB = 110（
12、千米）。2由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响，由于AD二110在髙2米，坡角为30的楼梯表面補地毯，地毯的长度至少需要 米（精确到01米）图 6-5-8 图 6-5-93.如图6-5-10,在高离铁塔150米的A处，用测角仪测得塔顶的仰角为30。，已知测角仪髙AD=1. 52米，则塔高BE二 （精确到01米）6-5-114.某防洪堤坝的横断而是梯形，已知背水坡的坡长为60米，坡角为30 ,则坝奇为 米。5.升国旗时，某同学站地离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30 ,若双眼离地而1.5米，则旗杆高度为 米，（用含根号的式子表示）6
13、.在地而上一点，测得一电视塔尖的仰角为45 ,沿水平方而再向塔底前进a米，又测得塔尖的仰角为60 ,那么电视塔高为 。7.若太阳光线与地面成37角，一棵树的影长为10m,则树髙h的取值范用是（）A. 3h5 B、5h10 C. 10h158.河堤的横断而如图6-5-11所示。堤高BC是5米，迎水坡AB的长是13米。那么斜坡AB的坡宽I是（） A. 1： 3 B、1： 2 6 C. 1:2.4 D. 1:29.某地复季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地而成80角。房屋朝南的窗子高AB二1.8m,要在窗子外 面上方安装一个水平挡光板AC,使午间光线不能直接射入室内（如图：6-5-12）,那么
14、挡光板AC的宽度至少 应为（）图 6-5-13I 8A. 1. 8tan80 m B. 1. ScosSO m C. m D. 1. Scot80 msin 8010.如图6-5-13,水库大坝的横断而为梯形，坝顶宽6米，坝髙24米，斜坡AB的坡角为45 ,斜坡CD的坡度 1=1： 2,则坝底AD的长为（）A. 42 米 B、(30+24 JJ)米 C. 78 米 D、(30+8 3 )米 11、如图6-5-14,两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为乞则它们重叠部分（图中阴影部分）的而积为（）sin or cosaC sina D 112.如图6-5-15,直升飞机在跨河大桥
15、AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度P0=450米,且A、B、0三点在 一条直线上，测得大桥两端的俯角分別为二30 , 0=45 ,求大桥AB的长（精确到1米，供选的数据：、厲=1. 41, V3 1. 73）.13.某型号飞机的机翼形状如图6-5-16所示，其中ABCD,根据图中的数据计算AC、BD和CD的长度。（结果保 留根号）14.如6-5-17,某水库大坝的横断而是等腰梯形，坝顶宽度为6米，坝高10米，斜坡AB的坡度是1： 2 （AR： BR）,现要加高2米，在坝顶宽度和斜坡坡度不变的情况下，加固一条长50米的大坝，需要多少土方？15.如图6-5-18,已知C城市在B城市的正北方向，
16、两城市相距100千米，计划在两城市间修筑一条髙速公路（即 线段BC）,经测疑，森林保护区A在B城市的北偏东40方向上，又在C城市的南偏东56的方向上，已 知森林保护区A的范用是以A为圆心，半径为50千米的圆，问：计算修筑的这条公路会不会穿越保护区？ 为什么?（已知 tan40 =0. 839, tan56 =1.483）B组1、 1、知小山的高为h,为了测得小山顶上铁塔AB的高x,在平地上选择一点P,在P点处测得B点的仰角为 , A点的仰角为（见右表中测量目标图6-5-19）（1） 试用a、B和h的关系式表示铁塔高x;（2） 在右表中根据第一次和第二次的“测得数据”，填写平均值” 一列中a、B
17、的数值：（3） 根据表中数据求出铁塔x的值。（精确到0. 01m）2.如图6-5-20,某校的教室A位于工地0的正西方向，且0A二200米，一台拖拉机从0点出发，以每秒5米的速度沿北偏西53方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130米，试问教室A是否在拖拉机的噪声污染范用 内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒？（已知 sin53 0.80, sin37 0. 60, tan37 0. 75）图 6-5-201、 已知AABC 中，ZBAC=90c , AD丄BC 于 D, CD二9, AB二20,求 sinB.2、 已知水库大坝的横截而是梯形ABCD,若BCAD,坝顶BC宽
18、5米，坝高20米，斜坡AB的坡度之i二1 ： 25, 斜坡CD的坡度i=l : 2,求坝底AD及AB、CD长。43、 在 Rt AABC 中，ZACB=RtZ,CD丄AB 于点 D, AD=4, sinZACQ = ,则 CD= , BC= A组答案1、34m 2. 5.5 3、88. 1 米 4. 30An ah15、过点A作AD丄BC,垂足为D,在RtAADC中，CD二 :在RtAABD中，BD二 ,依题意有tan 56 tan 40丄兰一+丄0二100。所以ad00” 伽40 =53.58,因为AD50,所以计划修筑的这条髙速公路 tan 56 tan40e tan 56 + tan 4
19、0不会穿越森林保护区。B组答案：1.(1) x=(】二29 18, 3=35 59 x : (3) 30. 88m2.作 AB丄0M 于 B,易知ZA0B二90 -53 二37 ,所以 AB二0AXsinZA0B=0AXsin37 200X0. 60=120(米)。因 为120130,所以教室A在噪声污染范围内，依题意，在0M上取两点C、D,连结AC、AD.使AC二AD二130间为20秒。C组答案：1.易证ABDs/ABC,即 AB:=BC BD,设 BD二x,贝iJx + 9 20sin B =-x二 16,即 BD二25, AC二 15, A 52、作 BE丄AD 于 E, CF丄AD 于 F, Z.AD=95 米，AB53. 9 米，CD44. 7 米。
