1、必修4平面向量数量积考点归纳“平面向量”误区警示“平而向呈:”概念繁多容易混淆，对于初学者更是一头雾水.现将与平而向量基本概念相 关的误区整理如下.向量此是育向线段解析：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示 向量的方向.有向线段是向量的一种表示方法，不能说向疑就是有向线段.若向童砸与CD相普，则有向找段AB与CD *含解析：长度相等且方向相同的向疑叫做相等向量.因此，若A B = CD,则有向线段AB与CD 长度相等且方向相同，但它们可以不重合.若 AB II CD ,则筑段 AB/CD解析：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.故由忑与Cb平行，只能得
2、到线段AB与 CD方向相同或相反，它们可能平行也可能共线.购若向爻血与CD共线，则线段AB与CD共线解析:行向量也叫做共线向量，共线向量就是方向相同或相反的非零向量.故由应与C&共线，只能得到线段AB与CD方向相同或相反，它们可能平行也可能共线.(5)若 a / b, b II 6, flja II c解析：由尹零色量与任一向量平行，故当b = 0时，向量d、2不一定平行.当且仅当亍、6、5都为非零向量时，才有丘II c.若 |a| = |6|,则 a=6无 a=-b解析：也131=1 bl,只能定向的长度相等,不能确定其方向有何关系.当孑与B不共线时，a = b或d=6都不能成立.草住向董都
3、相等解析：长度等于一个长度单位的向量叫做单位向量，由于单位向量的方向不一左相同，故单位 向量也不一定相等.若I 3 | =0,则3 =0解析：向量和实数是两个截然不同的概念，向量组成的集合与实数集合的交集是空集.故若la 1=0,则a = 0 ,不能够说a =0.平面向量数量积四大考点解析考点一.考査概念型问题例1.已知7、I、7是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数( )(1)a b = a - b o a lib ; (2)a,b 反向 o b = a - bf f f f f f么丄 b o a + b = u b ； (4) a = b /? = b-cA. 1 B.2 C. 3 D
4、. 4评注：两向量同向时，夹角为0(或(T )：而反向时，夹角为n (或180 )：两向量垂直时，夹 角为90 ,因此当两向量共线时，夹角为0或几，反过来若两向量的夹角为0或兀，则两向量共线.考点二、考査求模问题例2已知向虽：方=(一2,2加=(5,小，若a + b不超过5,则k的取值范用是 评注：本题是已知模的逆向题，运用左义即可求参数的取值范1刊。例3.(1)已知均为单位向量，它们的夹角为60。，那么：+ 3庁=()A.、厅 B. V10 C. y/3 D. 4(2)己知向虽a = (cos&,sin&),向量& = (/5,1)，则la-b的最大值是 评注：模的问题采用平方法能使过程简化
5、。考点三.考査求角问题例4已知向量+3&垂直于向 7a-5h，向量a-4方垂直于向量7“ -2 b，求向量与丘的夹角.练习一：数量积(内积)的意义及运算1.已知向量1方1=4, 7为单位向量，当它们之间的夹角为冬时，方在？方向上的投影与7在方方 3向上的投影分别为()A. 2命， B. 2 , 2 C. ,2的 D. 1 ,2(1)求1方+力的值：(2)当m为何值时，与d垂直?练习目的：结合以前所学向量垂直的等价关系，类比数量积的运算与实数多项式的运算关系，达到 巩固数量积的运算目的.练习二：数量积的坐标运算、模及夹角4.直角坐标系xOy中，人了分别是与上y轴正方向同向的单位向捲.在直角三角形
6、ABC中，若AB = 2； + j, AC = 3i+kj，则R的可能值个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4练习目的：结合向量垂直的等价关系，练习数量积的坐标运算，体会分类讨论的数学思想方法.5.已知向量Gl=2, I引=20 a + b = (2/392)求(1) a-bx (2) “ +厶与么一厶的夹角练习目的：巩固平而向量的模以及夹角公式，类比向量的运算与实数多项式的运算的关系.6设向a.b满足01= 2,1力=1,方/的夹角为60 ,若向2ta + lb与向a + tb夹角为钝角,求实数/的取值范围。练习目的：综合运用向量的数量积、夹角公式以及向量共线的条件解题，在解题时
7、要特別注意特殊 情况，才能不遗漏地正确解题.练习三.平面向量的综合应用7. (1)已知MBC中，AB = a,BC = bt B是44BC中的最大角，若方.0,则zUBC的形状为 .练习目的：体会应用平而向量的夹角公式判断三角形的形状. 平面向量巩固检测L 已知 = (cos a, sin a), Z? = (cos0、sin0),其中 0 a/3 且 a +b =4求sinafTT T TT TTTTTT3.设m = 0+ 2d, b = 3 2 e2 , 其中 q 丄岂且 e, = 1.计算a+b |的值；当&为何值时ka+2与；- 3 Z互相垂直?4. 已矢口向= (cosx, sinx
8、), 百=(cos*. x、sin2，其中 xG0. y3(1)求a b及a 4- b ! ： (2)若f (x) = a b 2 X a + b的最小值为一，求X的值平面向量数量积四大考点解析考点一.考査概念型问题例1.已知方、I)、:是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数( )(1) a b = a - b allb ; (2)a,b反向 o b = a - bf f f # f f fa 丄 b o a + b = a-h ； (4) a -b O a - b = b-cA. 1 B. 2 C. 3 D. 4分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一仍是向量数量积的立义：二是向量加
9、法与 减法的平行四边形法则.解： T a 乙二 I a 丨 I F I cos 0由I ：b = a丨帀I及a. h为非零向量可得I cosO I二1 0二0或： &且以上各步均可逆，故命题(1)是真命题.(2)若a , h反向，则g、b的夹有为n , :.a a以上各步可逆，故命题(2)是真命题.“ I cos H 二一 I I I b | 且(3)当：丄5时，将向量二&的起点确泄在同一点，则以向量：，/；为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有丨；+&丨=丨I 反过来，若Iarb = a-b |,则以二&为邻边的四边形为矩形.所以有方丄G 因此命题是真命题.
10、当|方丨=丨但：与的夹角和&与c的夹角不等时.就有丨么 c I H丨5 c I反过来由丨：丨：1 =丨&：丨也推不出丨：丨=丨& I 故(4)是假命题.综上所述，在四个命题中，前3个是真命题，而第4个是假命题，应选择(C).评注：两向量同向时，夹角为0(或0 )：而反向时，夹角为(或180 )：两向量垂直时，夹 角为90 ,因此当两向量共线时，夹角为0或it,反过来若两向虽的夹角为0或兀，则两向量共线.考点二、考査求模问题例2.已知向量：=(一2,2诂=(5,灯，若a + h不超过5,则k的取值范用是 。分析：若：=(3)则p+y2,或p卜仪+于,对于求模有时还运用平方法。解：由： + & =
11、(3,2 + A),又 a + b 5,由模的定义，得：9 + (2 + /: )2 25 解得：_65k52, 故填6,2。评注：本题是已知模的逆向题，运用左义即可求参数的取值范臥 例3. (1)已知N&均为单位向量，它们的夹角为60。，那么a + 3b =()A. V7 B. Vio C. V13 D. 42)已知向量c = (cosO,sin&),向量& =(語,一1)，则2a-b的最大值是.解：(1) a + 3b+ 6ab cos60 +9| =1 + 3 + 9 = 13所以： + = Jii,故选c。(2)由题意，知=1, b = 2, a b = 2sin 0 又 2a -b
12、=4“ -4a-b + b = 8-8sin j JT9(2)由2与&垂直，得c-d=0,即(3a + 5b)(ma 3b) = 03m I a I2 一151 厶 I 一9a h + 5ma /? = 0 又因为I药=3,1张2肓与B的夹角为60 f 所以 a = lallblcos60 =3x2x- = 3 2代入得加=一1429 -因此当加=一时，c与d垂直.14练习目的：结合以前所学向量垂直的等价关系，类比数量积的运算与实数多项式的运算关系，达到巩固数量积的运算目的.练习二：数量积的坐标运算、模及夹角4直角坐标系xOy中，7, 了分別是与上y轴正方向同向的单位向量在直角三角形ABC中,
13、若AB = 2i+j, AC = 3i+kj，贝IJR的可能值个数是( )A 1 B 2 C. 3 D. 44.答案B提示：由题设Bg = ；+(k_l)j,转化为坐标表示：丽= (2,1),AC = (3J), BC = (1-1)AA3C是直角三角形可以分为三种情况:而丄疋丽走 = 2x3 + 1认=0得k = -6(2)而丄応砸说= 2xl + lx伙一 1) = 0得比=一1(3)疋丄 BC.ACBC = 3x1 +k(k-1) = 0即k2-k + 3 = 0,无解故R的可能有两个值一 1, 一6,练习目的：结合向量垂宜的等价关系，练刃数量积的坐标运算，体会分类讨论的数学思想方 法.
14、5.已知向Sll=2, lSl=2/3, a+b = (2392)求(1) a-bx (2) a+万与一5的夹角5解答：由题设1丁1 = 2,1力=2馅,WORD格式可编辑专业资料(1)由a+b = (2f3,2)得a + b2= 16即 I a+b2=(a+b)2 =a +b + 2ab = 16解得：丽=0所以 ab=(ab)2 =a +b 2ab=22 + (2y/3)2 2ab = 16因此 a-bl=4(2)设夹角为&, X( + b(7i-b) = a2-h =22 -(2)2 = -8g、i c (ci+b).(a-b) -8 1所以cos&= _ =一一a+b.a-b 4x4
15、2练习目的：巩固平面向量的模以及夹角公式，类比向疑的运算与实数多项式的运算的关系.6.设向量满足la 1=2,1方1= 1 , 的夹角为60 ,若向量2/。+ 7乙与向La + tb夹角为钝角，求实数7的取值范围。6.解答:由题设a-b = a -b cos60 = 2xlx = 12因为向2ta + lb与向ca + th夹角为钝角，所以(2丫 + 70)(?+/0 匚+ 了初(方+ /厉 o2ta + 7ba + tb由 2ta2 +ltb I2 +2r +7)N 厶=2r+15r + 70解得-7v/v-丄2另一方面，当夹角为兀时，也有2尸+15/ + 70,所以由向量2历+ 7乙与向a
16、 + tb同方向得：2ta+7b = 2 (a + tb) ( 20 )因此2/ =入7 =几/解得：t = , A = Vi42由于20,所以/0, Wr = -2因此，当t = 时，两向虽的夹角为0不合题意.2所以，若向2ta + 7b与向量方+厉的夹角为锐角，实数/的取值范围是：一完整版学习资料分享一一(一 7,V14 1、一m练习目的：综合运用向量的数量积、夹角公式以及向量共线的条件解题，在解题时要特别注 意特殊情况，才能不遗漏地正确解题.练习三.平面向量的综合应用7. (1)已知MBC中，AB = a,BC = b , B是MBC中的最大角，若方矗0,则AABC的形状为 .7.答案：
17、锐角三角形提示:由cos a = - 0a.b可得cosa0 ,即丽与荒的夹角为钝角，所以，ZABC为锐角,因此44BC为锐角三角形.练习目的：体会应用平而向量的夹角公式判断三角形的形状. 平面向量巩固检测AL 已知 a = (cos a, sin a), /? = (cos0、sin 0).其中 0 a/3 ? ? TT I a+b | = (-2C+4C2 )=4C 一I65 C2 + I6C2 -(2)T T . ere2 = 0./. I a+b l2 = 20/. I a+bl = V20 = 2.(ka+b)(a-3b) = ka 2+(l-3k)a b-3b 2又 a 2=(e+
18、2e2 )2 =5T T Tb =(-3eI+2e2 )2 =13T T T T T Ta-b=(eI + 2e2)(-3e1 + 2e2)= -3 + 4 = l/.由(k a+b ) ( a-3 b ) = 0即 5k+(l3k) 3x13 = 0 得k = 19已知向量M=(cos討 sin|x), E=(cos- 一宀|），其中 xe0, y3求a b及i a + b : （2）若f （x） = a b 2 X a + b |的最小值为一才求入的值4.3 x 3 x解：(1) a b =cosxcossinpxsin=cos2x, a + b ! =p2 + 2cos2x=2cosx(2) f (x) = E E 2 A,卞 + E I =cos2x4 X cosx=2cosx 14 X cosx=2(cosx X )22 X2 1 注意到xW0,故cosxGEO, 1,若X b当cosx=1时，f(x)取最小值1-4X,令1-4X=且X1,无解 综上:V为所求.
