1、高等数学第章 多元函数微分法极其应用章节第九章多元函数微分法及应用1 多元函数的基本概念课时2教学目的理解邻域、内点、聚点、边界点和区域的概念，二元函数的概念，掌握多元函数的极限和连续性的概念教学重点及突出方法多元函数的基本概念，多元函数的极限和连续性教学难点及突破方法多元函数的极限与连续性，与一元函数类似，多元连续函数也有最大最小值定理，介值定理。相关参考资料高等数学（第二册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P89-P107大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P449-P456教学过程教学思路、主要环节、主要内容9.1 多元函数的基本概念二元
2、函数的基本概念：设D是平面上一点集，若对每个点P(x,y)，D，变量z按照一定法则总有确定的值和它对应，则称z是变量x,y的二元函数（或点P的函数），记为z=f(x,y)（或z=f(P)），D称为函数的定义域。邻域：设P0(x0,y0)是xoy面上的一个点，是一正数。与点P0距离小于的点P(x,y)的全体，称为P0点的邻域，记为U(P0,)。内点:设E是平面上一点集，P是平面上一点，若存在点P的某一个邻域U(P,)，使U(P,)包含于E，则称P为E的内点。开集：若点集E的点都是内点，则称E为开集。区域：若D既是开集，又是连通的，则称D为区域。聚点：设E为平面上的一个点集，P是平面上的一个点，若
3、P点的任一个邻域内总有无限多个点属于E，则称P为E的聚点。多元函数的极限；设函数z=f(x,y)的定义域为D，P0(x0,y0)是D的聚点，若对任意给定的正数，总存在正数，使得对适合不等式的一切点P(x,y)，都有成立，则称A为函数f(x,y)当xx0,yy0时的极限，记为。二元(多元)函数极限不存在的判别方法:如果点P沿不同曲线趋近于P0时，函数趋于不同的值，则函数的极限不存在。正像一元函数的极限一样，二重极限也有与一元函数类似的运算法则.二元函数的连续性: 如果当点(x,y)趋向点(x0,y0)时，函数f(x,y)的二重极限等于f(x,y)在点(x0,y0)处的函数值f(x0,y0)，那末
4、称函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续.如果f(x,y)在区域D的每一点都连续，那末称它在区域D连续。 如果函数z=f(x,y)在(x0,y0)不满足连续的定义，那末我们就称(x0,y0)是f(x,y)的一个间断点。关于二元函数间断的问题: 二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断线。 二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零)和复合函数仍是连续函数有界闭区域上连续函数的性质:最大值和最小值定理：在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最小值和最大值。介值定理：在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数
5、值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。有界性定理：在有界闭区域D上的多元连续函数一定有界。结论：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的例题的讲解。章节第九章多元函数微分法及应用2 偏导数课时2教学目的理解偏导数的概念及二元函数偏导数的几何意义，掌握一阶和二阶偏导数的计算方法，理解函数在某点偏导数存在但在该点不一定连续的正确含义。教学重点及突出方法偏导数的概念，一阶和二阶偏导数的计算方法。教学难点及突破方法偏导数的概念，一阶和二阶偏导数的计算方法。通过偏导数定义，使学生了解偏导数与一元函数的导数的计算的联系。多元函数的偏导数，就是只有一个自变量变化（而其他自变量看成是常数）时，函数
6、的变化率，因此，求多元函数的偏导数就相当于求一元函数的导数，一元函数的导数公式和求导法则在这里都适用。相关参考资料高等数学（第二册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P108-P117大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P456-P460教学过程教学思路、主要环节、主要内容9.2 偏导数 一、偏导数的定义及计算法 在多元函数的微分运算中,函数的偏导数是最基本的运算. 下面我们就以二元函数为例，给出方向导数与偏导数的概念. 定义1(偏导数):设有二元函数f(x,y),M0(x0,y0)是一个确定的点. 固定y=y0,将f(x,y0)看成变量x的一元
7、函数.如果x的函数f(x,y0)在点x0存在导数,也就是极限 存在,则称极限值为二元函数f(x,y)在点M0(x0,y0)关于变元x的 偏导数, 记作或fx/(x0,y0)。 这就是说,为了求偏导数,只需固定y=y0,将f(x,y0)看成变量x的一元函数f(x,y0),对于x在点x0求导数就可以了. 因此从纯粹计算的观点看,求多元函数的偏导数于一元函数的导数没有什么区别. 同样, 二元函数f(x,y)在点M0(x0,y0)关于变元y的 偏导数为：= fy/(x0,y0) 对于三元函数乃至多元函数,可以类似地定义和计算偏导数。 对于多元函数,函数在某个点的偏导数存在性与函数在该点的连续性没有直接
8、联系,不像一元函数那样简单：导数存在可以保证连续。偏导数的求法： 当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数fx/(x0,y0)与fy/(x0,y0)都存在时，我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。如果函数f(x,y)在域D的每一点均可导， 那末称函数f(x,y)在域D可导。此时，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数， 称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。至于实际求偏导数，只要将二元函数中的一个变量固定，将其看作常数，对另一变量按照一元函数的求导法则求导即可。通过例题熟悉偏导数的概念。二、高阶偏导数 如果二元函
9、数z=f(x,y)的偏导数fx/(x,y)与fy/(x,y)仍然可导， 那末这两个偏导函数的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数。 二元函数的二阶偏导数有四个：fxx，fxy，fyx，fyy。 注意：fxy与fyx的区别在于：前者是先对x求偏导，然后将所得的偏导函数再对y求偏导；后者是先对y求偏导再对x求偏导。定理：.如果函数的两个二阶混合偏导fxy与fyx都连续时，求导的结果与求导的先后次序无关，即fxy=fyx。章节第九章多元函数微分法及应用3 全微分课时2教学目的理解全微分的概念，可微分的必要条件及充分条件，可微与连续的关系。教学重点及突出方法可微分的必要条件及充分条件，可微与连续的关
10、系。教学难点及突破方法可微分的必要条件及充分条件，可微与连续的关系。相关参考资料高等数学（第二册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P119-P126大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P460-P462教学过程教学思路、主要环节、主要内容9.3 全微分及其应用我们已经学习了一元函数的微分的概念了，现在我们用类似的思想方法来学习多元函数的的全增量，从而把微分的概念推广到多元函数。 这里我们以二元函数为例。函数z=f(x,y)的全增量为：z=f(x+x，y+y)-f(x，y)全微分的定义如果函数z=f(x，y)在点（x，y）的全增量z=f(x+x，
11、y+y)-f(x，y)可表示为：z=Ax +By+ o() (o()是当0时的高阶无穷小)其中A,B不依赖于x, y而仅与x, y有关，则称函数z=f(x，y) 在点（x，y）可微分，而Ax +By称为函数z=f(x，y)在点（x，y）的全微分，记作dz，即dz=Ax +By。如果函数在区域D内各点处都可微分，那末称这函数在D内可微分。下面讨论函数z=f(x，y)在点（x，y）可微分的条件。定理1（必要条件）：如果函数z=f(x，y)在点（x，y）可微分，则该函数在点（x，y）的两个偏导数f x(x，y)，f y(x，y)必定存在，且函数z=f(x，y)在点（x，y）的全微分为dz=f x(x
12、, y)x + f y(x, y)y。 注意：在找函数相应的全增量时，为了使z与偏导数发生关系，我们可把由(x0,y0)变到(x0+x,y0+y)的过程分为两部：先由点(x0,y0)变到点(x0,y0+y)，再变到点(x0+x,y0+y)。定理2（充分条件）：如果函数z=f(x，y) 偏导数f x(x，y)，f y(x，y)在点（x，y）连续，则函数在该点可微分。习惯上，我们将自变量的增量x ，y分别记作dx，dy，并分别称为自变量x，y的微分。则函数z=f(x，y)的全微分可写为 dz=f x(x, y)dx + f y(x, y)dy。微分与连续的关系：如果函数在点(x,y)可微分，则这函
13、数在该点处必定连续。由二元函数的全微分的定义及关于全微分存在的充分条件可知，当函数z=f(x，y) 偏导数f x(x，y)，f y(x，y)在点（x，y）连续，且|x| ，|y|都较小时，就有近似等式 zdz=f x(x, y)x + f y(x, y)y可利用此式进行近似计算。章节第九章 多元函数微分法及应用4 多元复合函数的求导法则课时2教学目的掌握多元复合函数的求导法则。教学重点及突出方法多元复合函数的求导法则教学难点及突破方法多元复合函数的求导法则，复合函数的高阶偏导数的计算。恰当选择中间变量并理清因变量、中间变量与自变量之间的联系方式，是用链式求导法则计算多元复合函数偏导数的关键所在
14、。相关参考资料高等数学（第二册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P128-P146大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P474-P479教学过程教学思路、主要环节、主要内容9.4 多元复合函数的求导公式 定理： 设均在(x, y)处可导,函数z=f (u, v)在对应的(u, v)处有连续的一阶偏导数 那末,复合函数在(x, y)处可导,且有链式求导公式：上述公式可以推广到多元，在此不详述。 一个多元复合函数，其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数。在一阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数。全导数全导数实
15、际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已定理: 如果函数u=(t)及（t）都在点t可导，函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数，则复合函数z=f(t), (t)在点t可导，且其导数可用下列公式计算：。如果z=f(u, x, y)具有连续偏导数，而u=(x, y)具有连续偏导数，则复合函数z=f(x, y), x, y)对自变量x, y的偏导数可用下列公式计算： 利用复合函数求导法，可以得到全微分形式的不变性。章节第九章多元函数微分法及应用5 隐函数的求导法则公式课时2教学目的掌握隐函数的求导法则。教学重点及突出方法隐函数的求导法则。教学难点及突破方法隐函数
16、的求导法则，尤其是方程组的情形。对方程组的情形，可将方程组的每一个方程对变量求偏导得到方程组，然后解方程组求出要求的偏导数。相关参考资料高等数学（第二册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P159-P167大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P479-P484教学过程教学思路、主要环节、主要内容9.5 隐函数的求导公式一、一个方程的情形隐函数存在定理1： 设函数F(x, y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0)=0, Fy(x0,y0) 0，则方程F(x, y) = 0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个
17、单值连续且具有连续导数的函数y = f(x)，它满足条件y0 = f(x0)，并有。上面公式就是隐函数的求导公式。隐函数存在定理2： 设函数F(x, y, z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0,z0) = 0, Fz(x0,y0,z0) 0，则方程F(x, y, z) = 0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数z = f(x, y)，它满足条件z0 = f(x0,y0)，并有,。二、方程组的情形隐函数存在定理3 设F（x, y, u, v）、G（x, y, u, v）在点P（x0,y0,u0,v0）的某一邻域内
18、具有对各个变量的连续偏导数，又F（x0,y0,u0,v0）= 0，G（x0,y0,u0,v0）= 0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi）式）：在点P(x0,y0,u0,v0)不等于零，则方程组F（x, y,u,v）= 0，G（x,y,u,v）= 0在点P（x0,y0,u0,v0）的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续导数的函数u = u（x, y），v = v（x, y），它们满足条件u0 = u（x0,y0），v0 = v（x0,y0），并有。章节第九章多元函数微分法及应用习题（一）课时2教学目的通过讲解习题及补充的例题，使学生掌握复合函数求偏导及隐函数求导的计算
19、方法。教学重点及突出方法教学难点及突破方法相关参考资料数学复习指南2004版（理工），陈文登，黄先开，世界图书出版社，P261-P273教学过程教学思路、主要环节、主要内容第九章的前五节习题中存在的问题并补充一些考研题及陈文登复习资料上的一些题。章节第九章多元函数微分法及应用6 多元函数微分学的几何应用课时2教学目的掌握空间曲线的切线与法平面及空间曲面的切平面与法线的计算。教学重点及突出方法空间曲线的切线与法平面及空间曲面的切平面与法线的计算。教学难点及突破方法空间曲线的切线与法平面及空间曲面的切平面与法线的计算。相关参考资料高等数学（第二册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P191
20、-P197大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P501-P507教学过程教学思路、主要环节、主要内容9.6 微分法在几何上的应用一、 空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方称为x=(t)，y=(t)，z=(t)，这里假定上式的三个函数都可导。在曲线上取对应于t=t0的一点M（x0，y0，z0）。根据解析几何，可得曲线在点M处的切线方程为：切线的方向向量称为曲线的切向量。向量T=（t0），（t0），（t0）就是曲线在点M处的一个切向量。通过点而与切线垂直的平面称为曲线在点M处的法平面，它是通过点M（x0，y0，z0）而以T为法向量的平面，因此这法平面的方
21、程为(t0)(x-x0)+(t0)(y-y0)+(t0)(z-z0)= 0。二、 曲面的切平面与法线设曲面由方程F（x, y, z）= 0给出，M（x0，y0，z0）是曲面上的一点，并设函数F（x, y, z）的偏导数在该点连续且不同时为零。则根据解析几何，可得曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上。这个平面称为曲面在点M的切平面。这切平面的方程是Fx(x0，y0，z0)(x-x0)+Fy(x0，y0，z0)(y-y0)+Fz(x0，y0，z0)(z-z0)= 0通过点M（x0，y0，z0）而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线。法线方程是: 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的
22、法向量。向量n = Fx（x0，y0，z0），Fy（x0，y0，z0），Fz（x0，y0，z0）就是曲面在点M处的一个法向量。章节第九章多元函数微分法及应用7 方向导数和梯度课时2教学目的了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。教学重点及突出方法方向导数与梯度的概念及其计算方法。教学难点及突破方法方向导数与梯度的概念及其计算方法。从偏导数的概念拓广到方向导数概念，并指出与偏导数之关系，其次可通过具体应用实例引入梯度之概念，可画图指出梯度与方向导数之关系，此外，顺便介绍等高线、梯度场、势场等知识加深对梯度概论的理解。相关参考资料高等数学（第二册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P150-
23、P157大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P484-P487教学过程教学思路、主要环节、主要内容9.7方向导数和梯度(1)将偏微分的几何意义推广到任意方向之偏微分。 (2) 由一般的方向导数中可以找出变化最大(小)的方向，定出 梯度向量章节第九章多元函数微分法及应用8 多元函数极值的求法 课时2教学目的会求二元函数的无条件极值及利用拉格朗日乘数法求条件极值。教学重点及突出方法二元函数的无条件极值及利用拉格朗日乘数法求条件极值。教学难点及突破方法二元函数的无条件极值及利用拉格朗日乘数法求条件极值。相关参考资料高等数学（第二册）（物理类），文丽，吴良大编，
24、北京大学出版社P175-P189大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P512-P520教学过程教学思路、主要环节、主要内容9.8 多元函数极值的求法一、 多元函数的极值二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。定理1（必要条件） 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0。定理2（充分条件） 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) =
25、 0，令fxx(x0,y0) = A，fxy(x0,y0) = B，fyy(x0,y0) = C，则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：（1）AC-B20时具有极值，且当A0时有极小值；（2）AC-B20时没有极值；（2）AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数z = f(x,y)的极值的求法叙述如下：第一步 解方程组fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0，求得一切实数解，即可求得一切驻点。第二步 对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值A、B和C。第三步 定出AC-B2的符号，按定理2的结论判定
26、f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值。二、 条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数z = f(x, y)在附加条件(x, y) = 0下的可能极值点，可以先构成辅助函数F（x, y）= f(x, y)+(x, y) ，其中为某一常数。求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(x,y) = 0联立起来：有这方程组解出x，y及，则其中x，y就是函数f(x,y)在附加条件(x,y) = 0下的可能极值点的坐标。这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。三、多元函数的最大、最小值问题
27、我们已经知道求一元函数极大值、极小值的步骤，对于多元函数的极大值、极小值的求解也可采用同样的步骤。下面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值求解步骤。如下： a)：根据实际问题建立函数关系，确定其定义域； b)：求出驻点； c)：结合实际意义判定最大、最小值.9.10 最小二乘法简要介绍最小二乘法的计算方法。章节第九章多元函数微分法及应用习题（二）课时2教学目的通过讲解习题及补充的例题，使学生掌握空间曲线的切线与法平面，空间曲面的法线与切平面，方向导数与梯度以及多元函数的极值的计算方法。教学重点及突出方法教学难点及突破方法相关参考资料数学复习指南2004版（理工），陈文登，黄先开，世界图书出版社，P273-P283教学过程教学思路、主要环节、主要内容第九章的后面习题及总复习题中存在的问题并补充一些考研题及陈文登复习资料上的一些题。
