1、概率论与数理统计天津大学作业答案概率论与数理统计复习题填空题1. 设随机变量1 X的分布律为 PX 二 k二 A()k,k =1,2,3,4，贝U A= 。2答案：16152. 设总体X服从均匀分布U(/1j),二为未知参数。Xi,X2|,Xn为来自总体X的一个简单随机样本，X为样本均值，则二的矩估计量为 0答案：-1X -23. 设X服从参数为1的指数分布e(1), 丫服从二项分布B(10,0.5),则 DYU oD(X)答案：2.54. 设A,B,C为三个随机事件，则“ A,B,C中只有两个发生”可表示为答案：ABC ABC ABC5. 某袋中有7个红球、3个白球，甲乙二人依次从袋中取一球
2、，每人取后不放回，则乙取到红球的概率为 0答案：0.76. 设A,B,C为三个随机事件，则“ A,B,C中只有一个发生”可表示为 o答案：ABC 一 ABC 一 ABC7. 某袋中有9个红球、3个白球，甲乙二人依次从袋中取一球，每人取后不放回，则乙取到白球的概率为 0答案：0.25选择题1、一批产品中有正品也有次品，从中随机抽取三件，设 A, B, C分别表示抽出的第一件、第二件、第三件是正品，下列事件不能描述“正品不多于两件” 的是(C ) o(A) ABC (B)ABC - ABC - ABC - ABC - ABC - ABC - ABC(C) A - B - C ( D) A 一 B
3、一 C2、 设总体XN(3,16) , X1)X2J|)X16为来自总体X的一个样本，X为样本均 值，则(A )(A) X-3N(0,1) (B) 4(X -3)N(0,1)(C) X3 n(0,1) (D) X_3 n(0,1)4 163、 在假设检验中，H。表示原假设，H1表示对立假设，则犯第一类错误的情况为(C )(A) H0真，接受H (B) H0不真，接受H(C)H0真，拒绝H (D) H0不真，拒绝H4、 设X1.X2.X3.X4是来自均值为的总体的样本，其中未知，贝U下列估计量 中不是的无偏估计的是(B )。/A、 1 1 川、 32X2+3X3+4X4(A) T1 (X1 X2
4、) *X3 X4) (B) T2 = 1 2 匚 3 46 3 5(C) T3=X1 X2 X3 X4 ( D) T4 = 1 X1 X2 X3 X4 5.设4 2 4 8 8X服从参数为的Poisson分布，即X P( )，则旦耳二(A )。D(X)1(A) 1 (B) (C) - (D) 0扎6.设随机变量XNR，4), 丫N1),且X,丫相互独立，X 2Y，则Z (B )。(A) N(6,8) (B) N(2,8) (C) N(0,6) (D) N(0,46)简答题设随机变量z在_5,61上服从均匀分布，,0, ZE1 卜1, Z 兰1X 丫二J, Z T， J, Z：1，写出(X,Y)
5、的联合分布律。解：4PX =0,Y - -1 =PZ -1,Z 1 =PZ -1：11PX =0,Y =1二PZ _ -1,Z 1 =0 ,PX =1,Y = 1 =PZ . 1,Z 乞 1 = P1 ：Z 1 2 ,11PX =1,Y =1 =PZ _1,Z 1=PZ 1 = 511即为1f（x）二 300 I。，（1）求元件寿命超过600小时的概率；2）若有3个这种元件在独立的工作，求其中至少有 2个元件的寿命超过600 小时的概率。解：X； 1 2PX 600= e 300dx 二 e(1) 600 300(2)至少有2个元件的寿命超过600小时的概率为2 2、2 2 2、3 4 6C3
6、 (e ) (1 - e ) (e ) 3e 2e一盒灯泡共12个，其中10个合格品，2个废品（点时不亮）。现从中任取一个 使用，若取出的是废品，则废品不再放回，再取一个，直到取得合格品为止。求 在取得合格品以前已取出的废品数 X的分布律、数学期望和方差。解：故X的分布律为10 5 2 1 10 1，P X = 2 = =，33 12 11 10 66X012551Pk633662一27 “65,EX_ , DX -1133363所以EX =设随机变量X与Y相互独立，下表给出了二维随机变量（X,Y）的联合分布律及X和Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表的空白处。（注意：必须 有简单的
7、计算依据，无依据扣分）答案：因为X与丫独立，所以 必=Dp ,i =1,2, j =1,2,3。又送卩广1，故得如下i,j表格。设总体X具有密度函数1n =2,a 二b 二30其中二是未知参数，（Xi,，Xn）是来自总体X的样本求：（1）二的矩估计量；（2） d的极大似然估计量解：（1）E（x）= ；x（d 1）xPx令丄：二X,解得4空.V 2 1 -Xn(2) L(R w f(x)十-1)n(XiJ|,Xnr,i 4nIn L(v) = n ln(v 1) 八 In x7且X1 2X2,2X3-X4相互独立,甲厂和乙厂生产同样的产品，生产后集中到一起。已知甲厂生产的产品占 60%乙厂生产的
8、产品占40%两厂生产产品的次品率分别为 1唏口 2%现从这些产品 中任取一件，求取到的恰好是次品的概率。解：设A:任取一件恰好是次品 B :甲厂生产, 则 P(A)二 P(B)P(A| B) P(B)P(A|B)=60%*1%+40%*2%=0.014设随机变量X的概率密度函数为 2Ax , 0 ： x ： 2f（x）二P 其它求：（1）A的值；（2） X的分布函数F（x） ；（3）D（X）。2解：解：（1）令,（x）dx 二 Ax2dx = 1，得0设总体X服从参数为的指数分布，即Xf（x）- I 0，其中，0为未知参数,最大似然估计？。x 0x乞0XX2,川，Xn为来自总体X的一个简单随机
9、样本，求的解:nL( J f (xi, J = nei=1nIn L( J = nln 冷?、( xi).i令如亠x)7 解得 = nnu Exi=1故的最大似然估计量为？=匚Z Xii 4袋中有5个球，其中有3个红球、2个白球，从中任取两球，求取出的两球颜色 相同的概率。C1C1解:C3C2I 2d箱子中有10只开关，其中2只是次品，8只是正品。在其中不放回地取两次, 每次取一只。令0,若第一次取的是正品 0,若第二次取的是正品X 二 ，丫二1,若第一次取的是次品 1,若第二次取的是次品求(X,Y)的联合分布律。解:PX -0,Y =1PX -1,Y -0PX =1,Y =10, x： 20
10、0,设总体X的分布律为X-101Px日228(1)(1)2其中0 v：1为未知参数，现有8个样本观测值-1,-1, -1 , 0, 1, 1, -1 , 0,（1）求二的矩估计 ； （2）求二的极大似然估计呀。In L(R =1 n4 10l nr 6ln (1 -旳,得?2=5 设总体x的概率密度函数为f（x）=壮二0其他1，其中二0为未知参数,（XX2,，Xn）为来自这个总体的样本。求：（1）二的矩估计；（2）二的最大似然估计量。解:XLL)刑 T=x?4 2(X1X2HlxO 加,n 厂 nln L=一 ln r (n -1)Tn xi2所以二的极大似然估计为解：P(X =0) =C；*
11、(0.9) *(0.1)2 =0.01nnZ inXi2设有甲乙两个袋子，甲袋中有3个红球、4个白球；乙袋中有2个红球、5个白 球。现在从甲袋中任取两个球放入乙袋中，再从乙袋中任取一个球。1）求从乙袋中取出的这个球为红球的概率；（2）若已知从乙袋中取出的这个球为红球，求从甲袋中取出的这两个球都为红 球的概率。解:（1）A:从乙袋中任取一个为红球Bk：从甲袋中恰取出k个红球，k=0,1,2P(A)八 P Bk p A(Bk| =C2 9P(X =1C1*(0.9)1*(0.1)0.18P(X =2) = C； *(0.9)2 *(0.1)0 =0.81X012Px0.010.180.81X的分布
12、律为：对同一靶子进行两次独立地射击，每次击中的概率为击中靶子的次数。求X的分布函数F（x）。0.9。设X表示两次射击中k z0 C7 9X的分布函数为：F(x) = *Q0.01,x : 00 岂 x : 10.19, 1 x ： 21, x2在正态总体X N(30,4)中随机抽取一个容量为16的样本，X为样本均值。求P| X -30| ：1。 ( :(0.5) =0.6915,：(2) =0.9770)解：- 1X N(30,)，P| X-30| ：1 = P29 : X :： 31 (2)- ：(一2) = 2(2)-1 =2 0.9770 = 0.954对同一靶子进行两次独立地射击，每次
13、击中的概率为0.8。设X表示两次射击中 击中靶子的次数。求X的分布函数F(x)。解：P(X = 0) = C0 *(0.8)0 *(0.2)2 二 0.04P(1C2*(0.8) *(0.2)1 =0.32P(X =2) *(0.8)2 *(0.2)0 =0.64X的分布律为：0,0.04,X的分布函数为：F(x)二设(X，丫)的联合概率密度函数为X 0 1 2某商店销售一批电视机共9台，其中有2台次品，7台正品。目前已售出2台(不挑选)，今从剩下7台中任搬一台，求此台为正品的概率解：A：任搬一台为正品,Bk：卖出k件正品，k=0,1,2,贝UP(A)八 p(Bk)P(A|Bk)二 C2 7
14、CC7 6 C2 .9Tx 1 C92 7 C2 7 C92 7 91其它设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)= 4, 0岂x2,0y2x，0,求边缘密度fx (x)，fY(y)。并回答X和丫是否相互独立？说明理由。解:设总体X的概率密度函数为f(x)二,x 0, XjXzJIIXn为来自总体X 0, 其它的一个样本，求未知参数V的最大似然估计 Mn:C Xj)n i 4e -解:n nl(8)=h f(Xi)=n %七=8i=1 i =1nIn L(r)二 n In J - -C xi).i =1故二的最大似然估计量为 彳二nn Xii d市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已
15、知三家工厂的市场占有 率比例为3:2:1，且三家工厂的次品率分别为2 %、1%、3%。试求市场上该品 牌产品的次品率。解：解：设B :买到一件次品。A i :买到i厂家产品；i=甲，乙，丙P(B) =P(B|A)P(A) P(B|A2)P(A) P(B| a)p(A3)3 2 1= 0.02 0.01 0.03 0.01836 6 61 0*10v 2x设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)= ：；一八，求Cov(X,Y)0, 其它解: 1 2x 2E(X) xf(x, y)dxdy = 0dx 0 xdy =-_ .： _ - 0 - 0 3: 1 2x 1E(XY)二.；xyf (x,y
16、)dxdy 二 0dx。xydy = Cov(X,Y)二 EXY EXEX 丄2 2 12 3 3 18设(X ,Y)的联合概率密度函数为2xy, 0 x ：1,0 ： y 2x f(x,y)二、 2xydy0 ： x : 1f(x,y)dy 二 0_oO0其它 0 x : 1其它0 ： y :1其它fx(X)二4x3求边缘密度fx(X)，fY(y)。并回答x和丫是否相互独立？说明理由0, 其它解:1 : I l y 2xydxfY(y) = f(x, y)dx 二 210X和Y不相互独立，这是因为f(x, y)= fx(x)fY(y).设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为0 ： x
17、：1,0 ： y : 1O其它f(x,y)二 6xy ,0，求边缘密度fx(X),解：fY(y) o并回答X和Y是否相互独立？说明理由。因为f (x, y)二fx(x) fY (y)，所以X和Y相互独立。一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5 ，在袋中同时取3只，以X表示取出的3 只球中的最大号码，求：(1) X的分布律；(2) E(X) o答案： (1) X的分布律为：P(XC5P(XC5求：(1)常数A，B的值；(2)X的概率密度函数f(x) ；(3)P-1：X :：: 1 o答案:(1) 由F (畑)=1得A=1;由F(x)在x=0处连续，得A+B=0所以B=-1。2e(2) f(x)=F(x)=0,(3) x ；x ： 0 F(-1) =1 -e，P1：XJ=F(1)
