1、初中代数教材几何2教学培训几何2主持人A：介绍嘉宾。说明本课题主要内容，引出下面的话题。以往，一提起几何教学，我们（包括学生）首先想到的往往是“证明”证明两条直线平行、证明两个三角形全等，以至于我们无论是教学还是考试常常不知不觉将“证明能力”等同于“几何能力”。新课程的实施已经对此给出了答案。与此同时，有的教师针对当今课堂里出现的一些问题，又提出了新的担忧学生整体推理能力在下降。事实果真如此吗？今天我们就研讨如何看待与发展学生的推理能力。按照新课程的理念，学生的推理能力主要由“合情推理”能力与“演绎论证”能力构成。因此，我们的研讨就围绕这两个方面进行。B：让我们首先看这样一个问题：许多教过老人
2、教版教材的老师教了新教材之后普遍有这样一个看法：新教材轻视了对概念的准确定义以及对定理的推理论证，没有展开分析、讨论，只要求学生去记概念、定理，讲求会用就行，这就叫知其然，不知其所以然，显然不利于学生的长期发展。如：北师版七下关于“三角形内角和定理”的内容没有证明过程，只是让学生用剪纸拼接实验来加以说明，又如：七下教材中关于等腰三角形三线合一的内容，教材中也没有具体证明，用折纸的方法使学生确定它们的存在。这是逻辑推理的一大忌讳，不利于学生逻辑推理能力的培养，而失去了数学的严谨性。这种想法对吗？究其根源是什么？（屏幕显示）A:要解决此问题是否正确，关键是认识合情推理与演绎推理，弄清它们之间的联系
3、。C:一、认识合情推理与演绎推理1、正确理解合情推理根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。（屏幕显示）初中数学新课程标准关于空间与图形的教学中指出：“降低空间与图形的知识内在要求，力求遵循学生的心理发展和学习规律，着眼于直观感知与操作确认，多从学生熟悉的实际出发，让学生动手做一做，试一试，想一想，认识图形的主要特征与图形变换的基本性质，学会识别不同图形；同时又辅以适当的教学说明，培养学生一定的合情的推理能力”，并为学生“利用直观进行思考”提供了较多的机会。合情推理使学生熟悉了掌握知识的过程和方法，提高了观察与分析问题的能力，
4、使得教学过程变成了学生积极参与的智力活动的过程，锻炼和培养了他们深刻的思维能力，从而促进创造能力的提高，难怪世界上许多著名数学家、教育家对合情推理都给予了积极的评价。如牛顿说过“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”，波利亚认为“要成为一个好的数学家，你必须是一个好的猜想家”等等。D：2、正确理解演绎推理从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则（包括逻辑和运算）证明结论，这种推理称为演绎推理，通常叫证明。（屏幕显示）“三段论”是演绎推理的一般模式；包括大前提-已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情况；结论-根据一般原理，对特殊情况做出的判断。A：3、正确认识合情推理与演绎推理的
5、区别:（1）合情推理是由特殊到一般或特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理。（2）从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确有待证明；演绎推理得到的结论一定正确。（3）演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程。数学结论、证明思路的发现，主要靠合情推理。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路、发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。B：4、合情推理与演绎推理的联系与互补作用数学家波利亚说:“数学可以看作是一门证明的科学，但这只是一个方面，完成了数学理论，用最终形式表示出来，像是仅仅由证明构成的纯粹证明性。严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论的得出及其证明过程
6、是靠合情推理才得以发现的。”合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。合情推理就是一种合乎情理的推理，主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算、联想、自觉、顿悟、灵感等思维形式。合情推理所得的结果具有偶然性，但也不是完全凭空想象，它是根据一定的知识和方法做出的探索性的判断。当今，教育正在全面推进，旨在培养学生创新能力的教学改革。但长期以来，中学数学教学十分强调推理的严谨性，过分渲染逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理，使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学。事实上，数学发展史中的每一个重要的发现，除演绎推理外，合情推理也起重要作用，合情推理与演绎推理
7、是相辅相成的。D:在证明一个定理之前，先得猜想、发现一个命题的内容，在完全作出证明之前，先得不断检验、完善、修改所提出的猜想，还得推测证明的思路。你先得把观察到的结果加以综合，然后加以类比，继而一次又一次地进行尝试，在这一系列的过程中，需要充分运用的不是论证推理，而是合情推理。合情推理的实质是“发现-猜想”，著名的数学家波利亚早在1953年就大声疾呼：“让我们教猜测吧！”、“先猜后证”这是大多数的发现之道。在解决问题时的合情推理的特征是不按逻辑程序去思考，但实际上是学生把自己的经验与逻辑推理的方法有机地整合进来的一种跳跃性的表现形式。因此在数学学习中，既要强调思维的严密性，结果的正确性，也要重
8、视思维的直觉探索性和发现性，即应重视数学合情推理能力的培养。“图形与证明”是初中数学的重要内容，人们需要掌握通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想正确与否的原理、策略和方法，以及结合合情推理与演绎推理发展推理能力。C:原人教版教材的内容，先学习代数，七下才开始学习几何，同时几何概念多，性质定理结论多，不容易理解，特别注重推理论证，逻辑性要求高，对一部分逻辑思维能力稍差的学生逐尽地丧失学习的兴趣与积极性，而新课程标准对几何的教学注重合情推理能力过程的培养，调动了学生主动参与的意识与积极性，引导学生自己经历观察、实验、归纳、类比的过程去发现结论、总结结论，然后证明结论。并且对问题在学生合情推理的
9、过程中产生很多方法，有助于学生创新能力的培养，符合社会创新发展的需求。A:加强合情推理，调整“证明”的要求，强化理性精神。课程标准要求：“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力。”课程标准改变传统几何偏重于演绎推理的“证明”倾向，强调合情推理与演绎推理相结合的“通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据，给出证明或举出反例”的过程，要求学生获得数学结论应当经历合情推理演绎推理的过程。这个加强应该特别引起我们的重视，因为这是对传统几何教学的一个挑战，是新课程空间与图形教学的一个新特色。D:下面通过两个具体的例题来体会合情推理与演绎推理的综合考察例1：如图，AB=A
10、C，D、E分别是线段AC、AB上的点，且AD=AE，BD交CE于F，试在图中找出3对全等三角形和3个等腰三角形，并对其中一个结论给出证明。考查内容：图形分解与组合的技能，能否利用合情推理能力获得合理的数学猜想，基本的证明能力。例2：某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形一定为正多边形”这个命题是否成立时，进行了一些讨论。甲同学在讨论中提到了圆内接矩形；乙同学找来了这样一个几何事实：（图一），ABC是正三角形，可以证明六边形ADBECF的各内角相等。丙同学认为当边数是5时这个命题是成立的，于是他猜想边数是7时这个命题仍然成立。（1）你认为各内角都相等的圆内接多边形一定是正多边形吗？简要叙述
11、你的理由。（2）请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG（图二）是正七边形。（3）根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明） 图一 图二 考查内容：理解反例的作用，并能借助恰当的反例证明一个命题是错误的；同时也会用简单的逻辑推理证明一个命题是正确的，具备初步的合情推理能力。A:二、如何培养学生的推理能力B:（一）如何培养学生的合情推理能力学生在实际的操作过程中，要不断地观察、比较、分析、推理，才能得到正确的答案。如：在圆的教学中，结合圆的轴对称性，发现垂径定理及其推论；利用圆的旋转对称性，发现圆中弧、弦、圆心角之间的关系；通过观察、度量，发现圆心角与圆周角之间的数量关系；利用直观操作
12、，发现点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系等等。在学生通过观察、操作、变换探究出图形的性质后，还要求学生对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机地整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，这个过程中就发展了学生的合情推理能力。注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质，同时也有助于学生空间观念的形成，合情推理的方法为学生的探索提供努力的方向。C:（二）如何培养学生的演绎推理能力1、关注证明的基本过程和基本方法在命题教学中，应通过生活和数学中的实例来说明什么是命题；能够区分
13、一个简单命题的真伪，能够用反例来判定一个命题是假命题；对几何中的一些基本命题，应该要求学生能够画出相应的图形，并逐步学会用符号来表示命题。应该使学生理解证明的基本要求，有条理地阐述自己的想法，知道推理必须有依据，证明过程的表述必须条理清楚。D:2、掌握作为证明基础的几个基本几何事实-公理，并在此基础上，展开对基本几何图形性质的证明，掌握综合法的证明格式和方法。课程标准不再按原大纲以扩大的公理体系为基础，以演绎推理为主要形式的定理证明，而是学生在利用观察、实验、操作、思考等合情推理的方法对图形的性质进行研究的基础上，从几个基本事实出发，即将其视为公理，进行演绎的证明，构建了一个局部公理化的体系来
14、证明40条左右仅限于三角形、四边形的主要性质的命题，一方面进一步认识和掌握这些性质，进而达到对几何图形性质的认识；另一方面要掌握的就是证明的基本方法和要求，能够用形式化的语言来表达证明的过程。A:3、恰当把握证明要求。课程标准要求在练习和考试的证明中证明有关的题目难度，应与课程标准中所列的用基本事实证明40条左右命题的论证难度相当，“相似形”、“圆”的内容没有列入“图形与证明”的内容标准里，并仅限于三角形、四边形的重要性质，即“相似形”、“圆”的内容中不再要求命题的证明，降低对证明的难度、繁杂程度和证明的技巧的要求。使学生既掌握证明的基本方法，又能体会证明的意义，协调地发展推理能力。大部分地区
15、中考说明中对几何证明的要求是能通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并寻求证明猜想的合理性；用比较规范的逻辑推理形式表达自己的演绎推理过程。这样要求的目的，是希望学生能对基本的证明方法有所掌握，对证明必要性有所认识，它体现了义务教育阶段的数学课程理念，是数学课程面向所有学生，满足学生的未来发展的需要。课程标准还提到了要让学生了解证明的必要性，这一点在教学过程中是怎么落实的？ D:4、理解证明的必要性关于证明必要性的教学，以往我们比较忽略，其实，这是区别主动学习与被动学习的一个要点。而这一点可以通过生活、代数和几何中的具体例子使学生认识到，有些命题可以通过观察和实验得到并获得大家的认可，
16、但也有些命题仅仅通过观察和实验是不够的，从而使学生体会证明的必要性。不一定采用告知的方式。以下的问题都是教学时可以采用的例子。问题二：（屏幕显示）问题（1）：当n=0，1，2，3，4，4，5时，代数式的值是质数吗？你能否得到结论：对于所有自然数n，的值都是质数？（n=11时， =121=11是合数；n=12时， =143=11是合数；）问题（2）：假如用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的空隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一颗红枣吗？能放进一个拳头吗？还是连一只蚊子都钻不过去？（d=0.16米）在以上2个例子中，有限次的实验或者是观察或经验、直觉，都将给我们
17、带来不一定正确的结论，只是通过严格的验证，才能得到正确的结论。因此，仅仅通过观察、实验、猜想得到的命题并不总是正确的；有些由合情推理得到的猜测需要由特殊情形推广到一般，这就体现了证明的必要性。C:在北师大版教材八年级（下）第六章 证明（一）第1节提出这样一个问题：问题（3）：四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，度量四边形EFGH的边和角，你能发现什么结论？改变四边形ABCD的形状，还能得到类似的结论吗？你能肯定这个结论对所有的四边形ABCD都成立吗？这个几何问题主要让学生通过度量得出猜想，而对于任意一个四边形的中点的连线所得到的新的四边形的形状的猜想，无论我们验证多少个，虽然猜测依然
18、成立，但我们都无法得到一个一般性的结论，只有通过证明才能实现对所有情形的验证，从中学生应该体会到证明的作用与价值。此问题在北师大版教材九年级（上）第三章 证明（三）1.平行四边形中再次提出来，学生在猜想的基础上运用所学习的知识进行推理论证，在证明（三）2.特殊的平行四边形中又将问题拓展运用类比的方法讨论正方形、菱形、矩形的情况。新课程标准中对学生的推理能力的要求既有合情推理又有演绎推理，而学生在对图形性质的探索的过程中，更多的是学习和感受了合情推理的方法和思想，获得了一些有关的几何事实。但在数学上，只有合情推理还不够，演绎推理是数学的本质特征。只有通过演绎推理的验证，才能获得真正的数学结论。
19、因此，对学生来说，不仅要掌握证明的基本方法，同时也要理解证明的必要性，即证明在数学中的重要意义。 A:5、表达规范、条理是一个循序渐进的过程。几何证明教学的目的，不应当是追求证明的技巧、证明的速度和题目的难度，而应服从于使学生养成“说理有据”的态度、尊重客观事实的精神和质疑的习惯，形成证明的意识，理解证明的必要性，体会证明的意义，经历证明的过程，领略证明的基本思想，掌握证明的基本方法等等。因此，标准在强调探索图形性质的基础之上，要求证明基本图形（三角形、四变形）的基本性质，降低对论证过程形式化和证明技巧的过分要求，删去繁难的几何证明题，这就既保留了传统几何中推理论证的部分要求，又明确要防止过分
20、“形式化”的证明，从而使学生能应用不同的形式进行推理，学会“合乎逻辑地思考”。数学课程标准中降低了几何证明的难度和表达的形式化要求，认为几何证明能力的培养是一个长期的过程，因而在有关空间与图形知识的学习过程中，应让学生逐步经历实验操作-简单说理-简单推理-推理及其形式化地表述这样一个过程，这样就要求教师恰当把握几何证明的要求和阶段性，具体分析教学内容并对其进行恰当定位，据此展开相应的教学活动。B:在七年级下学期第二章平行线与相交线，教材中提供了多种活动，使学生在探索图形性质的过程中，注重发展自身有条理的思考、表达和交流，引导学生在活动中自觉进行思考，自觉地用自己的语言说明操作的过程，并尝试解释
21、其中的理由。对于“说理”的学习体现循序渐进，说理要求基本控制为一步，同时鼓励学生运用自己的语言说明理由。在书写格式上不作统一要求，既可以用自然语言，也可以结合在图中标示说明，或者利用箭头等形式表示自己的思路，只要能说清楚即可，不要急于让学生书写。如七下课本第67页 做一做：本例中示范了不同的思考与表达方式，对程度较好的学生可以增加思维深度，分析图中角与角的关系，尽可能找出所有的平行线，对困难学生利用拼摆三角尺，发现在拼摆过程中某些角之间的位置关系和大小关系，至少找出一组平行线。再如新人教版七下5.3平行线的性质 例：图5.33是一块梯形铁片的残余部分，量得A=100，B=115，梯形另外两个角
22、分别是多少？本例出示了基本的解题思路与步骤，而不是严格的证明，降低了学生说理的难度。在七年级（下）第五章三角形中，在以直观操作的基础上，将直观与简单推理相结合，并更多地注重学生推理意识的建立和对推理过程的理解，注重学生运用自己的方式有条理地表达推理过程，学生推理意识的树立以及推理经验的积累，将为以后的证明打下基础。D:如北师版教材和新人教版教材在对三角形内角和等于180的学习中，都是引导学生经历将一个三角形的三个角撕下来拼在一起的操作进行观察，总结出三角形内角和等于180的结论，然后结合图形引导学生运用所学习的知识进行说理，并没有要求进行严格的证明。对三角形全等的判定，在探索判定条件的阶段，就
23、应力求让学生通过活动探索获得有关判定的条件，并关注获得判定条件所用方法的多样性，至于所用方法的严密性、科学性等并不是这一阶段所要关注的核心问题。如北师版174页 想一想 给出了小明与小颖不同的表达方法。B:而以上两部分知识在北师版八年级（下）的证明（一）中再次重现，但要求高了，要求初步掌握用综合法证明的格式，会证明两直线平行的有关判定定理、两直线平行的有关性质定理、三角形内角和定理及其推论；还要求体会推理的严谨性和结论的正确性，初步树立步步有据的推理意识，发展推理论证能力。还要注意体现研究图形问题的多种方法，关注学生处理图形问题的思维发展水平，加强相关数学内容之间的练习和综合应用。如在本章重新
24、学习三角形内角和等于180时，引导学生在原来撕三角形的三个角拼图的基础上引导学生进行严格的证明。同时可引导学生探索其它的证明方法。1 如图1，延长BC得到一平角BCD，然后以CA为一边，在ABC的外部画ACE=A。 2 如图2，过A作DEAB 3 如图3，过C作CDAB。如图4，在BC边上任取一点P，作PDAB，PEAC。反思：三角形内角和定理的证明是借助于什么获得（实验、观察、添加辅平行线），平行线是以后几何中常作的辅助线。添辅助线的技巧：通过平行线把三角形三个内角转化为平角或两平行线间的同旁内角，即把新知识转化为旧知识去解决。而在对三角形全等的判定定理进行证明并利用它们证明其它相关结论时，
25、我们关注的就应是证明思路是否合理、清晰，表达是否简洁、明了等，并希望学生通过严密的逻辑论证能够发现一些新的结论。因此，在教学设计中，应注意设计一些相互联系而又渐次递进的问题，让学生在这些问题的解决过程中揭示出它们之间的联系与差别。A:6、加强几何语言的训练与培养。 几何语言是描述几何概念、反映几何性质和进行推理论证的工具.正确地理解和表述几何语言对掌握几何概念、识别几何图形、正确推理论证,以至培养学生的各种素质,都有着极为重要的作用。在几何教学中，离不开“文字，图形，符号”这三种语言表达形式，强化“几何语言”训练是搞好入门教学的必要条件。强化训练学生及时把所学的定义、公理、定理等根据不同的图形
26、特征，翻译成相应的几何符号语言。逐步从直观的图形语言过渡到抽象的符号语言，再由抽象的文字、符号语言返回到图形来强化理解，形成互译能力，为推理论证的顺利学习应用打下坚实的基础。例：如图，小明说，沿着三条虚线对折可以将三角形ABC的三个内角集中到D处，从而可以验证三角形的内角和定理。你知道图中的E、F点是如何确定的，你能利用该图证明三角形内角和定理吗？试写出相应得已知、求证与证明过程。考查内容：几何语言的表达能力，图形分解与组合的技能，证明基本过程的掌握情况，基本的证明能力。C:7、对几何概念的教学注重由机械记忆转为理解与应用。几何概念是学习几何的基础，也是培养学生数学思维品质的重要内容之一。所以
27、在几何教学过程中,教师要高度重视几何概念的教学.讲清几何概念,使学生正确理解和灵活运用几何概念,这无疑是提高教学质量和培养学生能力的前提条件，对几何概念的教学要注重由机械记忆转为理解与应用。B:8、关注图形变换的思想。利用几何变换的思想来解决问题，有助于提高学生的思维素质。以轴对称变换、平移变换、旋转变换等为工具，使证明途径更加清晰易懂，减轻学生学习与理解的负担。如七下学习全等三角形的证明如果能从变换的角度认识图形，使学生更加清晰地认识图形之间的对应关系，帮助学生理解。D:（三）近几年中考试题的导向作用新课改之后的中考在几何内容的考查上发生了很大的变化，能够根据新课程标准的要求来设置问题，有助
28、于考查学生的合情推理能力与演绎推理能力。事实上，近几年的中考中对合情推理与演绎推理的考法体现了以下的特点：（1）单纯演绎推理的题目难度降低，位置前移，且数量减少，这是全国各地较为普遍的做法； 例1、（2008济南）19.已知：如图1，ABDE，ACDF，BE=CF 求证：AB=DE（2）将合情推理与演绎推理有机融为一体加以考查；例2、（2008北京）25请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段DF的中点，连结若，探究与的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中
29、线段与的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明题目用视频出。画外音简单说明两个试题的特点。（3）借助归纳与概括，侧重考查学生合情推理能力；例3、(2008河北)如图14-1，的边在直线上，且；的边也在直线上，边与边重合，且（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；（2）将沿直线向左平移到图14-2的位置时，交于点，连结，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将沿直线向左平移到图14
30、-3的位置时，的延长线交的延长线于点，连结，你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由（4）开放、探究性问题与证明结合，考查学生综合能力。例4、（2008德州）已知：如图9，在中，垂足为点，是外角的平分线，垂足为点（1）求证：四边形为矩形；（2）当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明题目用视频出。画外音简单说明两个试题的特点。从以上考题我们不难看出试题的设置遵循让学生经历观察、分析、比较、猜想得出结论之后再进行严格的证明，这就需要我们在平时的教学中要注重培养学生的合情推理能力，然后进行有理有据地说明理由。A:（四）培养学生推理能力注意
31、问题1、将推理能力的培养有机地融合在数学教学中。在证明的教学中，首先应通过生活、代数和几何中的具体例子使学生认识到，有些命题可以通过观察和实验得到并获得大家的认可，但也有些命题仅仅通过观察和实验是不够的，从而使学生体会证明的必要性；其次，应该是学生理解证明的基本要求，有条理阐述自己的想法，知道推理必须有依据，证明过程的表达必须条理清楚。D:2、将推理能力的培养落实到课程标准的四个数学领域中。实际上，数学的各部分内容都是培养逻辑推理能力的良好素材. 数学家莫雷认为：“在严格的意义下说，数学是一种抽象的科学，它的各部分内容都是演绎推理地展开。”譬如，代数、三角以及算术的概念、法则、甚至计算步骤都或多或少渗透了抽象、概括、分析、推理的过程，在培养逻辑推理能力方面具有不可缺少的作用。C:3、注意学生熟悉的生活实例发展学生的推理能力。例：如图，小刚站在河边的A
