1、平面向量题目及详细答案doc平面向量高考经典试一、选择题1.(全国1文理)已知向量方=(-5,6),方= (6,5),则Z与方A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向解.己知向量a = (-5,6), & = (6,5), = 30 + 30 = 0,则U与片垂直,2、(山东文5)已知向量g = (1, )，b = (1, )，若2a -b与b垂直，则a =( )A. 1 B. y/2 C. 2 D. 4【分析】：2a-b = (3,n),由2a-bjb垂直可得：(3,)(1,) = -3 + 2 =o= = 右， a = 2 o3、(广东文4理10)若向量履满足修|=|方
2、|二1 3,5的夹角为60。，则溢+混=解析：aa + a-b= l + lxlx=,224、(天津理10)设两个向量。=(A + 2, /i? 一 cos2 q)和方=(m, y + sin a),其中人,a为一 一 人实数.若。=2上则-的取值范围是 mA. -6,1 B. 4,8 C. (-oo,l D. -1,6分析】由 = (/! +2, A2 - cos2 a) ,h = (tn, + sin a = 2片，可得2去7化简得 2k - cos2 a = + 2sin cr,再化简得2-kJ 2-k2 + 4 一 cos2 a + 2 sin。= 0 再令一 = t 代入上式得、k
3、- 2) k 2 k 2(sin2。一 顶 + (16产 +18/ + 2) = 0 可得一(16产 +18, + 2)c 0,4解不等式得Zg-1,-8因而一1. V 解得 一6 C k .故选Ak-2 85、(山东理11)在直角AABC中，C。是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是(C) I洞七京.而(D) |cD|2 = (ac ab)x(ba bq1 1 1 1 网 2【分析】：|Xc|2 = Xc bXc(Ic-Xb)= oac bc = o, a 是正确的,同理b也正确，对于d答案可变形|cd|2-|ab|2=|Ic|2-|bc|2,通过等积变换判断I ， I I ， 6、(全国2
4、理5)在AABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2 DB , CD =-CA + XCB,3则入=2 (A)-)FA-FB- FC=O,贝U|FA|+|FB|+|FC|=(A)9 (B) 6 (C) 4 (D)3解.设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若F + FB + FC=O, 则F为ZXABC的重心，.A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于 3,. |FA|+|FB|+|FC|= (xA +1) + (xB +1) + (xc +1) = 6,选 B。8、(全国2文6 )在ABC中，已知。是AB边上一点，若AD = 25fi,CD = -C4 + A
5、CB,则人=( )321 1 2A. - B. - C. 一一 D. 一一33 3 3解.在左ABC中，己知D是AB边上一点，若方万=2瓦，而=1苗+人瓦，贝U3CD = CA + Jd = CA-AB = CA + -(CB-CA)=-CA-CB , 4X=-,选 A。3 3 3 3 39(全国2文9)把函数y = c的图像按向量0 = (2, 0)平移，得到y = f(x)的图像,则 /(%)=( )A. W+2 B. W2 C. eA-2 D. ev+2解.把函数尸/的图象按向量方=(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位, 平移后得到的图象,fix)= ex2 + 3 ,选
6、C。10、(北京理4)已知。是所在平面内一点，D为BC边中点，且2O4 + OB + OC = 0,那么( )A. AO = ODB. AO = 2ObC. Ad = 3ODD. 2Ad = OD解析：。是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，.OBOC = WD,且2页+面+ 况 =0,.204 + 205 = 6,即AO = OD,选A11、(上海理14)在直角坐标系xOy t分别是与x轴，y轴平行的单位向量,若直角三角形ABC中，而=2；+项，AC = 3i + kJ,则如勺可能值有【解析】解法一： 而二函+京 = -2； + 3W+(Sl)(1)若A为直角，则而京=(2；+顶)(3；+
7、灯) = 6 + k = 0nR = 6；(2)若B为直角，则用肮二(2；+j)；+侬一l) = l + Z： = 0nA=l；(3)若C为直角，则AC* BC = (3,+ */)，+ (# 1) f =好-k + 3 = Qn kw 所以k的可能值个数是2,选B解法二：数形结合.如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1), C点坐标为 (3,k),所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角.所 以k的可能值个数是2,选B12、 (福建理4文8)对于向量，a、b、c和实数错误!未找到引用源。，下列命题中真 命题是A若错误味找到引用源。，贝iJa = O或b = 0
8、 B若错误!未找到引用源。，贝入=0 或 a=0C若错误味找到引用源。=错误味找到引用源。，则a=b或a=-b D若错 误!未找到引用源。，则b=c解析：ab时也有a b=0,故A不正确；同理C不正确；由a b=a c得不到b=c, 如a为零向量或a与b、c垂直时，选B13、 (湖南理4)设0,力是非零向量，若函数/(x) = (xa + /)!_(-xb)的图象是一条直线，则必有( )A. a A-b B. a / b C. a=b D. ab【解析】f(x) = (,ra + bJXa-xb) = -aL&x2 +(|of -|AfM + uLft,若函数 f(x)的图象是一条直线，即其二
9、次项系数为0,.db=0, =a h.14、(湖南文2)若0、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是个单位。S行16、(湖北文9)设a=(4,3)9a在上的投影为力在工轴上的投影为2,且|b|a + 2bo 故选C.18、(浙江文9)若非零向量。，力满足|a-&| = |Z|,则( )A . |2&| a-2b B . 2b T TABBD +BD-DC |=4,贝ij (AB+ DC) - AC 的值为()A.2 B. 2V2 C.4 D.4V2【分析】：(AB+ DC) AC = (AB+ Z)C) (AB +BD+DC) = (I AB| + | DC|)2.IA8| + |8Z
10、)| + |OC|=4, .t - - =| AB| + |OC|=2.BD(AB-DC) = 4,T T T.(A8+ DC) -AC = 4.21、(重庆文9)己知向量成= (4,6),而= (3,5),且况 1不，京而，则向量& 等于设 C( a y) v OClOA,=4x6y = 0, AC I I OB = 5(x - 4) - 3( j - 6) = 0,3 2联立解得C(y,-y).22、(辽宁理3文4)若向量Q与力不共线，al 6 0 ,且c = ac的夹角为(-2 解析：因为。 c = a -(-2H T T所以向量与c垂直，选D三一)=0, b23、(辽宁理6)若函数y
11、= /(X)的图象按向量。平移后，得到函数y = f(x + l)-2的图象，则向量0=( )A. (-1,-2) B. (1,-2) C. (-1,2) D. (1,2)解析：函数y = /(工+ 1)-2为y+ 2 = /(x+1),令% = x +1,? = y+ 2得平移公式,所以向量 = (-1,-2),选A 24、(辽宁文7)若函数y = f的图象按向量平移后，得到函数y = f(x-)-2的图象，则向量0=( )A. (1, 2) B. (1,2) C. (1, 2) D. (1,2)解析：函数y = /(x-l)_2j + 2 = /(X-l),令尤=尤l,y =y + 2得平
12、移公式,所以向量a = (1,-2),选C 25、(四川理7文8)设A(q,1), B(2,b), C(4,5)为坐标平面上三点，。为坐标原点,若瓦与而在&方向上的投影相同，则。与人满足的关系式为( )(A) 4。一 5Z? = 3 (B) 5。一 4。= 3由瓦与而在&方向上的投影相同，可得：OA OC = OB OC即4。+ 5 = 8 + 5人，4a-5h = 3 .26、(全国2理9)把函数尸W的图象按向量0=(2,3)平移，得到)u/U)的图象，则.心)=(A) e*+2 (B)产32 (C)峪+3 (D)2 3解.把函数尸W的图象按向量。=(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平
13、移3个单位,平移后得到)可力的图象，./W= ex2 + 3 ,选C。二、填空题1、(天津文理 15)如图，在 ABC 中，ZBAC = l20,AB = 2,AC = l,D 是边BC 上一点，DC = 2BD,则而成=/八心、+ 土 AB2 + AC2 - BC2 AB2 4- AD【分析】法一：由余弦定理得cos 8 =2xABxACA2xABxBD u又而，万心夹角大小为ZADB ,2xBDxAD_ 8_9 4x/13xV7 V91，8 土 t AD x BC x cos ZADB =所以 ADUBC= 32、(安徽文理13)在四面体。-ABC中，OA = a,OB = b,OC =
14、c,Dj BC的中点，E(用 s b,为AD的中点，则0E= (用s b, c表示)解析：在四面体O-ABC中，OA = a,OB = b.OC = c,Dj BC的中点，E为AD的中点，则5E = a4 + XE = O4 + -AD = a44-(Xd + 0D)=OA H (OB + OC) = ci H b c。2 4 2 4 43、(北京文11)已知向量a = (2,4), & = (1,1).若向量bl(a + Ab)，则实数4的值解析：已知向量。=(2,4),片=(1,1) .向量。+人方=(2 +兀4 + 4), b L (a + Xb),则2+入+4+入=0,实数人=一3.4
15、、(上海文6)若向量。，方的夹角为60 a = h = 1,贝睑(白-方)=【解析】cia-b-a-a b - a - a b cos60 = 1 =一。飞/ 2 25、(江西理15)如图，在MABC中，点。是的中点，过点O的直 线分别交直线AB , AC于不同的两点M, N ,若AB = mAM ,AC = nAN ,则 777 + 的值为.解析：由MN的任意性可用特殊位置法：当MN与BC重合时知m=l, n=l,故 m+n=2,填 26、(江西文13)在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线08的 两端点分别为 0(0,0), 8(1,1),则 ABMC= 解析：ABCAC = (0,1
16、) (-1,1) = 0x (-1) +1 x 1 = 1.三、解答题：1、(宁夏，海南17)(本小题满分12分)如图，测量河对岸的塔高A8时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D.现测得/BCD = a, /BDC = & CD = s,并在点C测得塔顶A的仰角为、,解：在左BCD 中，ZCBD = ti a/3.CD sin Z.BDC _ ssin /3 sin ZCBD sin(i + /?)在 RtAABC 中，AB = BCtanZACB = 5tan$in sin(a + ”)2、(福建17)(本小题满分12分)1 3在左ABC rp, tanA = , tanB 二一.
17、45(I )求角。的大小；(II)若ABC最大边的边长为而，求最小边的边长.本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推 理和运算能力，满分12分.解：(I ) C =兀一(A + B),1 3 3tanC = -tan(A + B)= =-1.又0 C n , /. C = tc .l-x- 44 5(II) vC = -k, :.AB 边最大，即 A B = V17 .4_ 兀、X/ tan A tan B, A, Be 0,，二角 A 最小，BC 边为最小边., sin A 1 / 、tan A = = , ( ti由 cos A 4 且 Ac 0,sin2
18、 A + cos2 A = 1, ?得 sin/A = ,由 = 得：BC =人列挡4. =17 sinC sin A sinC所以，最小边BC = y/2.3、(广东16)(本小题满分12分)已知芒ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、8(0,0)、C(c,0).(1)若 c = 5,求 sinZ A 的值;(2)若ZA是钝饬，求c的取值范围.解： 而=(-3,-4), AC = (c-3,-4)当c=5时，屯=(2,-4)cosZ4=cos=了，=* sin ZA = Vl-cos2 ZA =5x2j5 J5 进而 5若A为钝角，贝i25AB AC= -3 (c-3) + ( -4) 2
19、 325显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为+8)4、已知AABC三个顶点的直角坐标分别为A(3, 4)、B(0, 0)、C(c, 0).若ABJAC = 0 ,求c的值；(2)若c = 5 ,求sinZA的值解: AB = (-3, -4) AC = (c-3,-4)由 ABC4C = -3(c-3) + 16 = 25-3c = 0 得 c = y(2) AB = (-3-4) AC = (2-4)八 ABL4C -6 + 16 1cos 匕A = _, = j=AB LAC 5V20 J5sin Z/4 = 71-cos2 ZA = -55、(浙江18)(本题14分
20、)已知 ABC的周长为V2+1,且sinA + sinB = JsinC.(I)求边AB的长；(ID若左ABC的面积为LsinC,求角C的度数. 6(18)解：(I)由题意及正弦定理，得AB+BC + AC = J + 1,bc+ac = 4ab,两式相减，得AB = 1.(II)由左 ABC 的面积-BCL4CTsinC = -sinC,得 BCUAC = ,26 3_ （AC + BC）2 - 2ACJBC-崩 _ 1 2ACUBC 2，6、（山东20）（本小题满分12分）如图,甲船以每小时30扼海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于 船的北偏西105的方向B】处
21、,此时两船相距20海里.当甲船航 行20分钟到达总处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B,处,此时两船相距10 海里，问乙船每小时航行多少海里？解：如图，连结 AB2, =102 , A2 =|x30j = 10jLMa坊是等边三角形，=105-60 = 45,在易部2片中，由余弦定理得鸟房二膈+吊8；一2保|皿*45。/y ，= 202 +（10V2）2-2x20x102 x- = 200BB2 =1（）72.因此乙船的速度的大小为史巫x60 = 30j!207、（山东文17）（本小题满分12分）在 A8C中，角A, B, C的对边分别为q, b, c,tanC = 30.(1)求cos
22、C ；-5(2)若CBJCA = -, Ra + b = 9,求c. 2解：(1) . tan C = 377, . = 3V7 cosC, , 1 又. sin2C + cos2C = l 解得 cos C = 8tan C 0, C 是锐角. . cos C =-.8_j- 5 5(2) CB CA = , /. abcosC = , /. ah = 20.2 2又。+。= 9 /. a2 + 2ab + b2 =81. /. a2 +Z?2 =41.c2 = 672 +Z?2 2ahcos C = 36 . :.c = 6 .8、（上海17）（本题满分14分）7E在中，“，b, c分别是
23、三个内角A, B, C的对边.若a = 2, C = -4B 2/5cos = ,求ABC 的面积 S.2 5sinB = -53解：由题意，得cos8 = , 8为锐角, 510一 )72 sin A = sin( k - B - C) = sin - B由正弦定理得 c = , S =ad sin 5 = x2x x =7 2 2 7 5 79、(全国I文17)(本小题满分10分)设锐角三角形ABC的内角人，B, C的对边分别为a, b, c, c/ = 2/?sinA.（I ）求8的大小;(II)若 a = 3a/3 , c = 5,求/?.解：(1 )由 o = 20sinA,根据正弦
24、定理得 sin A = 2 sin Bsin A ,所以 sinB = 一,27T由ABC为锐角三角形得B = -6(II)根据余弦定理，得屏=c/+c22qccosB=27 + 25 45 =7.所以，b = Ji10、(全国II17)(本小题满分10分)在M ABC中，已知内角A = 边BC = 2后.设内角B = x,周长为(1)求函数y = f(x)的解析式和定义域；(2)求y的最大值. C解：(1) ABC 的内角和 A + 3 +。=兀，由 A = -, B0, C0 得 0 B 竺33应用正弦定理，知AL BC . 口 2也. A .AC = sin B = sinx = 4sinx血A 血买3因为y = A8+BC + AC，4 sin x + 4sin271 、X4- 2a/3 3 )L 3)所以y二+2V3(也 1 )(2)因为 y = 4 sinx + cosx + sinx )所以，当x + - = -，即x =-时，y取得最大值60.6 2 3
