1、高考数学100个热点题型秒解技巧之排列组合21种常见题型解题技巧汇总化 难 为 易 化 繁 为 简2019 年 4 月版秒解高考 数学 100 招 选择、填空篇 例( 2016山东理 7)函数 f(x) ( 3sinx cosx) ( 3cosx sin x)的最小正周期是 ( )3A. B. C. D. 2 22秒解】 根据口诀：和差不变 , 积商减半 , 易知 3sinx cos x以及 3cosx sinx 的周期均为 2 , 则 f(x) ( 3sinx cosx)( 3cosx sin x)的周期为 , 选 B.四大特色助快速解题 100 个秒解技巧 10 年高考真题为例 700 个
2、例题深入剖析目录 CONTENTS1、集合 利用特值逆代法速解集合运算题 22、集合 利用对条件具体化巧解集合运算题3、集合 运用补集运算公式简化集合计算4、简易逻辑 利用韦恩图巧解集合与数量关系题5、简易逻辑 借助数轴法巧解充要条件问题6、复数 利用逆代法、特值法速解含参型复数题7、复数 利用公式速解有关复数的模的问题8、复数 利用结论快速判断复数的商为实数或虚数9、复数 利用公式快速解决一类复数问题10、三视图 柱体和锥体的三视图快速还原技巧11、三视图 利用“三线交点”法巧妙还原直线型三视图12、不等式 利用逆代法巧解求不等式解集问题 13、不等式 利用特值法速解比较大小问题 14、不等
3、式 利用数轴标根法速解高次不等式15、不等式 用代入法速解 f 型不等式选择题16、不等式 利用几何意义与三角不等式速解含有绝对值的不等式17、不等式 利用结论速解含双绝对值函数的最值问题18、不等式 利用“1 的代换”巧解不等式中的最值问题19、不等式 利用“对称思想”速解不等式最值问题20、不等式 利用柯西不等式速解最值问题21、线性规划 利用特殊法巧解线性规划问题22、线性规划 高考中常见的线性规划题型完整汇总23、程序框图 程序框图高效格式化解题模式24、排列组合 排列组合 21 种常见题型解题技巧汇总25、排列组合 利用公式法速解相间涂色问题26、排列组合 速解排列组合之最短路径技巧
4、27、二项式定理 二项式定理常见题型大汇总28、二项式定理 利用公式速解三项型二项式指定项问题29、平面向量 特殊化法速解平面向量问题30、平面向量 利用三个法则作图法速求平面向量问题31、平面向量 三点共线定理及其推论的妙用32、平面向量 平面向量等和线定理的妙用33、平面向量 向量中的“奔驰定理”的妙用34、平面向量 三角形四心的向量表示及妙用35、平面向量 利用极化恒等式速解向量内积范围问题36、空间几何 利用折叠角公式速求线线角37、空间几何 求体积的万能公式：拟柱体公式38、空间几何 空间坐标系中的平面的方程与点到平面的距离公式的妙用39、空间几何 利用空间余弦定理速求异面直线所成角
5、40、空间几何 利用公式速解空间几何体的外接球半径41、函数 用特值法速解分段函数求范围问题4243 、函数 数型结合法巧解带 f 的函数型不等式44 、函数 函数的周期性的重要结论的运用45 、函数 利用特值法巧解函数图像与性质问题46 、函数 通过解析式判断图像常用解题技巧47、函数 利用结论 速解“奇函数 C”模型问题48 、函数 利用特值法速解与指数、对数有关的大小比较问题49 、函数 巧用耐克函数求解函数与不等式问题50 、函数 利用对数函数绝对值性质速解范围问题51 、函数 巧用原型函数解决抽象函数问题52、函数 构造特殊函数巧解函数问题 53、导数 特殊化与构造方法巧解导数型抽象
6、函数问题 54、导数 极端估算法速解与导数有关选择题 55、导数 用母函数代入法巧解函数、导数中求范围问题 56、导数 隐函数求导在函数与圆锥曲线切线问题中的妙用 57、三角函数 利用口诀巧记诱导公式及其运用 58、三角函数 利用结论速求三角函数周期问题 59、三角函数 巧用特值法、估算法解三角函数图像问题 60、三角函数 海伦公式及其推论在求面积中的妙用 61 、三角函数 借助直角三角形巧妙转换弦与切 62、三角函数 特殊技巧在三角变换与解三角形问题中的运用 63、三角函数 齐次式中弦切互化技巧 64、三角函数 利用射影定理秒解解三角形问题 65、三角函数 三角形角平分线定理的妙用 66、三
7、角函数 三角形角平分线长公式的妙用 67、三角函数 三角形中线定理及其推论的妙用 68、三角函数 利用测量法估算法速解三角形选择题 69、三角函数 利用公式法速解三角函数平移问题 70、数列 利用公式法速解等差数列 an与 Sn 71、数列 利用列举法速解数列最值型压轴题 72、数列 用特殊化法巧解单条件等差数列问题 73、数列 等差数列性质及其推论的妙用 74、数列 观察法速解一类数列求和选择题 75、数列 巧用不完全归纳法与猜想法求通项公式 76、数列 代入法速解数列选项含 n 型选择题 77、数列 一些数列选择填空题的解题技巧 78、统计与概率 估算法速解几何概型选择题 79、直线与圆
8、利用相交弦定理巧解有关圆的问题 80、直线与圆 利用精准作图估算法速解直线与圆选择题 81、直线与圆 利用两圆方程作差的几何意义速解有问题 82、圆锥曲线 利用“阿波罗尼圆”速解一类距离比问题 83、圆锥曲线 用点差法速解有关中点弦问题 84、圆锥曲线 用垂径定理速解中点弦问题、函数 数形结合法速解函数的零点与交点问题85 、圆锥曲线 用中心弦公式定理速解中心弦问题93、圆锥曲线 利用焦点弦公式速解焦点弦比例问题86 、圆锥曲线 焦点弦垂直平分线结论的妙用94、圆锥曲线 利用焦点弦公式速解焦半径与弦长问题87 、圆锥曲线 利用二次曲线的极点与极线结论速求切线和中点弦方程95、圆锥曲线 椭圆焦点
9、三角形面积公式的妙用88 、圆锥曲线 用公式速解过定点弦中点轨迹问题96、圆锥曲线 双曲线焦点三角形面积公式的妙用89 、圆锥曲线 巧用通径公式速解离心率等问题97、圆锥曲线 离心率与焦点三角形底角公式的妙用90 、圆锥曲线 巧用三角形关系速求离心率98、圆锥曲线 用离心率与焦点三角形顶角公式速求离心率范围91 、圆锥曲线 构造相似三角形速解离心率99、圆锥曲线 用特值法巧解圆锥曲线选填题92 、圆锥曲线 用平面几何原理巧解圆锥曲线问题100 、圆锥曲线 用对称思想速解圆锥曲线问题24、排列组合 排列组合 21 种常见 题型解题技巧汇总 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 :（ 1）认真审题
10、弄清要做什么事 .（2）怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是 分类,或是分步与分类同时进行 , 确定分多少步及多 少类.（3）确定每一步或每一类是排列问题 （有序 ） 还是组合 （无序） 问题,元素总数是多少及取出多少个元素 .（4）解决排列组合综合性问题 , 往往类与步交叉 , 因此必须掌握一些常用的解题策略 . 常见题型及解题技巧（1）特殊元素和特殊位置优先策略 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 ,若以元素分析为主 , 需先安排特 殊元素 , 再处理其它元素 .若以位置分析为主 ,需先满足特殊位置的要求 ,再处理其它位置 . 若有多个约束条件 往往是考
11、虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 例 1 由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 .【秒解】 由于末位和首位有特殊要求 , 应该优先安排 , 以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有 C31, 然后排首位共有 C41 ,最后排其它位置共有 A43, 由分步计数原理得 C41C31A43 288 练 1 7种不同的花种在排成一列的花盆里 ,若两种葵花不种在中间 ,也不种在两端的花盆里 ,问有多少不同 的种法？（2） 相邻元素捆绑策略 要求某几个元素必须排在一起的问题 , 可以用捆绑法来解决问题 . 即将需要相邻的元素合并为一个元素 , 再与其它元素一起作排列 ,
12、同时要注意合并元素内部也必须排列 . 例 2 7 人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻 , 共有多少种不同的排法 .【秒解】 可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素 ,同时丙丁也看成一个复合元素 , 再与其它元素进行排列 , 同时对相邻元素内部进行自排 . 由分步计数原理可得共有 A55A22 A22 480种不同的排法 练 2 某人射击 8枪,命中 4枪,4 枪命中恰好有 3枪连在一起的情形的不同种数为 20(3)不相邻问题插空策略 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端 例 3 一个晚会的节目有 4 个舞蹈 ,2 个相声 ,3 个独唱 , 舞蹈节目
13、不能连续出场 , 则节目的出场顺序有多少 种？【秒解】 分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱5共有 A55种,第二步将 4舞蹈插入第一步排好的 6 个 元素中间包含首尾两个空位共有种 A64 不同的方法 ,由分步计数原理 , 节目的不同顺序共有 A55A46 种 练 3 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单 , 开演前又增加了两个新节目 . 如果将这两个新节目插入 原节目单中 , 且两个新节目不相邻 , 那么不同插法的种数为 30(4)定序问题倍缩空位插入策略 定序问题可以用倍缩法 , 还可转化为占位插空模型处理 例 4 7 人排队 , 其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的
14、排法【秒解】 (倍缩法 )对于某几个元素顺序一定的排列问题, 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列 , 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数 , 则 共有不同排法种数是： A77/ A33(空位法 )设想有 7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A74种方法 ,其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法,则共有 A74 种方法 .思考 : 可以先让甲乙丙就坐吗 ?(插入法 ) 先排甲乙丙三个人 , 共有 1 种排法 , 再把其余 4 四人依次插入共有 方法 练 4 10人身高各不相等 , 排成前后排 ,每排 5人,要求从左至右身高逐渐增加 , 共有多少排法？ C150(5)重排问题求幂策略
15、允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象 , 元素不受位置的约束 , 可以逐一安排各个元素的位置般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m个位置上的排列数为 mn 种 例 5 把 6名实习生分配到 7个车间实习 , 共有多少种不同的分法【秒解】 完成此事共分六步 : 把第一名实习生分配到车间有 7 种分法 . 把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推 , 由分步计数原理共有 76 种不同的排法 ? 练 5 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单 , 开演前又增加了两个新节目 . 如果将这两个节目插入原 节目单中 , 那么不同插法的种数为 428 练 6 某 8 层大楼一楼电梯上来
16、8 名乘客人 , 他们到各自的一层下电梯 , 下电梯的方法 78(6)环排问题线排策略一般地 ,n 个不同元素作圆形排列 , 共有(n-1)! 种排法 . 如果从 n个不同元素中取出 m个元素作圆形排列共 有 1 Anmm 例 6 8 人围桌而坐 ,共有多少种坐法 ?【秒解】 围桌而坐与坐成一排的不同点在于 , 坐成圆形没有首尾之分 ,所以固定一人 , 并从此位置把圆形展成直 线其余 7 人共有( 8-1 )！种排法即 7 ！ 练 7 6 颗颜色不同的钻石 , 可穿成几种钻石圈120(7)多排问题直排策略一般地 , 元素分成多排的排列问题 ,可归结为一排考虑 , 再分段研究 例 7 8 人排成
17、前后两排 ,每排 4 人, 其中甲乙在前排 ,丙在后排 ,共有多少排法【秒解】 8 人排前后两排 , 相当于 8 人坐 8把椅子 ,可以把椅子排成一排 . 个特殊元素有 A24种, 再排后 4 个位置 上的特殊元素丙有 A14种,其余的 5 人在 5个位置上任意排列有 A55种,则共有 A42 A14 A55种 练 8 有两排座位 ,前排 11个座位 ,后排 12个座位, 现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐, 并且这 2 人不左右相邻 , 那么不同排法的种 数是 346(8)排列组合混合问题先选后排策略 解决排列组合混合问题 , 先选后排是最基本的指导思想 . 此法与相邻元素捆
18、绑策略相似吗 例 8 有5个不同的小球 ,装入 4个不同的盒内 ,每盒至少装一个球 ,共有多少不同的装法 .【秒解】 第一步从 5个球中选出 2个组成复合元共有 C52种方法.再把 4个元素（包含一个复合元素 ）装入 4个 不同的盒内有 A 44种方法 ,根据分步计数原理装球的方法共有 C52A44 练 9 一个班有 6名战士,其中正副班长各 1人,现从中选 4人完成四种不同的任务 ,每人完成一种任务 ,且正 副班长有且只有 1 人参加 , 则不同的选法有 192 种 .（9）小集团问题先整体后局部策略 小集团排列问题中 , 先整体后局部 ,再结合其它策略进行处理 . 例 9 用 1,2,3,
19、4,5 组成没有重复数字的五位数其 中恰有两个偶数夹在 1,5 两个奇数之间 , 这样的五位 数有多少个？【秒解】 把 1,5,2,4 当作一个小集团与 3排队共有 A22种排法,再排小集团内部共有 A 22 A22种排法 ,由分步计数 原理共有 A22 A22A22种排法 . 练 10 计划展出 10 幅不同的画 , 其中 1 幅水彩画 , 4 幅油画 ,5 幅国画 , 排成一行陈列 , 要求同一种画 的必须连在一起 , 并且水彩画不在两端 , 那么共有 陈列方式的种数为 A22 A55A44 练 11 5 男生和女生站成一排照像 , 男生相邻 , 女生也相邻的排法有 A22 A55A55
20、种 （ 10）元素相同问题隔板策略将 n 个相同的元素分成 m份（ n,m 为正整数） , 每份至少一个元素 , 可以用 m-1 块隔板 , 插入 n 个元素排成 一排的 n-1 个空隙中 , 所有分法数为 Cnm11 例 10 有 10个运动员名额 , 分给 7 个班 ,每班至少一个 , 有多少种分配方案？ 【秒解】 因为 10个名额没有差别 , 把它们排成一 排.相邻名额之间形成个空隙 . 在个空档中选个位置插个隔板 ,可把名额分成份 , 对应地分 给个班级 , 每一种插板方法对应一种分法共有 C96种分法 . 练 12 10 个相同的球装 5 个盒中 , 每盒至少一个球有多少装法？C94
21、 练 14 x y z w 100 求这个方程组的自然数解的组数 ？ C1303(11)正难则反总体淘汰策略有些排列组合问题 , 正面直接考虑比较复杂 , 而它的反面往往比较简捷 , 可以先求出它的反面 , 再从整体中 淘汰 . 例 11 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数 ,使其和为不小于 10的偶数 , 不同的取法有多少 种？【秒解】 这问题中如果直接求不小于 10的偶数很困难 ,可用总体淘汰法 .这十个数字中有 5个偶数 5个奇数 , 所取的三个数含有 3个偶数的取法有 C53 ,只含有 1个偶数的取法有 C51C52 , 和为偶数的取法共有 C51C52
22、 C53. 再 淘汰和小于 10 的偶数共 9 种, 符合条件的取法共有 C51C52 C53 9 练 14 班里有 43 位同学 , 从中任抽 5 人 , 正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种(12)平均分组问题除法策略平均分成的组 ,不管它们的顺序如何 ,都是一种情况 ,所以分组后要一定要除以 Ann( n为均分的组数 )避免 重复计数 . 例 12 6 本不同的书平均分成 3 堆 , 每堆 2 本共有多少分法？【秒解】 分三步取书得 C62C42C22 种方法 , 但这里出现重复计数的现象 ,不妨记 6 本书为 ABCDEF若, 第一步取 AB, 第二步取 CD,第三步取
23、EF该分法记为 (AB,CD,EF), 则C62C42C22中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF), (CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD) 共有 A33种取法 , 而这些分法仅是 (AB,CD,EF)一种分法 ,故共有 C62C42C22/A33 种分法 . 练 15 将 13个球队分成 3组,一组 5个队,其它两组 4个队, 有多少分法？( C153C84C44 / A22) 练 16 10名学生分成 3 组, 其中一组 4人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组 , 有多少种不同的分组方 法 ( 1540) 练 17 某校高二年级共有六个班级 ,
24、现从外地转入 4 名学生 , 要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名, 则不同的安排方案种数为 _(C42C22A62/A22 90)(13)合理分类与分步策略解含有约束条件的排列组合问题 , 可按元素的性质进行分类 , 按事件发生的连续过程分步 , 做到标准明确 . 分步层次清楚 ,不重不漏 , 分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终 . 例 13 在一次演唱会上共 10 名演员 , 其中 8 人能 能唱歌 ,5 人会跳舞 ,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目 , 有多少选派方法？【秒解】 10 演员中有 5人只会唱歌 ,2 人只会跳舞 3人为全能演员 . 选上唱歌人员为标准进行
25、研究只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有 C32C32种, 只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员 C51C31C42种, 只会唱的 5 人中只 有 2 人选上唱歌人员有 C52C52种, 由分类计数原理共有 C32C32 C51C31C42 C52C52种. 练 18 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会 ,若这 4 人中必须既有男生又有女生 , 则不同的选 法共有 34 练 19 3 成人 2 小孩乘船游玩 ,1 号船最多乘 3 人 , 2号船最多乘 2人,3 号船只能乘 1 人, 他们任选 2 只 船或 3 只船, 但小孩不能单独乘一只船 , 这 3 人共有
26、多少乘船方法 . （ 27）（14）构造模型策略一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型 ,如占位填空模型 , 排队模型 , 装盒模型等 , 可使 问题直观解决 例 14 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯 , 现要关掉其中的 3 盏 , 但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏, 也不能关掉两端的 2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种？秒解】 把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有 C53 种 练 20 某排共有 10 个座位 , 若 4 人就坐 , 每人左右两边都有空位 , 那么不同的坐法有多少种？（ 120 ） （15
27、）实际操作穷举策略 对于条件比较复杂的排列组合问题 , 不易用公式进行运算 , 往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到 的结果 例 15 设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 个盒子放一个球 , 并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同 练 21 同一寝室 4 人, 每人写一张贺年卡集中起来 , 然后每人各拿一张别人的贺年卡 , 则四张贺年卡不同的分 配方式有多少种？ （9） 练 22 给图中区域涂色 , 要求相邻区 域不同色 , 现有 4 种可选颜色 , 则不同的着色方法有 72 种（16）分解与合成策略 分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略 , 把
28、一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决然后依据问题分解后的结构 , 用分类计数原理和分步计数原理将问题合成 , 从而得到问题的答案 , 每个比较复 杂的问题都要用到这种解题策略 例 16 30030 能被多少个不同的偶数整除？【秒解】 先把 30030 分解成质因数的乘积形式 30030=235 7 1113, 依题意可知偶因数必先取 2,再 从其余 5 个因数中任取若干个组成乘积 ,所有的偶因数为： C51 C52 C53 C54 C55 练 23 正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线解：我们先从 8 个顶点中任取 4个顶点构成四体共有体共 C84 12 58, 每个四面体有 3对异面直线 ,正方体 中的 8 个顶点可连成 3 58 174 对异面直线17）化归策略处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题 , 通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法 , 从而进下一步解决原来的问题 例 17 25 人排成 55 方阵 , 现从中选 3 人 , 要求 3 人不在同一行也不在同一列 , 不同的选法有多少种？ 【秒解】 将这个问题退化成 9 人排成 33方阵, 现从中选 3 人,要求 3人不在同一行也不在同一列 , 有多少选 法.这样每行必有
