1、中考数学几何压轴题辅助线专题复习中考压轴题专题几何（辅助线）精选 1.如图，Rt ABC中， ABC=90，DE 垂直平分 AC，垂足为 O，AD BC，且 AB=3，BC=4，则 AD 的长为 精选 2 如图， ABC中， C60， CAB与 CBA 的平分线 AE， BF 相交于点 D，求证： DE DFCFEDA B精选 3. 已知：如图， O的直径 AB=8cm， P 是 AB延长线上的一点，过点 P 作 O的切线，切点为 C，连接 AC(1) 若 ACP=120，求阴影部分的面积；(2) 若点 P 在 AB的延长线上运动， CPA的平分线交 AC于点 M， CMP的大小是否发生变化？
2、若变化，请说明理由；若不变，求出 CMP的度数。精选 4、如图 1，Rt ABC 中， ACB=90，AC=3， BC=4，点 O 是斜边 AB 上一动点，以 OA 为半径作 O 与 AC 边交于点 P，（ 1）当 OA= 时，求点 O 到 BC的距离；（ 2）如图 1，当 OA= 时，求证：直线 BC与 O 相切；此时线段 AP 的长是多少？（ 3）若 BC 边与 O 有公共点，直接写出 OA 的取值范围；（ 4）若 CO平分 ACB，则线段 AP 的长是多少？A精选 5 如图，已知 ABC为等边三角形， BDC 120， AD 平分 BDC，求证： BD+DC ADEB CD精选 6、已知
3、矩形 ABCD的一条边 AD=8，将矩形 ABCD折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处（第 6 题图）（ 1）如图 1，已知折痕与边 BC交于点 O，连结 AP、 OP、 OA求证： OCP PDA；若 OCP与 PDA的面积比为 1： 4，求边 AB 的长；（ 2）若图 1 中的点 P 恰好是 CD边的中点，求 OAB 的度数；（ 3）如图 2， ，擦去折痕 AO、线段 OP，连结 BP动点 M 在线段 AP 上（点 M 与点 P、 A不重合），动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM，连结 MN 交 PB 于点 F，作 MEBP 于点 E试问当点 M、N 在移动过程中
4、，线段 EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段 EF 的长度精选 7、如图，四边形 ABCD是边长为 2，一个锐角等于 60的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点 D 重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交 CB、BA（或它们的延长线） 于点 EDF=60，当 CE=AF时，如图 1 小芳同学得出的结论是 DE=DFE、F，（ 1）继续旋转三角形纸片，当 CEAF时，如图 2 小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（ 2）再次旋转三角形纸片，当点 E、 F 分别在 CB、 BA 的延长线上时，如图 3 请直接写出 DE
5、与 DF 的数量关系；（ 3）连 EF，若 DEF的面积为 y，CE=x，求 y 与 x 的关系式， 并指出当 x 为何值时， y 有最小值， 最小值是多少？精选 8、等腰 Rt ABC中， BAC=90，点 A、点 B 分别是 x 轴、 y 轴两个动点，直角边 AC 交 x 轴于点 D，斜边 BC 交 y 轴于点 E；（ 1）如图（ 1），若 A（0， 1）， B（ 2， 0），求 C 点的坐标；（ 2）如图（ 2），当等腰 Rt ABC运动到使点 D 恰为 AC 中点时，连接 DE，求证： ADB=CDE（ 3）如图（ 3），在等腰 RtABC 不断运动的过程中，若满足 BD 始终是 AB
6、C的平分线， 试探究：线段 OA、OD、 BD 三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由精选 9如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l1 、 l 2 、 l 3 、 l4 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为 h 、 h 、 h(h0，h0，h0) 123123（ 1）求证： h1h3 ；l1Ah1（ 2）设正方形 ABCD的面积为 S ，求证：S( h1 h2 )22l2Bh2h1 ；l3（ 3）若 3 h1D h3h21 ，当 h1 变化时，说明正方形ABCD 的面积l42CS 随 h1 的变化情况第题图参考答案精选 1解： RtABC中， ABC=90， AB=3，
7、 BC=4， AC= = =5， DE 垂直平分 AC，垂足为 O， OA= AC= ， AOD= B=90， AD BC， A= C， AOD CBA， = ，即=，解得 AD=故答案为：精选 2证明：在 AB 上截取 AG，使 AG=AF，C易证 ADF ADG（ SAS） DF DG C 60，FEAD， BD 是角平分线，易证ADB=120 ADF ADG BDG BDE 60D易证 BDE BDG（ ASA）AGB DE DG DF精选 3、解：（ 1）连接 OC PC 为 O 的切线， PC OC PCO=90度 ACP=120 ACO=30 OC=OA， A= ACO=30度 B
8、OC=60 OC=4 S 阴影 =S S 扇形BOC= OPC（ 2） CMP 的大小不变，由（ 1）知 BOC+ OPC=90 PM 平分 APC；CMP=45 APM= APC A= BOC PMC= A+APM=（ BOC+ OPC） =45精选4、解：（ 1）在 Rt ABE中，过点 O 作 OD BC于点 D，则 OD AC， ODB ACB， ， ，点 O 到 BC 的距离为 （ 3 分）（ 2）证明：过点 O 作 OE BC 于点 E， OF AC 于点 OEB ACB， ，直线 BC与 O 相切（ 5 分）此时，四边形 OECF为矩形，（ 1 分），F， AF=AC FC=3
9、= ， OF AC， AP=2AF= （ 7 分）（ 3） ；（9 分）（ 4）过点 O 作 OG AC于点 G， OH BC 于点 H，则四边形 OGCH是矩形，且 AP=2AG，又 CO 平分 ACB， OG=OH，矩形 OGCH是正方形（10 分）设正方形 OGCH的边长为 x，则 AG=3 x， OG BC， AOG ABC， AP=2AG= （ 12 分）精选 5、证法 1：（截长）如图，截DF=DB，易证 DBF为等边三角，然后证BDC BFA即可；证法 2：（截长）如图，截DF=DC，易证 DCF为等边三角，然后证BDC AFC即可；证法 3：（补短）如图，延长BD 至 F，使
10、DF=DC，此时 BD+DC=BD+DF=BF，易证 DCF为等边，再证 BCF ACD即可证法 4：（四点共圆）两组对角分别互补的四边形四个顶点共圆设 ABAC BC a，根据（圆内接四边形）托勒密定理：CD a BD a AD a，得证FFF精选 6、解：（ 1）如图 1，四边形 ABCD是矩形， AD=BC，DC=AB，DAB= B=C= D=90由折叠可得： AP=AB，PO=BO， PAO= BAO APO= B APO=90 APD=90 CPO= POC D= C， APD=POC OCP PDA OCP与 PDA的面积比为 1： 4， = = = = PD=2OC， PA=2O
11、P， DA=2CP AD=8， CP=4， BC=8设 OP=x，则 OB=x， CO=8 x在 Rt PCO中， C=90， CP=4， OP=x， CO=8 x，222 x =（ 8 x）+4解得： x=5 AB=AP=2OP=10边 AB 的长为 10（ 2）如图 1， P 是 CD边的中点， DP= DC DC=AB， AB=AP， DP= AP D=90， sin DAP= = DAP=30 DAB=90， PAO=BAO， DAP=30， OAB=30 OAB 的度数为 30（ 3）作 MQ AN，交 PB 于点 Q，如图 2 AP=AB， MQAN， APB=ABP， ABP=
12、MQP APB=MQP MP=MQ MP=MQ ，ME PQ， PE=EQ= PQ BN=PM， MP=MQ， BN=QM MQ AN， QMF= BNF在 MFQ 和 NFB 中， MFQ NFB QF=BF QF= QB EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB由（ 1）中的结论可得：PC=4， BC=8， C=90 PB=4 EF= PB=2 在（ 1）的条件下，当点 M 、 N 在移动过程中，线段 EF的长度不变，长度为 2 精选 7、解：（ 1） DF=DE理由如下：如答图 1，连接 BD四边形 ABCD是菱形， AD=AB又 A=60， ABD 是等边三角形， AD=BD， ADB
13、=60， DBE= A=60 EDF=60， ADF= BDE在 ADF 与 BDE中， ， ADF BDE（ ASA）， DF=DE；（ 2） DF=DE理由如下：如答图 2，连接 BD四边形 ABCD是菱形， AD=AB又 A=60， ABD 是等边三角形， AD=BD， ADB=60， DBE= A=60 EDF=60， ADF= BDE在 ADF 与 BDE中， ， ADF BDE（ ASA）， DF=DE；（ 3）由（ 2）知， ADF BDE则 SADF=SBDE， AF=BE=x依题意得： y=S（ 2+x） xsin60 + 2 2sin60=2即 y=2+BEF+S ABD=
14、（ x+1） +（ x+1） 0，该抛物线的开口方向向上，当 x=0 即点 E、B 重合时， y 最小值 = 精选 8、（ 1）解：过点 C 作 CFy 轴于点 F， AFC=90， CAF+ ACF=90 ABC 是等腰直角三角形， BAC=90， AC=AB， CAF+ BAO=90， AFC= BAC， ACF= BAO在 ACF 和 ABO 中， ACF ABO（ AAS） CF=OA=1， AF=OB=2 OF=1 C（ 1， 1）；（ 2）证明：过点 C 作 CG AC交 y 轴于点 G， ACG= BAC=90， AGC+ GAC=90 CAG+ BAO=90， AGC= BAO
15、 ADO+ DAO=90， DAO+ BAO=90， ADO= BAO， AGC= ADO在 ACG和 ABD 中 ACG ABD（ AAS）， CG=AD=CD ACB= ABC=45， DCE=GCE=45，在 DCE和 GCE中， DCE GCE（ SAS）， CDE=G， ADB= CDE；（ 3）解：在 OB 上截取 OH=OD，连接 AH由对称性得 AD=AH， ADH= AHD ADH= BAO BAO=AHD BD 是 ABC的平分线， ABO= EBO， AOB= EOB=90在 AOB 和 EOB中， AOB EOB（ ASA）， AB=EB， AO=EO， BAO=BEO
16、， AHD= ADH=BAO= BEO AEC= BHA在 AEC和 BHA 中， ACE BAH（ AAS） AE=BH=2OA DH=2OD BD=2（ OA+OD）精选 9、A（ 1）证：设 AD与 l2 交于点 E ， BC 与 l3 交于点 F ，l1由已知 BF ED， BE FD ，l2BE四边形 BEDF 是平行四边形，BEDF l3FD又 AB CD， RtABE RtCDF h1 h3l 4C（ 2）证：作 BGl4，DH l 4，垂足分别为 G、 H ，在 Rt BGC 和 Rt CHD 中，BCG DCH 180 BCD 90 ， CDH DCH 90 BCG CDH 又 BGC CHD 90 ， BC CD ，h1h2h3RtBGC RtCHD，CGDHh2 又 BG hh ， BC2BG 2CG2( h h )2h2( h h ) h2，23232121S BC2( h h )2h2121l13 h13 h1（ 3）解：h21， h21，l22222l3S h1 13h2252h115h124 ，2h 14h 1455l4h1 0， h20， 13 h10， 0 h12 23Ah1B Eh2Dh3G C H当 0 h1222时， S 随 h1 的增大而减小；当h1时， S 随 h1 的增大而增大553
