1、学年高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 11 数的概念的扩展12 复1.1数的概念的扩展1.2复数的有关概念明目标、知重点1.了解引入虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.4.理解复数的几何表示1复数的有关概念(1)复数定义：形如abi的数叫作复数，其中a，bR，i叫作虚数单位a叫作复数的实部，b叫作复数的虚部表示方法：复数通常用字母z表示，即zabi (a，bR)(2)复数集定义：复数的全体组叫作复数集表示：通常用大写字母C表示2复数的分类及包含关系(1)复数(abi
2、，a，bR)(2)集合表示：3两个复数相等abicdi当且仅当ac且bd.4复数的几何意义(1)复数zabi(a，bR)一一,对应,复平面内的点Z(a，b)；(2)复数zabi(a，bR)一一,平面向量(a，b)5复数的模复数zabi(a，bR)对应的向量为，则的模叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，且|z|. 情境导学为解决方程x22，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，例如x21这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x21在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
3、本节我们就来研究这个问题探究点一复数的概念思考1为解决方程x22，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x210在实数系中无根的问题呢？答设想引入新数i，使i是方程x210的根，即ii1，方程x210有解，同时得到一些新数思考2如何理解虚数单位i?答(1)i21.(2)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律(3)由于i20与实数集中a20(aR)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立(4)若i21，那么i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1.思考3什么叫复数？怎样表示一个复数？答形如abi(a，bR)的数叫作复数，复数通常用字母z表示，即zabi，这一表示形式叫作复数的代
4、数形式，其中a、b分别叫作复数z的实部与虚部思考4什么叫虚数？什么叫纯虚数？答对于复数zabi(a，bR)，当b0时叫作虚数；当a0且b0时，叫作纯虚数思考5复数mni的实部、虚部一定是m、n吗？答不一定，只有当mR，nR，则m、n才是该复数的实部、虚部例1请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数23i；3i；i；i；0.解的实部为2，虚部为3，是虚数；的实部为3，虚部为，是虚数；的实部为，虚部为1，是虚数；的实部为，虚部为0，是实数；的实部为0，虚部为，是纯虚数；的实部为0，虚部为0，是实数反思与感悟复数abi中，实数a和b分别叫作复数的实部和虚部特别注意，b为复数的虚部
5、而不是虚部的系数，b连同它的符号叫作复数的虚部跟踪训练1符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由(1)实部为的虚数；(2)虚部为的虚数；(3)虚部为的纯虚数；(4)实部为的纯虚数解(1)存在且有无数个，如i等；(2)存在且不唯一，如1i等；(3)存在且唯一，即i；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.例2 当实数m为何值时，复数z(m22m)i为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解(1)当，即m2时，复数z是实数；(2)当即m0且m2时，复数z是虚数；(3)当，即m3时，复数z是纯虚数反思与感悟利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不
6、等式求参数跟踪训练2实数m为何值时，复数z(m22m3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解(1)要使z是实数，m需满足m22m30，且有意义即m10，解得m3.(2)要使z是虚数，m需满足m22m30，且有意义即m10，解得m1且m3.(3)要使z是纯虚数，m需满足0，m10，且m22m30，解得m0或m2.探究点二两个复数相等思考1两个复数能否比较大小？答如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小思考2两个复数相等的充要条件是什么？答复数abi与cdi相等的充要条件是ac且bd(a，b，c，dR)例3已知x，y均是实数，且满足(2x1)iy(3y)i，求x与y.解由复数相等的充要条
7、件得解得反思与感悟两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数跟踪训练 3已知(x22x3)i(xR)，求x的值解由复数相等的定义得解得：x3，所以x3为所求探究点三复数的几何意义思考1实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答任何一个复数zabi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应关系小结建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数思考2下列命题是否正确？在复平面内，
8、对应于实数的点都在实轴上；在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；答根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2，因此是真命题；根据虚轴的定义，y轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数5i对应点(0,5)，但虚轴上的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z00i0表示的是实数，故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，所以是真命题，是假命题思考3复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？答当向
9、量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系思考4怎样定义复数z的模？它有什么意义？答复数zabi(a，bR)的模就是向量(a，b)的模，记作|z|或|abi|.|z|abi|可以表示点Z(a，b)到原点的距离例4在复平面内，若复数z(m2m2)(m23m2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线yx上，分别求实数m的取值范围解复数z(m2m2)(m23m2)i的实部为m2m2，虚部为m23m2.(1)由题意得m2m20.解得m2或m1.(2)由题意得，1m1.(3)由已知得m2m2m23m2，故m2.反思与感悟按照复数和复平面内所有点所成
10、的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值跟踪训练4已知复数z的虚部为，在复平面内复数z对应的向量的模为2，求复数z.解由已知，设zai(aR)则a2()24.解得a1.所以z1i.1已知复数za2(2b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()A.，1 B.，5C，5 D，1答案C解析令，a，b5.2如果zm(m1)(m21)i为纯虚数，则实数m的值为()A1 B0 C1 D1或1答案B解析由题意知，m0.3在复平面内，复数zi2i2对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三
11、象限 D第四象限答案B解析zi2i22i，实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限4已知复数zai在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|2，则复数z等于()A1i B1iC1i或1i D2i答案A解析因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以ab，则aibiC若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则实数x1D两个虚数不能比较大小答案D解析对于复数abi(a，bR)，当a0且b0时为纯虚数在A中，若a1，则(a1)i不是纯虚数，故A错误；在B中，两个虚数不能比较大小，故B错误；在C中，若x1，不成立，故C错误；D正确3以2i的虚部为实部，以i2i2的实部为虚部的新复数是()A22i
12、 BiC2i D.i答案A解析设所求新复数zabi(a，bR)，由题意知：复数2i的虚部为2；复数i2i2i2(1)2i的实部为2，则所求的z22i.故选A.4若(xy)ix1(x，yR)，则2xy的值为()A. B2 C0 D1答案D解析由复数相等的充要条件知，解得xy0.2xy201.5设mR，m2m2(m21)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m_.答案2解析m2.6已知(2xy1)(y2)i0，求实数x，y的值解(2xy1)(y2)i0，解得所以实数x，y的值分别为，2.二、能力提升7若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则实数x的值是()A1 B1C1 D1或2答案A解析由题意，得解得
13、x1.8z134i，z2(n23m1)(n2m6)i，且z1z2，则实数m_，n_.答案22解析由z1z2得，解得.9.已知集合M1,2，(a23a1)(a25a6)i，N1,3，若MN3，则实数a_.答案1解析由MN3知，3M，即有(a23a1)(a25a6)i3，所以解得a1.10实数m分别为何值时，复数z(m23m18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解(1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z为实数，则，解得m6.所以当m6时，z为实数(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.故若使z为虚数，则m23m180，且m30，所以当m6且m3时，z为虚数(3)要使所
14、给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.故若使z为纯虚数，则，解得m或m1.所以当m或m1时，z为纯虚数11.设z1m21(m2m2)i，z24m2(m25m4)i，若z1z2，求实数m的取值范围解由于z1z2，mR，z1R且z2R，当z1R时，m2m20，m1或m2.当z2R时，m25m40，m1或m4，当m1时，z12，z26，满足z1z2.z1z2时，实数m的取值为m1.三、探究与拓展12已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120且复数z的模为2，求复数z.解根据题意可画图形如图所示：设点Z的坐标为(a，b)，|z|2，xOZ120，a1，b，即点Z的坐标为(1，)，z1i.
