1、Matlab笔记层次分析法、概述层次分析法（ Analytic Hierarchy Process, AHD ）是将要决策 的问题及其有关因素分解成目标、准则、方案等层次，进而进行定性 和定量分析的决策方法。 它的特征是合理地将定性与定量决策结合起 来，按照思维、心理的规律把决策过程细致化（层次化、数量化） 。层次分析法广泛地应用到处理复杂的决策问题，而决策是基于 该方法计算出的权重，所以也常用来确定指标的权重。层次分析法的基本思路与人们对一个决策问题的思维、判断过 程大体上是一样的。例如，选购一台笔记本电脑，假设有三种不同品 牌款式的笔记本电脑 A B、C供选择。我们一般会根据价格、外观、重
2、量、用途、功耗、品牌等一些准则去反复比较这个三个候选。 首先， 会确定这些准则在自己心目中各占多大比重， 不同的人这种比重会有 很大差异（喜欢玩游戏的人看重硬件性能和散热、 预算有限的人看重 价格等）。其次，还会就每一个准则将 A B C进行对比，比如A最便宜，B次之；C性能最好，B次之；C的品牌最知名等。最后，将这 两个层次的比较判断进行综合，在 A B C中确定一台作为最符合自己需求的电脑。二、算法步骤1.将问题条理化、层次化，建立层次结构模型1）最高层（目标层）只有一个元素：决策目标；2）中间层（准则层）考虑的因素，决策的准则、子准则；3）最底层（方案层）决策时的备选方案、措施。层次分析
3、法要解决的问题是，求出最底层对最高层的相对权重，以此对最底层的方案、措施进行排序，选择最优方案。注 1 ：为了避免两两比较判断过于复杂，每层次中各元素所支配 的元素一般不要超过 9 个，否则应划分为若干子层；注 2 ：层次分析法只考虑相邻两个层次间自上向下的支配作用， 认为同一层次的元素间相互独立， 若考虑进来需要网络分析法 （ANP）。例如前文提到的选购笔记本电脑的决策模型， 可以建立如下的层 次结构：2.构造判断矩阵（成对比较矩阵）构造好层次模型后，针对某一层来讲，在比较第 i 个元素与第 j个元素相对于上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重aij 来表示，假设共有 n 个元素参与
4、比较，则矩阵称为判断矩阵（或成对比较矩阵）Saaty 根据绝大多数人认知事物的心理习惯， 建议用 19 及其倒数作为标度来确定 aij 的值。其中， 2, 4, 6, 8 分别介于 1, 3, 5, 7, 9 对应的重要程度之间。显然，A中的元素满足:i) aij 0; ii) aji = 1/ aij ; iii) aii =1称为正互反矩阵。例如，选购笔记本电脑模型中， 可以根据实际三台电脑的重量得 到电脑对准则层 B3 的判断矩阵（ aij 可以取笔记本电脑 j 与 i 的重量 之比，重量越轻越好） ：1 1/3 1/5AB3 C3 1 3/55 5/3 13.层次单排序及判断矩阵的一致
5、性检验通常用特征根法从判断矩阵导出，单一准则下元素相对排序权 重。定义若n阶正互反矩阵（aij ）nxn满足aikQj = q （对应aj =w/w,故需要 akakj =(w/w)/( wk/w) = aj ),则称(ajnxn 为一致性矩阵。特征根法的基本思想是，当正互反矩阵（aij）nx n为一致性矩阵时,对应于判断矩阵的最大特征根 入max的特征向量，经归一化后（使向量 中各元素之和等于1）即为排序权向量，记为 w w的元素为同一层次因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值， 这一过程称为层 次单排序。能否进行层次单排序， 就看判断矩阵是否为一致性矩阵， 有如下 定理：定理n阶正互反
6、矩阵A为一致性矩阵的充要条件是，A的最大特 征值入max = n.在实际操作中，由于客观事物的复杂性以及人们对事物判断比较时的模糊性，很难构造出完全一致的判断矩阵。因此， Satty在构造层次分析法时，提出了一致性检验，所谓一致性检验是指判断矩阵允 许有一定不一致的范围。致性检验步骤如下：1）计算判断矩阵A的最大特征值 入max；2)求出一致性指标(Consistencey Index ):.=0表示完全一致，.越大越不一致;3）用随机模拟取平均的方法，求相应的平均随机一致性指标或者直接用Satty模拟1000次得到的.表:4）计算一致性比率:5）判断，当.，应 考虑修正判断矩阵A.4.计算各
7、元素对目标层的合成权重（层次总排序）为了实现层次分析法的最终目的，需要从上而下逐层进行各层元 素对目标合成权重的计算。设已计算出第k-1层nk-1个元素相对于目标的合成权重为:(k 1) , k 1 k 1 . k 1、 Tw (W1 ,W2 丄，Wnk1)再设第k层的nk个元素关于第k-1层第j个元素(j=1,nk-1 )的 单一准则排序权重向量为：k (k) (k) (k) Tuj (u1j ,u2j ,L ,unk j)上式对k层的nk个元素是完全的，若某些元素不受k-1层第j个元素w(k) U(k)w(k 1)按递归展开得w(k) U(k)U(k1)L U (3) w(2)写成分量形式
8、为nk 1(k) (k) (k 1)wi(k) ui(jk)w(jk 1) , i 1,L ,nkj1各层元素对目标层的合成排序权重向量是否可以满意接受， 与单 一准则下的排序问题一样，需要进行综合一致性检验:当.(k) 时，则认为层次结构在第 k层以上的判断具有整体满意的一致性。注:实际应用中，整体一致性检验常不予进行。主要原因是，整 体考虑十分困难； 其次若每个单一准则下的判断矩阵具有满意的一致 性，而整体达不到满意的一致性时，调整起来非常困难。另外，整体致性的背景也不如单一准则下的背景清晰，它的必要性有待进 研究。三、Matlab实现实现层次分析法的Matlab函数:fun ctio n
9、 W,ah pResult = ahp(C)沁次分析法%(为nx 1的元胞数组，存储整个层次模型结构：第2层对第1层、第3层对第2 层、第n+1层对第n层%假设第k层有m_个元素，从左到右依次编号1,.,m_k%Ck也是元胞数组,k=1,.,n%Ck1,j存储受第j元素支配的第k+1层各元素的判断矩阵(j=1,2,.,m_k%Ck2,j存储第k+1层各元素是否受第k层第j元素支配的(m_k+1 *1的 逻辑数组,1表示支配,0表示不受支配%返回方案层对目标层的最终权重向量%ahpResult为nX 1的元胞数组,存储层次分析过程各层的结果信息, ahpResultk也是元胞数组%ahpResu
10、ltk1,j 返回第k+1层所有元素相对第k层j元素的权重向量,第k+1层元素不受第k层j元素支配的权重为0返回第k+l层所有元素相对于第k层第j元素的判断矩%ah pResultk2,j阵的最大特征值返回第k+l层所有元素相对于第k层第j元素的判断矩%ah pResultk3,j阵的一致性比率.%平均随机一致性指标%得到C的长度n,于是知道模型总层数为n+1%存储各层结果信息RI=0 0 ;n = len gth(C);ahp Result = cell( n,1);for k = 1:nm_k = size(Ck,2); % k层的元素个数ahp Resultk = cell(m_k,1)
11、;for kk = 1:m_k%求第k+1层各元素对第k层kk元素的成对比较矩阵的特征值和特征向量V,D = eig(Ck1,kk);maxD,i nd = max(diag(D); %求最大特征值和其位置%为存储第k+1层所有元素相对k层kk元素的权重预留出空间，长度应等于 Ck2,kk的长度ahp Resultk1,kk = zeros(le ngth(Ck2,kk),1);%将相应正互反矩阵属于最大特征值的特征向量归一化后赋给ah pResultk1,kk中相应位置% 这些位置由逻辑数组Ck2,kk决定ahp Resultk1,kk(Ck2,kk) = V(:,i nd)/sum(V(:
12、,i nd);ahpResultk2,kk = maxD; % Ck1,kk正互反矩阵的最大特征值nn = size(Ck1,kk,1); % Ck1,kk的阶数ahp Resultk3,kk = (maxD-nn)/(nn-1)/RI( nn); % 相应的一致性比 率.endendW = ahp Result11,1;for k = 2:n% cat(2,ahpResultk1,:) 把k+1层所有元素相对k层各个元素的权重向量横向排在一起生成权重矩阵UA(k)W = cat(2,ah pResultk1,:)*W;end用该函数实现层次分析法的关键是，把整个层次结构存入嵌套元 胞数组C中
13、（见程序注释）：Ck存储第k+1层与第k层的结构（k=1,n）；设第k层有m个元素，其中第j元素与第k+1层的结构关系存储 到Ck,j中（j=1,，m）,需要存储的信息有:受第j元素支配的第k+1层各元素的判断矩阵有三种用途：奖金、集体福利措施、引进技术设备。考察准则也有三 个：是否能调动职工的积极性、是否有利于提高技术水平、考虑改善 职工生活条件。建立如下层次模型:经过工厂决策人员讨论，得到如下判断矩阵:1.第2层对第1层三个元素G, C2, C3都受A支配，判断矩阵C11,1为相应的逻辑数组 C12,1为true truetrue.2.第3层对第2层（1）第3层对第2层第1个元素G受C支配
14、的只有两个元素R和P2,判断矩阵C21,1相应的逻辑数组 C22,1为true truefalse.第3层对第2层第2个元素G受G支配的只有两个元素 R和P3,判断矩阵C21,2相应的逻辑数组 C22,2为false true true.第3层对第2层第3个元素G受G支配的只有两个元素P1和P2,判断矩阵C21,3相应的逻辑数组 C22,3为true truefalse.3.有了上面的分析，层次模型的元胞数组表示 C已经确定，调用函数即可%第 2层（C层）关于第1层（目C21,2 = 1 1/5;5 1;C22,2 = false true true;C21,3 = 1 2;1/2 1;C22
15、,3 = true truefalse;3层（P层）关于第2层第2元素C2的判断矩阵 应的逻辑数组3层（P层）关于第2层第3元素C3的判断矩阵 应的逻辑数组W,ah pResult=ah p(C); %调用 ahp 求解W %俞出总排序的权重向量运行结果:W就是方案层各个方案所占的比重， 可见引进技术设备所占比重最大，改善员工福利次之。体现在奖金分配上，即用全部留成利润的%引进技术设备，9改善员工福利，发奖金。例2假设某人在制定食谱时有三类食品可选：肉、面包、蔬菜。这三类食品所含营养成分及单价如下表所示:假设该人体重为55kg,每天对各类营养的最小需求为维生素A 7500IU热量Q问题是：应如
16、何制定食谱使得在保证营养的前提下支出最小?单纯考虑问题条件，容易建立如下的线性规划模型：设选择肉Xl,面包X2,蔬菜X3,则有用Matlab求解线性规划问题的函数linprog, 可以求出最优解:运行结果:fval=求解出的结果是，每天不吃肉，吃面包，蔬菜，最低支出为元。但实 际考虑的话，这个方案是难以让人接受的，只考虑了营养够、价格低, 没有考虑到营养均衡（需要吃一定量的肉）。为此，我们先用层次分析法确定每天需要肉、 面包、蔬菜的比重, 再重新线性规划。建立如下的层次模型:注意：由于第2层支出因素D直接支配第4层，需要在第3层补 上一个因素“补项B”（仍当作“支出”看待），它只受D支配，并且
17、 支配D的每个支配因素（第4层的肉Me,面包Br,蔬菜Ve）。有了上面的层次结构，再根据偏好建立判断矩阵（当然偏好因人 而异）：1.第2层对第1层判断矩阵:逻辑数组：C12,1=true true.2.第3层对第2层(1) 第 3 层对第 2 层第 1元素 D1判断矩阵：111/ 21C 2 1,1 11/ 2逻辑数组： C22,1=true truetrue false.(2)第 3 层对第 2 层第 2元素 D2判断矩阵： C21,2=1逻辑数组： C22,2=false falsefalseture.3.第 4 层对第 3 层(1) 第 4 层对第 3 层第 1元素 A判断矩阵(用数据直
18、接做比得到) ：逻辑数组： C32,1=true true true.(2) 第 4 层对第 3 层第 2元素 B2判断矩阵(用数据直接做比得到) ：逻辑数组： C32,2=true true true.(3)第 4 层对第 3 层第 3元素 Q判断矩阵(用数据直接做比得到) ：逻辑数组：C32,3=true true true.第4层对第3层第4元素B逻辑数组：C32,4=true true true.用函数即可C = cell(3,1);C11,1 = 1 1/3;3 1;C12,1 = true(2,1);C21,1 = 1 1 2;1 1 2; 1/2 1/2 1;C22,1=true
19、 truetrue false; C21,2=1;C22,2 = false,false,false,true;C31,1 = 1,25;,1,25;25/,25/,1 ;C3 2,1=true(3,1);C3 1,2 = 1,;,1,;,1 ;C3 2,2=true(3,1);C31,3 = 1,;,1,;,1 ;C3 2,3=true(3,1);C3 1,4 = 1,;,1,;,1 ;C3 2,4=true(3,1);W,ah pResult=ah p(C);W运行结果:该结果表明，按这个人的情况，肉、面包、蔬菜的比例取 ，比较合适。引入参变量k,令xi= X2=, x3=,将其代入前文的
20、线性规划模型，得到min f 0.0116ks.t. 13.4116k 7500用linprog 求解:f =;A =-;b = -7500;W = = optimset( LargeScale , off , Simplex ，on);k,fval,flag = linp rog(f,A,b,0, in f,o ptio ns)X = k*W运行结果:k = +03 fval =flag = 1故k=, X1=, X2=, X3=. 每天食品支出元。注:对于不同的人可以有不同的判断矩阵 C11,1, 即营养与 支出的相对重要程度，例如，修改为1 1/3; 3 1,可以得到X1=, X2=,X3=.每天食品支出元。主要参考文献：吴鹏，Matlab高效编程技巧与应用：25个案例分析 第 11 章。
