1、配套K12数学选修21北师大版第一章 常用逻辑用语 1 命题一1命题(一)学习目标1.理解命题的概念.2.能判断命题的真假.3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式.4.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题知识点一命题的概念及分类思考下列语句有什么共同特征？(1)空集是任何集合的子集(2)单位向量的模为1.(3)垂直于同一条直线的两条直线平行答案共同特征是：都是陈述句，都可以判断真假梳理(1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”我们学习过的定理、推论都
2、是命题(3)分类命题知识点二命题的结构(1)命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式知识点三四种命题四种命题的定义如下表所示名称阐释互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫作互逆命题其中一个命题叫作原命题，另一个叫作原命题的逆命题互否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫作互否命题如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的否命题互为逆否命题对于两个命题，其中一个命
3、题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫作互为逆否命题如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆否命题1命题均能判断其真假()2我们所学习过的定理均为命题()3命题：若函数f(x)为区间D上的奇函数，则f(0)0，为真命题()4命题：若sinAsinB，则AB，其逆命题为真命题()类型一命题的概念及真假判断命题角度1命题的概念例1判断下列语句是不是命题，并说明理由(1)是有理数；(2)3x25；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)若xR，则x24x50；(5)一个数的算术平方根一定是负数；(6)若a与b是无理数，则ab是无理数考点命题的定义及分
4、类题点命题的定义解(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题(2)因为无法判断“3x25”的真假，所以它不是命题(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题(4)“若xR，则x24x50”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题(5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题(6)“若a与b是无理数，则ab是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题反思与感悟判断一个语句是不是命题的三个关键点(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题(3)对于含有变
5、量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题跟踪训练1下列语句是命题的是()三角形内角和等于180；23；一个数不是正数就是负数；x2；这座山真险啊！A BC D考点命题的定义及分类题点命题的定义答案A解析依据命题定义，得为命题命题角度2命题真假的判断例2给定下列命题：若ab，则2a2b；命题“若a，b是无理数，则ab是无理数”是真命题；直线x是函数ysinx的一条对称轴；在ABC中，若0，则ABC是钝角三角形其中为真命题的是_考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案解析结合函数f(x)2x的单调性，知为真命题；而函数ysinx的对称轴方程为xk，kZ，故
6、为真命题；又因为|cos(B)|cosB0，故得cosB0，从而得B为钝角，所以为真命题；中，若a，b，则ab0，是有理数，故是假命题引申探究1本例中命题变为：若0，则ABC是锐角三角形，该命题还是真命题吗？解不是真命题，0只能说明B是锐角，其他两角的情况不确定只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形2本例中命题改为：若0，则ABC是_三角形答案直角解析由0，得B90，故该三角形为直角三角形反思与感悟一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可跟踪训练2(1)下列命题中假命题的个数为()多边形的外角和与
7、边数有关；如果数量积ab0，那么向量a0或b0；二次方程a2x22x10有两个不相等的实根；函数f(x)在区间a，b内有零点，则f(a)f(b)0，故正确，而都错误，均可举出反例(2)下列命题中为真命题的是()A若lnx1，则xeB若向量a，b，c满足ab，bc，则acC已知数列an满足an12an0，则该数列为等比数列D在ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若满足acosBbcosA，则该三角形为等腰三角形考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案D解析对于A，需满足x0；对于B，若b0，其结论不成立；对于C，若an0，则结论不成立类型二命题的结构形式例3将下列命题写成“若p，则
8、q”的形式(1)末位数是0或5的整数，能被5整除；(2)方程x2x10有两个实数根考点命题的结构形式题点改写成标准的若p则q形式解(1)若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除(2)若一个方程是x2x10，则它有两个实数根反思与感悟将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则跟踪训练3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假(1)正n边形(n3)的n个内角全相等；(2)负数的立方是负数；(3)已知x，y为正整数，当yx5时，y3，x2.考点命题的结构形式题点改写成标准的若p则q形式解(1)若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等，是真命题(2)若一个数是负数，则这
9、个数的立方是负数，是真命题(3)已知x，y为正整数，若yx5，则y3，x2，是假命题类型三四种命题的概念及真假判断命题角度1四种命题的概念例4(1)命题“两对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的()A逆命题B否命题C逆否命题D等价命题答案A(2)写出命题“若抛物线yax2bxc的图像开口向下，则集合x|ax2bxc0”的逆命题、否命题、逆否命题考点四种命题的概念题点四种命题定义的应用解逆命题：若集合x|ax2bxc0，则抛物线yax2bxc的图像开口向下否命题：若抛物线yax2bxc的图像开口向上，则集合x|ax2bxc0.逆否命题：若集合x|ax2bxc0，则抛物
10、线yax2bxc的图像开口向上反思与感悟四种命题的转换方法(1)逆命题：交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题(2)否命题：同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题(3)逆否命题：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题跟踪训练4写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形考点四种命题的概念题点四种命题定义的应用解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数(2)逆命题：若两个三角形全等
11、，则这两个三角形等底等高否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高命题角度2四种命题的真假判断例5写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假(1)若ab，则ac2bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形考点四种命题的概念题点判断四种命题的真假解(1)逆命题：若ac2bc2，则ab.真命题否命题：若ab，则ac2bc2.真命题逆否命题：若ac2bc2，则ab.假命题(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补真命题否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形真命题逆
12、否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补真命题反思与感悟若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题互为逆否命题的两个命题的真假性相同在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4.跟踪训练5已知命题“若2m1x3m2，则1x3”的逆命题为真命题，则m的取值范围是_考点四种命题的概念题点判断四种命题的真假答案解析其逆命题为若1x3，则2m1x3m2.该命题为真命题，需满足解得m1，故m的取值范围为.1下列语句为命题的是()A2x50 B求证对顶角相等C0不是偶数 D
13、今天心情真好啊考点命题的定义及分类题点命题的定义答案C解析结合命题的定义知C为命题2下列说法中错误的是()A命题“a，b，c中至少有一个等于0”的否命题是“a，b，c中没有一个等于0”B命题“若x1，则x210”的否命题是“若x1，则x210”C命题“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”D命题“若x4，则x是方程x23x40的根”的否命题是“若x14，则x不是方程x23x40的根”考点四种命题的概念题点按要求写命题答案B解析由否命题的定义知B是错误的3命题“若ab，则ab2017且ab”的逆否命题是()A若ab2017且ab，则abB若ab2017且ab，则abC若ab
14、2017或ab，则abD若ab2017或ab，则ab考点四种命题的概念题点按要求写命题答案C解析将原命题的条件与结论互换的同时，对条件和结论进行否定即得逆否命题“若ab，则ab2 017且ab”的逆否命题为“若ab2 017或ab，则ab”故选C.4命题“函数ylog2(x2mx4)的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为_考点命题的定义及分类题点由命题的真假求参数的取值范围答案(，44，)解析由题意可知，满足条件时，需方程x2mx40的判别式0，即(m)2440，解得m4或m4.5命题：3mx2mx10恒成立是真命题，求实数m的取值范围考点命题的定义及分类题点由命题的真假求参数的取值范围解
15、“3mx2mx10恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论当m0时，10恒成立，所以m0满足题意；当m0，且m212m0，即0m0恒成立，所以0mb，则acbcC若MNM，则NMD若MN，则MNM考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案D解析A中，a0，b0时，a2b20不成立；B中，c0时不成立；C中，MNM说明MN.故A，B，C均错误5已知a，b为两条不同的直线，为两个不同的平面，且a，b，则下列命题中的假命题是()A若ab，则 B若，则abC若a，b相交，则，相交 D若，相交，则a，b相交考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案D解析D中如果，相交，a和b可以相交，也可以异面6对任意平面向量
16、a，b，下列关系式中不恒成立的是()A|ab|a|b| B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2 D(ab)(ab)a2b2考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案B解析设向量a，b的夹角为，因为ab|a|b|cos，所以|ab|a|b|cos|a|b|，A成立；由向量的运算律易知C，D成立故选B.7设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，则；若m，n，则mn；若，则.其中为真命题的是()ABCD考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案D解析结合线面、面面位置关系易知为真命题8对于原命题“正弦函数不是分段函数”，下列说法正确的是()A否命题是“正弦函
17、数是分段函数”B逆否命题是“分段函数不是正弦函数”C逆否命题是“分段函数是正弦函数”D以上都不正确考点四种命题题点四种命题的判断答案B解析否命题为“不是正弦函数的函数是分段函数”，所以A错误；B正确；C不正确，故选B.二、填空题9有下列命题：22340能被5整除；不存在xR，使得x2x10；对任意的实数x，均有x1x；方程x22x30有两个不等的实根其中假命题有_(填序号)考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案解析易知为真命题，中4120，方程x22x30无实根，因而为假命题10命题“当a0，a1时，若函数f(x)logax在其定义域内是减函数，则loga20”的逆否命题是_.考点四种命题的
18、概念题点按要求写命题答案当a0，a1时，若loga20，则函数f(x)logax在其定义域内不是减函数11已知p：关于x的不等式x22ax40对一切xR恒成立，q：函数f(x)(52a)x是减函数，若p，q中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是_考点命题的真假判断题点由命题的真假求参数的取值范围答案(，2解析p为真命题时，4a2160，解得2a2.q为真命题时，52a1，解得a2.当p真q假时， a.当p假q真时，即a2.故实数a的取值范围为(，2三、解答题12把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假(1)当acbc时，ab；(2)当m时，mx2x10无实根；(3)当ab0
19、时，a0或b0.考点命题的结构形式题点改写成标准的若p则q形式，并判断命题的真假解(1)若acbc，则ab.acbc，c0时，a，则mx2x10无实根14m0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是()Aa0或a3 Ba0或a3Ca3 D0a0恒成立”是真命题，当a0时，30符合题意，当a0时，则a0且0，解得0a3，综上可知，当0a0恒成立”是真命题，故当a0恒成立”是假命题15写出命题“当2m10时，如果0，那么m25m60”的逆命题、否命题和逆否命题，并分别指出四种命题的真假考点四种命题的概念题点判断四种命题的真假解由2m10，得m.由0，得m3或m，又m，所以m.由m25m60，得2m3
20、，又m，所以2m3.由此可知，原命题可变为“如果m，那么2m3”，显然原命题是假命题逆命题为“当2m10时，如果m25m60，那么0”，即“如果2m3，那么m”，它是真命题否命题为“当2m10时，如果0，那么m25m60”，因为所以所以m，由得即m2或m3，所以否命题可表述为“如果m，那么m2或m3”，它是真命题逆否命题为“当2m10时，如果m25m60，那么0”，则逆否命题可表述为“如果m2或m3，那么m”，它是假命题予少家汉东，汉东僻陋无学者，吾家又贫无藏书。州南有大姓李氏者，其于尧辅颇好学。予为儿童时，多游其家，见有弊筐贮故书在壁间，发而视之，得唐昌黎先生文集六卷，脱落颠倒无次序，因乞李氏以归。读之，见其言深厚而雄博，然予犹少，未能悉究其义徒见其浩然无涯，若可爱。 是时天下学者杨、刘之作，号为时文，能者取科第，擅名声，以夸荣当世，未尝有道韩文者。予亦方举进士，以礼部诗赋为事。年十有七试于州，为有司所黜。因取所藏韩氏之文复阅之，则喟然叹曰：学者当至于是而止尔！因怪时人之不道，而顾己亦未暇学，徒时时独念于予心，以谓方从进士干禄以养亲，苟得禄矣，当尽力于斯文，以偿其素志。
