1、沪教版五四学制八年级数学下册教案223 特殊的平特殊的平行四边形教学目标1.掌握矩形、菱形和正方形的性质定理和判定定理。2.理解正方形与菱形和矩形的关系，能用正方形的性质定理与判定定理判定正方形。难点内容：根据矩形、菱形、正方形的性质求解一些相关图形问题。特殊的平行四边形知识精要一、特殊的平行四边形 1、 矩形：有一个内角是直角的平行四边形。2、 菱形：有一组邻边相等的平行四边形。3、 正方形：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形。二、性质定理图形性质定理判定定理矩形1、 四个角都是直角；2、 两条对角线相等。1、 有三个内角是直角的四边形。2、 对角线相等的平行四边形。菱形1、 四
2、条边都相等；2、 对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角。1、 四条边都相等的四边形。2、 对角线互相垂直的平行四边形。正方形1、 四个角都是直角，四条边都相等；2、 对角线相等，且互相垂直，每条对角线平分一组内角。1、 一组邻边相等的矩形；2、 有一个内角是直角的菱形。热身练习1、已知菱形ABCD的周长为20cm，A：ABC1：2，则BD= 6 cm.2、已知菱形的一条对角线的长为12cm，面积是30cm2，则这个菱形的另一条对角线的长为 5 cm.3、正方形的对称轴有4条。4、正方形的对角线与一边的夹角为 45。5、如图在中，点D、E、F分别在边、上，且，下列四种说法： 四边形是平行四边形
3、； 如果，那么四边形是矩形；如果平分，那么四边形是菱形；如果且，那么四边形是菱形.其中，正确的有 .（只填写序号）答案：6、如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为 .7、菱形ABCD，若A:B2：1，CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（ D ）A相等 B互相垂直且不平分 C互相平分且不垂直 D垂直且平分8、已知菱形的周长为40cm，两对角线的长度之比为3：4，则两对角线的长分别为( C )A6cm，8cm B3cm，4cm C12cm，16cm D24cm，32cm9、如图，矩形的周长为，两条对角线相交于点，过点作的垂线，分别
4、交于点，连结，则的周长为（ D ）A5cm B8cm C9cm D10cm10、已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为 ( B )A.45，135 B.60，120 C.90，90 D.30，15011、正方形具有而菱形没有的性质是（ C ）A对角线互相平分 B每条对角线平分一组对角 C对角线相等 D对边相等12、如图，四边形为矩形纸片把纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕为若，则等于（A）A B C D 13、已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE=CF，求证：AE=AF证明：只要证14、已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，
5、AE = AF（1）求证：BE = DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论CB答案：证明：（1）四边形ABCD是正方形， ABAD,B = D = 90AE = AF， BEDF （2）四边形AEMF是菱形 四边形ABCD是正方形，BCA = DCA = 45，BC = DC BEDF，BCBE = DCDF. 即 OM = OA， 四边形AEMF是平行四边形AE = AF，平行四边形AEMF是菱形 15、已知，如图RtABC中，ACB90，CD为ACB的平分线，DEBC于点E，DFAC于点F，求证：
6、四边形CEDF是正方形。 证明：因为ACB90，DEBC，DFAC所以四边形CEDF是矩形 因为CD为ACB的平分线 所以三角形CDE是等腰三角形，所以CE=DE 所以四边形CEDF是正方形 （一组邻边相等的矩形是正方形）精解名题例1、如图，已知锐角ABC中，以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结CE、BG，交点为O，求证：(1) ECBG；(2) ECBG解析 易证EACBAG，可得ECBG，AECABG，于是可证EOBEAB证明： (1)在正方形ABDE和正方形ACFG中，AEAB，ACAG，EABGAC90，EABBACGACBAC即EACBAG，EACBAG ECB
7、G(2)由(1)知：EACBAG， AECABG又12， ABG2AEC190EOBEAB90 ECBG（若把BAC为锐角改为钝角，其余条件不变，上述两结论仍能成吗？如果成立试证明之）例2、如图，已知P点是正方形ABCD对角线BD上一点，PEDC，PFBC，E，F分别是垂足，求证：APEF证明：连结AC交BD于O，连结PC在正方形ABCD中，BDAC，BD平分ACPAPC 又PECD，PFBC，DCB90 四边形PFCE是矩形 EFPC PAEF例3、将两块全等的含30角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1(1)四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：是，两对边平行的四边形为平
8、行四边形(2)如图2，将RtBCD沿射线BD方向平移到RtB1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：是，由，且，得到（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）(3)在RtBCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为_时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是：平行四边形有一内角为；当点B的移动距离为_1_时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是：平行四边形内有一组相邻的边相等(图3、图4用于探究)例4、探究问题：方法感悟： 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足EAF=45，连接EF，求证DE+BF=EF感悟解题方法，并完成下列填空
9、：将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, 1=2，ABG=D=90,ABG+ABF=90+90=180，因此，点G，B，F在同一条直线上EAF=45 2+3=BAD-EAF=90-45=451=2， 1+3=45 即GAF=_EAF_又AG=AE，AF=AF GAF_GF_=EF，故DE+BF=EF 方法迁移： 如图，将沿斜边翻折得到ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且EAF=DAB试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想证：延长直线FB,使得BG=DE,将RtABC沿斜边翻折得到ADC，点E，F分别为DC，BC边
10、上的点.AB=AD，ABG=ADE，BG=DEAGBAED，AG=AE，AF=AF，BAG= DAE又EAF= 12DABGAF=FAE，AGFAEF，GF=EF，DE+BF=EF；问题拓展：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当B与D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF请直接写出你的猜想（不必说明理由）当B+D=180 0巩固练习一、填空题1. 如图，矩形的周长为24cm，一边中点与对边两顶点连线成直角，则矩形的两邻边分别为 4 cm和 8 cm。2、菱形的周长为12 cm，相邻两角之比为51,那么菱形对边间的距离是1.5 cm 。3、菱形的两邻
11、角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为_4、如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，P是边AD上的动点，PEAC于点E，PFBD于点F，则PEPF的值为：_。5、正方形ABCD中，对角线BD长为16cm，P是AB上任意一点，则点P到AC、BD的距离之和等于 8 cm6、如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH3厘米，EF4厘米，则边AD的长是_5_厘米.7、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= 2、选择题1、已知菱形ABCD的周长为40cm，BD=AC，则菱
12、形的面积为（ A ）A96cm2 B94cm2 C92cm2 D90cm22、如下图，四边形ABCD为正方形，BPC为等边三角形，连接PD、BD，则BDP=（ C ） A15 B25 C30 D35 (2题图) （3题图） （4题图）3、 如上图，四边形ABCD为矩形纸片把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF， 若CD6，则AF等于 （A ）A B C D84、如图，正方形的面积为1，是的中点，则图中阴影部分的面积是（ B ）A B C D 5、如图，矩形ABCD中，AB20，AD30，E、F三等分AC，则ABE的面积是( B )A60 B100 C150 D200 （
13、5题图） （6题图） （7题图）6、如右图，在菱形ABCD中，AEBC于点E，AFCD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则EAF等于（ B ） A.75 B.60 C.45 D.307、如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AEBFCGDH5，则四边形EFGH的面积是( B )A30 B34 C36 D40三、解答题1、已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DEAB，AE=2，求：（1）ABC的度数； （2）对角线AC、BD的长； （3）菱形ABCD的面积。解：（1）120度；（2）AC= ，BD= 4 （3）2、如图，在ABCD中，两对角线AC、BD交于点O，EF过点O
14、且垂直于AC并交AB于点E，交CD于点F，求证：四边形AECF是菱形。提示：证COFAOE 3、如图，已知E为正方形ABCD的边BC的中点，EFAE，CF平分DCG，求证：AEEF解析：可取AB中点M，连结ME，证AMEECF证明：取AB中点M，连结ME在正方形ABCD中，ABBC，BDCB90又E为BC中点，GAMBMBEECBME45AME135又CF平分DCGECF135AMEECF又AEEF，FECAEB90又BAEAEB90FECBAEAMEECFAEEF4、如图，在ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的角平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F
15、当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？ 并证明你的结论答案：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形CE平分，OCE=ECB又MNBC，OEC=ECBOCE=OEC同理，AO=CO，四边形AECF是平行四边形. 又CE、CF分别平分ACB和ACP， 四边形AECF是矩形自我测试一、填空题1、如图，矩形ABCD的对角线相交于O点，AEBD，垂足为E，若DAE4BAE，则EAC 542、已知菱形一个内角为，且平分这个内角的一条对角线长为8cm，则这个菱形的周长为 32cm .3、 已知菱形的面积等于80cm2，高等于8cm，则菱形的周长为 40 cm .4、菱形的边长是2 cm，一条对角
16、线的长是2 cm，则另一条对角线的长是 2cm 5、如图，正方形的对角线相交于O，BAC的的平分线交BD于E，若正方形的周长是20cm，则DE 5cm （5题图）6、如图,E是正方形ABCD内一点,如果ABE为等边三角形,那么DCE= _15度_。二、选择题1、下列命题中，真命题是（ B ）A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形；D.对角线相等的四边形是菱形2、正方形具有而矩形不一定具有的特征是( C )A四个角都是直角 B对角线互相平分 C对角线互相垂直 D对角线相等3、具备下列条件的四边形，不能断定四边形是矩形的是
17、( D )A三个角都是直角 B四个角都相等C对角线相等的平行四边形 D对角线垂直且相等4、矩形的各角平分线若相交围成的四边形是（ D ）A平行四边形 B菱形 C矩形 D正方形5、如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C的坐标是（3，4）则顶点A、B的坐标分别是 （ D ）A. （4，0）（7，4） B. （4，0）（8，4） C. （5，0）（7，4） D. （5，0）（8，4）6、菱形的周长为4，一个内角为60，则较短的对角线长为（ C ）A2 B C1 D27、如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分DAC,则下列结论:（1）E=22.50. (2) AFC=112.5
18、0. (3) ACE=1350（4）AC=CE(5) ADCE=1：. 其中正确的有（ A ） A 5个 B 4个 C 3个 D 2个 三、解答题1、如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积解：（1）四边形OCED是菱形DEAC，CEBD，四边形OCED是平行四边形，又 在矩形ABCD中，OC=OD，四边形OCED是菱形 （2）连结OE由菱形OCED得：CDOE， OEBC 又 CEBD 四边形BCEO是平行四边形OE=BC=8 S四边形OCED=2、 如下图，在正方形ABCD中，G为
19、BC边上任意一点(与点B、C不重合)，AEDG于点E，CFAE交DG与点F。求证：AE=FC+EF证明：在正方形ABCD中ADBC,ADE=DGC 在DGC中DGC+GDC=90又GDC+DCF=90 DGC=DCFADE =DCF 另AD=DC RTAEDDFC AE=DF，DE=FC AE=FC+EF3、如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMBE，垂足为M，AM交BD于点F(1)求证：OE=OF；(2)如图2，若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立，请给出证明
20、；如果不成立，请说明理由答案：(1)证明：四边形ABCD是正方形 BOE=AOF90OBOA 又AMBE，MEA+MAE90=AFO+MAEMEAAFO RtBOE RtAOF OE=OF (2)OEOF成立 证明：四边形ABCD是正方形， BOE=AOF90OBOA 又AMBE，F+MBF90=B+OBE 又MBFOBE FE RtBOE RtAOF OE=OF 4、如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PEPB.（）求证： PEPD ； PEPD；（）设APx, PBE的面积为y. 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； 当x
21、取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.证：四边形ABCD是正方形，AC为对角线，BC=DC，BCP=DCP=45PC=PC， PBCPDC（SAS）PB=PD，PBC=PDC 又PB=PE， PE=PD（i）当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，PB=PE， PBE=PEB， PEB=PDC， 而PEB+PEC=180， PDC+PEC=180，DPE=360-（BCD+PDC+PEC）=90， PEPD（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PEPD（iii）当点E在BC的延长线上时PEC=PDC，1=2， DPE=DCE=90， PEPD综合（i）（ii）（iii），PEPD；（2）过点P作PFBC，垂足为F，则BF=FEAP=x，AC= ，ACB=45，PFBC，PC= 2 -x，PF=FC= ( -x) BF=FE=1-FC=1- ( -x) = x=，当时，最大，最大为
