1、热力统计学第一章答案第一章热力学的基本规律(1)(2)(3)(4)解：已知理想气体的物态方程为pV nRT,由此易得1 V nR 1V p TV T，1 _p nR 1P彳v 两 T，1 _V 1 nRT 1T V p t V p2 P1.2证明任何一种具有两个独立参量T,p的物质，其物态方程可 由实验测得的体胀系数 及等温压缩系数 ，根据下述积分求得：lnV = odT 町 dp如果 1 T ,试求物态方程T pVV T, p ,其全微分为V dV dTT pdp.p T全式除以V ,有dV 1 VV V T1 V dT dp.p V p t解：以T, p为白变量，物质的物态方程为(1)根据
2、体胀系数和等温压缩系数t的定义，可将上式改写为dVVdT Tdp.(2)上式是以T, p为白变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有lnV dT Tdp .1右 一, T1一，式（3）可表为Tp1 1lnV dT dp .T p选择图示的积分路线，从（To, po）积分到相应地体PT, po ,再积分到(3)(4)(T, p),积由V。最终变到V ,有lnV=lnTVoToln卫PopV PoVoT To（常量），式（5）就是由所给 1, T 求得的物态方程。 确定常量C需要T P进一步的实验数据。1.3 在0C和1pn下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分 别为 4.85 10 5K1和
3、t 7.8 107pn 1.和t可近似看作常量，今使铜 块加热至10C。问：（a）压强要增加多少Pn才能使铜块的体积维持不变？ （b）若压强增加100 Pn，铜块的体积改变多少？解：（a）根据1.2题式（2），有(1)空 dT Tdp. V上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差 dV,温度差dT和压强差dp之间的关系。如果系统的体积不变，dp与dT的关系为dp dT. （2）T在和T可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得p2 p1 T2 T1 . （3）T将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统 在初态和终态的压强差和温度差满足式（3）。但是应当强调，只要 初态V,
4、 T和终态V, T2是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足 式（3）。这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有 确定值，与系统到达该状态的历史无关。 本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。 在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态 是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。将所给数据代入，可得54.85 10 5p2 p1 7.8 10 7 10 622 pn .因此，将铜块由0oC加热到10oC,要使铜块体积保持不变，压强要增因此，将铜块由0C加热至10OC ,压强由1pn增加100Pn ,铜块体积将增 加原体积的4.
5、07 10 4倍。简单固体和液体的体胀系数 和等温压缩系数T数值都很试证明简单固体和液根据习题1.2式(2),有dVV将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分，在 情形下，dT Tdp.(1)和T可以看作常量的V V T, p .ln V T T0V0T P P0 ,(2)V T, p V To, poT T0 T p p0e(3)考虑到 有(4)T的数值很小，将指数函数展开，准确到 和T的线性项,T, p V T0, P0 1 T T0 t P P0如果取P0 0，即有V T, p V To, 0 1 T To tP(5)1.5描述金属丝的几何参量是长度L,力学参量是张力J,物态实验通常在1p
6、n下进行,线胀系数定义为f J,L,T其体积变化可以忽略。方程是等温杨氏模量定义为其中A是金属丝的截面积，一般来说， 和Y是T的函数，对J仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范围不大，可以看作常量，假设 金属丝两端固定。试证明，当温度由 1降至2时，其张力的增加为J YA T2 T1解：由物态方程(4)与1.3题类似，上述结果不限于保持金属丝长度不变的准静态冷却过YA T T；.所以，有积分得程，只要金属丝的初态是平衡态，两态的张力差J L, TiJ J L, T2就满足式（4）,与经历的过程无关。1.6 一理想弹性线的物态方程为匚11 L* 1o T L33 2I 3oLo dT（C）上述物态方
7、程适用于橡皮带，设T 3ooK, b 1.33 io 3N K 1,A 1 1o6m2, o 5 1o 4K 1，试计算当 上分别为o.5, 1.o, 1.5和2.o时的LoJ, Y,值，并画出J, Y,对L的曲线.LoJ bTLoL2(1)解：（a）根据题设，理想弹性物质的物态方程为由此可得等温杨氏模量为Y UbTLo2L2 bT L 2LoL2L2 A Lo(2)张力为零时，Y。弩(b)线胀系数的定义为由链式关系知所以bL1 LoLL0L0bT(3)1 bT -L0L0L22L2I3-bTLlq2LoL2dLodTL 2Lo dLoLi L2 dT1 2Lo bT zL3Lo1 dLoLo
8、 dT里13lQL0(4)(c)根据题给的数据，J,Y,对L的曲线分别如图1-2 (a), (b), (c)L0所示。1.7抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达 到外界压强po时将活门关上，试证明：小匣内的空气在没有与外界交 换热量之前，它的内能U与原来在大气中的内能Uo之差为 U Uo P0V0,其中V0是它原来在大气中的体积，若气体是理想气体， 求它的温度与体积。解：将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能 U与其 原来在大气中的内能U。由式(1.5.3)U U0 W Q (1)确定。由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，Q 0.过程中外界对系统所做的功
9、可以分为 W1和W2两部分来考虑。一 方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由 V。变为零。由于小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强 P0可以认为没有变 化，即过程是等压的(但不是准静态的)。过程中大气对系统所做的 功为W1 P0 V P0V0.另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力， 与外界也就没有功交换，则W2 0.因此式(1)可表为U U0 P0V0. (2)如果气体是理想气体，根据式(1.3.11)和(1.7.10),有P0V0 nRT, (3)nRU0 U Cv (T T0)(T T0) (4)1式中n是系统所含物质的量。代入式(2)即有T T. (
10、5)活门是在系统的压强达到P。时关上的，所以气体在小匣内的压强也可 看作P0 ,其物态方程为P0V nR T0. (6)与式(3)比较，知V V0. (7)n名为多方指(1)1.8满足PVn c的过程称为多方过程，其中常数 数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量 Cn为Cn - CVn 1解：根据式(1.6.1 ),多方过程中的热容量Q U VCn lim p .T 0 Tn T n T n对于理想气体，内能U只是温度T的函数,所以Cn CV(2)将多方过程的过程方程式pV 压强p可得C与理想气体的物态方程联立，消去将上式微分，有所以代入式（2），即得TVn 1 C1（常量）。(3)Vn1d
11、T(n 1Vn2TdV 0,V(n 1)T(4)其中用了式（1.7.8 ）CvPV n_CT(n 1) n 1 V，和（1.7.9 ）。(5)1.9试证明：理想气体在某一过程中的热容量 Cn如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数n 。假设气体的定压热容量Cn -解：根据热力学第一定律，有dU ?Q ?W.对于准静态过程有?W pdV,对理想气体有dU CVdT,气体在过程中吸收的热里为?Q CndT,和定容热容量是常量。因此式（1）可表为(Cn Cv )dT pdV.(1)(2)用理想气体的物态方程pV vRT除上式，并注意Cp Cv vR,可得(3)(4)（C c）dT c c）dV（C
12、n CV）T （CP CV / 将理想气体的物态方程全式求微分，有dp dV dT .p V T式（3）与式（4）联立，消去四，有T（Cn Cv）dp （Cn Cp）竺 0. （5）p VC C令n C，可将式（5）表为Cn Cv坐 ndV 0. （6）p V如果Cp, Cv和Cn都是常量，将上式积分即得pVn C （常量）。 （7）式（7）表明，过程是多方过程。1.10声波在气体中的传播速度为2 a U0,12a-1h0假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量，试证明气体单位 质量的内能u和次含h可由声速及给出：其中U0,h0为常量。解：根据式（1.8.9 ），声速a的平方为a2 pv,
13、 （1）其中v是单位质量的气体体积。理想气体的物态方程可表为mpV RT,m式中m是气体的质量，m是气体的摩尔质量。 对于单位质量的气体,有1 pvm-RT,(2)代入式(1)得a2 一RT. m以u, h表示理想气体的比内能和比次含(单位质量的内能和次含)(1.7.10 ) ( 1.7.12 )知(3)。 由式m uRTm u。，1m hRT1m h0.(4)将式(3)代入，即有2 auu0,(1)h2 a1h。.(5)式(5)表明，如果气体可以看作理想气体，测定气体中的声速和 即 可确定气体的比内能和比次含。1.11大气温度随高度降低的主要原因是在对流层中的低处与高 处之间空气不断发生对流
14、，由于气压随高度而降低，空气上升时膨胀, 下降时收缩，空气的导热率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是绝热 过程，试计算大气温度随高度的变化率立，并给出数值结果。dz解：取z轴沿竖直方向(向上)。以p(z)和p(z dz)分别表示在竖 直高度为z和z dz处的大气压强。 二者之关等于两个高度之间由大气重量产生的压强，即p(z) p(z dz) (z)gdz, (1)式中(z)是高度为z处的大气密度，g是重力加速度。将p(z dz)展开，有以m表大气的平均摩尔质量。 在高度为z处，大气的摩尔体积为则物态方程为T（z）是竖直高度为z处的温度。 代入式（2）,消去（z）得由式（1.8.6 ）易得气体在绝
15、热过程中温度随压强的变化率为(5)综合式（4）和式（5）,有1.12假设理想气体的Cp和Cv之比 是温度的函数，试求在准静态 绝热过程中T和V的关系，该关系式中要用到一个函数 F T ,其表达式为lnF(T)dT1 TF(T)V C（常量）。(6)式（6）给出当 和V的关系。是温度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中 T解：根据式（1.8.1）,理想气体在准静态绝热过程中满足可将式（2）改定为可得CVdT pdV 0.1.13利用上题的结果证明：当 为温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率仍为 1 T2.Ti解：在 是温度的函数的情形下， 1.9就理想气体卡诺循环得 到的式（1.9.4 ） -
16、（ 1.9.6 ）仍然成立，即仍有(1)Q1 Rln V2ViQ2 RTzlnU (2)V4V2 V3W Q1 Q2 REln= RT2ln-. (3)V1 V4根据1.13题式(6),对于 1.9中的准静态绝热过程(二)和(四)， 有F(T1)V2 F(T2)V3,故W R(T1 T2)ln V2,(4)(5)(6)(8)F(T2)V4 F(T1)V1, 从这两个方程消去F(T1)和F(T2),得所以在 是温度的函数的情形下，理想气体卡诺循环的效率仍为W 1 T2 I .Q1 T11.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。解：假设在p V图中两条绝热线交于C点，如图所示。设想一等
17、温线与两条绝热线分别交于A点和B点(因为等温线的斜率小于绝热线的斜 率，这样的等温线总是存在的)，则在循环过程ABCA中，系统在等温过程AB中从外界吸取热量Q，而在循环过程中对外做功 W ,其数值 等于三条线所围面积（正值）。循环过程完成后，系统回到原来的状 态。根据热力学第一定律，有W Q。这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。 因此两条绝热线不可能相交。1.15 热机在循环中与多个热源交换热量，在热机从其中吸收热 量的热源中，热源的最高温度为Ti,在热机向其放出热量的热源中， 热源的最低温度 为T2,试根据克氏不
18、等式证明，热机的效率不超过 1 &.解：根据克劳修斯不等式（式1.13.4),有Ti0,(1)式中Qi是热机从温度为T的热源吸取的热量（吸热Qi为正，放热Qi为 负）。将热量重新定义，可将式（1）改写为(2)冬冬0 j Tj k Tk式中Qj是热机从热源Tj吸取的热量，Qk是热机在热源Tk放出的热量,Qj, Qk恒正。将式（2）改写为21 鱼 j Tj k Tk假设热机从其中吸取热量的热源中，热源的最高温度为 T1,在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为 T2,必有【Qj QT1 j j j TjQk 1k H T2 k Qk,1.16 理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由假设是常数
19、，试证明前者的炳增加值为后者的 倍。解：根据式（1.15.8）,理想气体的炳函数可表达为S CplnT nRlnp 港在等压过程中温度由T1升到T2时，炳增加值Sp为Sp Cpln 金.P p T1Ti升至丁2。(1)(2)(4)故由式（3）得总热量，响式（4）可表为Q1云kQ2T2,(5)或T2T1Q2.Q1(6)根据热力学第一定律，热机在循环过程中所做的功为W Q1 Q2.热机的效率为W 1Q鱼 1 T2.Qi Ti1 1T j Qj T2 k Qk.定义Q Qj为热机在过程中吸取的总热量，Q2 Qk为热机放出的根据式（1.15.8 ）,理想气体的炳函数也可表达为(3)S CVlnT nR
20、lnV S0.在等容过程中温度由T1升到T2时，炳增加值Sv为(4)Sv Cvln .T1所以1.17 温度为0oc的1kg水与温度为100OC的恒温热源接触后，水 温达到100OC。试分别求水和热源的!W变以及整个系统的总炳变。欲 使参与过程的整个系统的炳保持不变，应如何使水温从 0OC升至100OC ?已知水的比热容为4.18J g 1 K 1 .解：0OC的水与温度为100OC的恒温热源接触后水温升为100OC , 这一过程是不可逆过程。为求水、热源和整个系统的炳变，可以设想 一个可逆过程，它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样变 化，通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的!W变。为
21、求水的炳变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源， 其温度 分布在0OC与100OC之间。令水依次从这些热源吸热，使水温由0OC升至 100OC。在这可逆过程中，水的!W变为(1)373 mCpdT 373 3 373 1p mcpln 103 4.18 ln 1304.6J k 1273 T p 273 273水从0OC升温至100OC所吸收的总热量Q为 - 3 5Q mcp T 10 4.18 100 4.18 10 J.为求热源的炳变，可令热源向温度为 100OC的另一热源放出热量S热源4.18 1053731120.6J K(2)Q。在这可逆过程中，热源的炳变为由于热源的变化相同，式（2
22、）给出的炳变也就是原来的不可逆过程 中热源的!W变。则整个系统的总!W变为S总、Sk &源 184J K 1. （3）为使水温从0OC升至100OC而参与过程的整个系统的!W保持不变， 应令水与温度分布在0C与100OC之间的一系列热源吸热。水的炳变S%仍由式（1）给出。这一系列热源的炳变之和为(4)a 373 mCpdT 1散源 273 1304.6J K参与过程的整个系统的总！W变为% S%故源0.1.18 10A的电流通过一个25的电阻器，历时1s。(a) 若电阻器保持为室温27OC，试求电阻器的!W增加值。(b) 若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为 27OC,电阻器的 质量为10g,
23、比热容Cp为0.84 J g 1 K 1,问电阻器的!W增加值为多少？解：(a)以t, p为电阻器的状态参量。设想过程是在大气压下进 行的，如果电阻器的温度也保持为室温27OC不变，则电阻器的炳作为 状态函数也就保持不变。(b)如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的焦耳热Q将全部被电阻器吸收而使其温度由Ti升为Tf,所以有2 mCp(Tf T) i Rt,Tf mcdTS pT T电阻器的!W变可参照 1.17例二的方法求出，为mcpln= 10 2 0.84 103ln翼 5.8J K 11.19均匀杆的温度一端为Ti,另一端为T2,试计算达到均匀温 度1 Ti T2后的炳增。2解：以L表示
24、杆的长度。杆的初始状态是l。端温度为T2 , l L端 温度为Ti,温度梯度为 丘(设Ti T2)。这是一个非平衡状态。通 过均匀杆中的热传导过程，最终达到具有均匀温度 1 Ti T2的平衡状2态。为求这一过程的!W变，我们将杆分为长度为dl的许多小段，如图 所示。位于l到l dl的小段，初温为T T2 午. (1)CpLln2p 2%LlnUp 2CpT2 2l ln T2 lTi T2 2 L 2 LLCpL一 T1 ln T1 T2lnT2 T1 T2Ti T2T1 ln T1 T2 ln T2Ti T2(3)式中Cp CpL是杆的定压热容量。1.20 一物质固态的摩尔热量为Cs，液态的
25、摩尔热容量为Ci .假 设Cs和Cl都可看作常量.在某一压强下，该物质的熔点为To ,相变潜 热为Qo.求在温度为Ti Ti To时，过冷液体与同温度下固体的摩尔!W 差.假设过冷液体的摩尔热容量亦为C,.解：我们用炳函数的表达式进行计算.以T , p为状态参量.在讨 论固定压强下过冷液体与固体的炳差时不必考虑压强参量的变化 .以 a态表示温度为Ti的固态，b态表示在熔点To的固态.b, a 两态的摩 尔炳差为（略去摩尔炳Sm的下标m不写）T。CsdTTi TCsln (i)以c态表示在熔点To的液相，c, b两态的摩尔!W差为(2)Q Qodb To以d态表示温度为Ti的过冷液态，d, c两
26、态的摩尔!W差为(3)可 CldT T1Sdc to* Cg.1 1 o炳是态函数，d, c两态的摩尔炳差 嬴为QoCs Cl lnTi(4)Sda1.21物体的初温Ti ,高于热源的温度T2 ,有一热机在此物体与 热源之间工作，直到将物体的温度降低到T2为止，若热机从物体吸取 的热量为Q,试根据炳增加原理证明，此热机所能输出的最大功为Wmax Q 丁2( S2)其中 S2是物体的！W减少量。解：以Sa，Sb和Sc分别表示物体、热机和热源在过程前后的!W 变。由端的相加性知，整个系统的炳变为S Sa Sb Sc.由于整个系统与外界是绝热的，增加原理要求S Sa Sb Sc o. (1)以Si,
27、 S2分别表示物体在开始和终结状态的炳，则物体的!W变为Sa S2 S1. (2)热机经历的是循环过程，经循环过程后热机回到初始状态，端变为零， 即Sb 0. (3)以Q表示热机从物体吸取的热量，Q表示热机在热源放出的热量，W 表示热机对外所做的功。 根据热力学第一定律，有Q Q W,所以热源的!W变为(4)将式(2) (4)代入式(1),即有上式取等号时，热机输出的功最大，故Wnax Q T2 Si S2 . (6)式(6)相应于所经历的过程是可逆过程。1.22 有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为 T。今 令一制冷机在这两个物体间工作，使其中一个物体的温度降低到T2为 止。假设物体
28、维持在定压下，并且不发生相变。试根据!W增加原理证 明，此过程所需的最小功为T2Wmin Cp = T2 2TiT 2解：制冷机在具有相同的初始温度 T的两个物体之间工作，将 热量从物体2送到物体1,使物体2的温度降至T2为止。以Ti表示物体 1的终态温度，Cp表示物体的定压热容量，则物体1吸取的热量为Qi Cp Ti T (1)(2)物体2放出的热量为Q2 Cp Ti T2(3)经多次循环后，制冷机接受外界的功为W Q1 Q2 Cp T1 T2 2T由此可知，对于给定的Ti和T2, L愈低所需外界的功愈小。(4)用S1, S2和S3分别表示过程终了后物体1,物体2和制冷机的 炳变。由!W的相加性和!W增加原理知，整个系统的!W变为S S1 S2 S3 0显然因此！W增加原理要求(5)S Cp In对于给定的Ti和T2 ,最低的Ti为代入（3）式即有式（7）相应于所经历的整个过程是可逆过程1.23 简单系统有两个独立参量。 如果以T, S为独立参量，可以以纵坐标表
