1、密克定理是几何学中关于相交圆定理0219103725密克定理是几何学中关于相交圆的定理。 1838年，奥古斯特密克表达并证明了数条相关定理。许多有用的定理可由其推出。定理陈述三圆定理：设三个圆C1,C2,C3交于一点O，而M,N,P,分别是C1和C2,C2和C3,C3和C1的另一交点。设A为C1的点，直线MA交C2于B，直线PA交C3于C。那么B,N,C这三点共线。絆謗识进員闈绋辦驶溆舻餑記绞皚。逆定理：如果ABC是三角形，M,N,P三点分别在边AB,BC,CA上，那么三角形APM,BMN,CNP的外接圆交于一点O。汇銖絡鸩謁檉顫贬箪緦极鉸断讥盖。完全四线形定理：如果ABCDEF是完全四线形，
2、那么三角形EAD,EBC,FABFDC的外接圆交于一点O，称为密克点。四圆定理：设C1,C2,C3,C4为四个圆，A1和B1是C1和C2的交点，A2和B2是C2和C3的交点，A3和B3是C3,C4的交点，A4和B4是C1和C2的交点。那么A1,A2,A3,A4四点共圆当且仅当B1,B2,B3,B4四点共圆。颠檢鞏狱聞练蓝靨賊鲰秆绣还詭瀾。五圆定理：设ABCDE为任意五边形，五点,F,G,H,I,J分别是EA和BC,AB和CD,BC和ED,CD和EA，DE和AB的交点，那么三角形 ABF,BCG,CDH,DEI.EAJ的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆，而且穿过这些交点的圆也穿过五个外接圆的圆
3、心。逆定理：设C1,C2,C3,C4C5五个圆的圆心都在圆上 C，相邻的圆交于C上，那么把它们不在 C上的交点与比邻同样的点连起来，所成的五条直线相交于这五个圆上。诈纳鐋砻沪锆紺惫靨卫篤畅蒉歿訓。葛尔刚点：ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于F、D、E，那么AD、BE、CF三线共点，此点即为葛尔刚点孫濱纬荪帏赶盖蛳燒猪繕蔥涟须惬。NewtonsTheorem特指平面几何中的牛顿定理牛顿线：和完全四边形四边相切的有心1圆锥曲线的心的轨迹是一条直线,是完全四边形三条对角线中点所共的线。涵盖了圆外切四边形的对角线中点连线过圆心的定理)薺鍔涣赚鲅约抡掸镄杨蹒絀訣胄簽。牛顿定理1：完全四边形两条对边
4、的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。頤罵峴鏟攤区毂举競恽牍騾膠繯訴。四边形ABCD,ABCD=E,ADBC=F,BD中点M,AC中点L,EF中点N证明：取BE中点P,BC中点R,PNCE=Q牛顿定理 1R,L,Q共线QL/LR=EA/ABM,R,P共线RM/MP=CD/DEN,P,Q共线PN/NQ=BF/FC三式相乘得:QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC由梅涅劳斯定理QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1鯗塤瀘粵韬繳簽儂鈳阙謐緊综三镣。由梅涅劳斯定理的逆定理知 :L,M,N 三点共 证毕故牛顿定理 1成立
5、牛顿定理2圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的 圆心，三点共线。证明： 设四边形 ABCD是I的外切四边形， E和F分别是它的对角线AC和BD的中点，连接 EI只需证它过点 F，即只需证 BEI与DEI面积相等。牛顿定理 2图显然，SBEI=-SBIC+SCEI+SBCE，而SDEI=-SADE+SAIE+SAID。注意两个式子，由ABCD外切于I，AB+CD=AD+BC，SBIC+SAID=1/2*S师紀腽铂肾屡輾与狞濫籜訝殓詵书。四边形ABCD，SADE+SBCE=1/2*SACD+1/2*SABC=1/2*S四边形ABCD沩纓唤阵俭攬霧帶禎锆馬绀觌歼凛。即SBIC+SAID=SADE
6、+SBCE，移项得SBIC-SBCE=SADE-SAID，由E是AC中点，SCEI=SAEI，故SBIC-SCEI-SBCE=SADE-SAIE-S蘊济为锛誊鹰茏傖抛儂戆晔頒拦攪。AID，即SBEI=DEI，而F是BD中点，由共边比例定理 EI过点F即EF过点I，故结论成立。证毕。牛顿定理3圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。证明:设四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA与内切圆分别切于点E,F,G,H.首先证明,直线AC,EG,FH交于一点.设EG,FH分别交AC于点I,I.显然AHI=BFI橹嚣败逻铊聽滾骯却绾灑龈紡谤噠。因此易知 AI*HI/FI*CI=S
7、(AIH)/S(CIF)=AH*HI/CF*FI故AI/CI=AH/CF.同样可证:AI/CI=AE/CG又AE=AH,CF=CG.故AI/CI=AH/CF=AI/CI.从而I,I 重合.即直线AC,EG,FH交于一点.同理可证:直线BD,EG,FH交于一点.因此直线 AC,BD,EG,FH交于一点.证毕。等角共轭点：描述一：三角形内一点 P,过A做直线L1与AP关于角A的角平分线对称 ,同样过B,C分别做L2,L3.这三条直线交于 P1,那么P1是P的等角共轭点；描述二：设 P、Q是三角形 ABC内两点，PAB=QAC,PBC=QBA,PCB=QCA,满足题设条件的两点 P、Q称为ABC的等
8、角共轭点。圆内接四边形与外切四边形误蕘轧鷚駔径嵘艺岂萬颔寿縑攖夾。当四边形与其它的知识点综合在一起时，其内容丰富多彩。在本节，我们主要介绍圆内接四边形与外切四边形的内容。对于圆内接四边形与外切四边形，显然有以下的性质：1圆内接凸四边形的对角互补 ；圆内接接凹四边形的对角相等 。2圆内接凸四边形的一个外角等于其不相邻的内对角 。3圆外切四边形的对边之和相等 。OO命题1如图，证明O(AB,CD)O(AB,CD)。DACB证明：根据交比的定义和圆的性质，得4托勒密定理：圆内接四边形的对边之积的和等于对角线之积 。证明一在BD上选一点E，使得BAC=EAD。D在ABC和AED中，BAC=EAD，BC
9、A=EDAABCAED，BCAC，即EDADBC。1EDADAC在ABE和ACD中，BAE=CAD，ABE=ACDABEACD，ABBE，即BEABCD。2ACCDAC1+2得ADBCABCDACBEEDBD，AC即ABCDADBCACBD。CEABDXCABA证明二如图，因为X(BC,AD)+X(BA,CD)=1，即BDC由正弦定理得E即ABCD ADBC ACBD。MF5圆内接凸四边形的密克点在一条对边交点的连线上 。证明：如图，设M是密克点，连CM、EM、FM，那么0CME=CBA=BCA=CDF=180CMF所以E、M、F共线。例圆内接四边形对边交点连线的平方等于由此二点向圆所作切线的
10、平方和。证明：如图，作四边形 ABCD的密克点，即 BCE和 CDF的外接圆的交点 M，那么M在EF上。从而有例1如图,CD，PQ=1。证明：根据命题1知A(AB，CD)=B(AB，CD)，即PQ，CD=QP，CD。所以PQ，CD=1。本结论可表达为：过圆外一点P任作割线PCD，那么C、D、P的第四调和点在一条定直线上。命题2如图，PC，PD是切线，OP是圆的直径，过 Q任作一弦AB，求证：PO平分APB。证明：因为PC，PD是切线，所以PQQO PC2 AQQB，所以O、A、P、B四点共圆，所以APO=ABO=BAO=BPO，即PO平分APB。例2过圆内一点P任作直线交圆于A、B两点，那么A
11、、B、P的第四调和点Q在一条定直线上。证明：如图，过H作HQ垂直于OP交AB于Q，那么根据命题2知HO平分AHB，但HQHP，从而HQ也是AHB的平分线。根据角平分线的性质知，AB，PQ=1。所以A、B、P的第四调和点在一条定直线上。本结论可表达为：过圆内一点P任作割线PCD，那么C、D、P的第四调和点在一条定直线上。定义过一点P作直线交圆于A、B，那么A、B、P的第四调和点称为P关于圆的共轭点。根据例1和例2知，我们有定理点P的共轭点的轨迹 lp是一条直线。注：我们称lp是P的极线，而P称为lp的极点。当点P在圆上时，规定P的极线为过P的切线，而切线的极点就是切点。当点P在圆外时，P的极线就
12、是P的切点弦所在的直线。紛飙闱鯔爷鵜军鲚谌傯艺蠻闱鳆藥。例3设O与直线l相离，过l上的点P作O的切线PA、PB，那么切点A、B的连线过定点。证明：连AB，过O作OHl于H，且交AB于K。 AOO、A、P、H共圆， KBOBK=OPA=OPB=OHB，OHBOBKP H l2 2OB=OK?OH，即R=OK?OH其中R是O的半径，从而K是一个定点，即AB过一个定点。问题探索：1本命题可表达为：共线点的极线共点。2当l与圆相切时，结论是否仍成立？3当l与相交时结论是否成立？分析：过O作l的垂线，垂足为 H，那么O、H、B、P、A共圆。如图，BHK=BPO=APO=ABO，故OHB=OBK，从而 O
13、HBOBK。所以OHOBOBOK，即OK为常数。所以P的切点弦通过一个定点。4在3中，当P进入圆的内部时，情形会起什么变化？例4过圆外一点H任作一条割线交圆于两点 A、B，求证：A、B处的切线的交点在一条定直线上。证明：任作一条割线 HAB，交O于A、B，过H作切线PHC，C是切点，作CKOH于K，那么BAHK OC2HK?OH=HC=HA?HBO、K、B、A共圆，O、A、P、B共圆，O、K、B、A、P共圆，OHKP。由此即得P在过K且垂直于OH的直线即H的切点弦上，所以所有的P共线。问题探索PB1本命题可表达为：共点线的极点共线。HOK2当H点在圆上时，结论是否成立？AC3当H在圆内时，结论
14、是否成立？分析：如图，过H作OH的垂线交圆于C，作C处的切线交OH的延长线于K，那么KHHOHC2AHBH，所以O、A、K、B、P共圆，故PK垂直于OH。但K是固定点，所以P在一条定直线上。4当HAB与圆相离时，情形会起什么变化？定理共线点的极线共点，共点线的极点共线。定理过圆的内接四边形一组对边的交点作圆的切线，那么两个切点，另一组对边的交点，及对角线的交点，四点共线 。证明：如图，根据完全四边形的调和性可知P的极线就是QR，另一方面，P的极线就是P的切点弦XY。所以Q、R、X、Y共线。坞贪学垄閹惬遥鮫嫔浔檢绞錨蟄赐。定理圆内接四边形一组对边的端点处切线的交点，对角线交点及另一组对边的交点，
15、四点共线，且它们互相调和分割 。证明：如图，因为Q的极线是PR，故Q与R是一对共轭点，同理P与R也是一对共轭点，故R的极线是PQ，即PQ的极点是R。因为PAB的极点为T，PDC的极点为S，繳陉鴯觇翹驼鲩缁裆闃臍棖鐿妇踬。PR的极点Q，PQ的极点R，而共点的极点共，所以 Q、T、R、S共。同理有P、U、R、V共。AD与PR的交点X，AD，QX=1，从而在中心U的投影下有TS，QR=AD，QX=1。由此定理可得，PA U D麦克林定理外切四形的Q角，切点的，四共点S，且角T R和分割切点的 。例练习A切点弦专题BCV1O与直l相离，l上的点作O的切、，切点、的定点。2O外有n个共点Pi(i=1,2
16、, ，n)，Pi作O的切，切点i，Bi，直iBi共点。3外一点任作一条割交于两点， 两点的切的交点在一条定直上。4外一点P作的切PA、PB，切点A、B，AB、OP交于K。K任作一弦CD，OH平分CHD。5P外一点，任作的直径 iBi， PiBi的垂心在一条定直上。6H角 ABC的垂心，由A向以BC直径的作切 AP、AQ，切点P、Q，求：P、H、Q三点共。1996年，CMO7直m不心与O相交，m在外的点作的两条切，切点A、B，AB与OK交于定点其中OKm于K。諤莹尔冻痹倫鎩鑊瓯釃叢請谅揿錁。8O内任一点K作弦iBi直径除外，再Ai、Bi分作的切交于Pi，所有Pi共。9设K是O直径MN上异于O的一
17、点，过K任作一弦iBi，连iM、BiN交于Pi，那么所有Pi共线。10设K是圆内异于圆心的任一点，过K作两条不等的弦iBi，CiDi，连AiCi、BiDi交于Pi，那么所有Pi共线。赛静棖缈络扩僑凄導辂赚铛駑骏静。11设AB是圆O的直径，直线m过K且与AB垂直，Qi为m上任一点，连AQi、BQi分别交圆于Di、Ci，那么CiDi共点。12设P是圆外定点，过 P任作两条不相等的割线 PDiAi、PCiBi。设iBi、CiDi交于Qi，那么所有Qi共线。13四边形ABCD内接于圆，其边 AB和CD的延长线交于点 P，AD与BC的延长线交于点Q，由Q作圆的两条切线 QE、QF，切点为E、F，求证P、
18、E、F三点共线。14设n为过圆心的一条直线。过圆内异于圆心的任一点 K，在直线n的同侧作直线AK、BK分别交圆O于A、B，使它们与直线 n成等角，那么AB与n交于定点H。15过圆外一点H作割线HBA直径除外，试问 OH上是否存在一点 K，使BKH=AKO。16如图，A为平面上两半径不等的 O1和O2的一个交点，两外公切线P1P2，Q1Q2分别切两圆于P1、P2、Q1、Q2；M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中点，求证：O1AO2=缆饴葒親败屉圹骞闾驽鲚韬盡咙萊。M1AM2。17设A、B、C、D是一条直线上依次排列的四个不同点，分别以 AC、BD为直径的两圆相交于X和Y，直线XY交BC于Z。假
19、设P为直线XY上异于Z的一点，直线CP与以AC为直径的圆相交于C及M，直线BP与以BD为直径的圆相交于B及N。证明：AM、DN、XY三线共点。墊驳盜懌橈鯛该烟蟯顥箋挥倆蔣瑶。18如图，设PA、PB是O的切线，A、B是切点，割线PEC交AB于D，假设PE=2，CD=1，求DE的长。观篩辫珲颏纹渔鹇夺欒灄衬点瀕響。19直线AB与圆相切于B，弦CD经过AB的中点M，直线AC交圆于E，AD交圆于F，证明：EF/AB。純镫诧荣鷴樂绀癮皲畴蒋卖鑼筆銜。20在直角ABC中AB为斜边，CH为斜边上的高，以AC为半径作A。过B作A的任一割线交A于D、E，交CH于FD在B、F之间，又作ABG=ABD，G在A上，G
20、与D在AB异侧，求证：E、H、G共线。练习B1四边形的每双对边的中点连线及对角线中点连线互相平分。丧诰箫诏紇銩櫟緋輥摇闡钌笕囑镶。2假设四边形的两对角线互相垂直，那么一双对边的平方和等于另一双对边的和。3四边形对边中点连线的平方和，等于两对角线平方和的一半。4顺次连接简单四边形各边中点所成四边形的面积等于原四边形面积的一半。5在凸四边形ABCD中，设E、F、G、H各是四边AB、BC、CD、DA的中点，I、J分别是对角线AC、BD的中点。作直线IO/BD，JO/AC，求证：SOHAE=SOEBF=SOFCG=SOGDH。譖侶缁紼顛閨态镐髋誒栉惻简塏榄。6凸多边形的内角不能有多于三个的锐角。7凸四
21、边形中，假设一双对边的平分线或平行或重合，那么他双对角相等；反之，假设一双对角相等，那么另一双对角的平分线平行或重合。8设四边形ABCD有内切圆，那么 ABC与 CDA的内切圆相切， BCD与 DAB的内切圆也相切。9在圆内接四边形22222ABCD中，假设AC平分CD，那么AB+BC+CD+DA=2AC。10设四边形ABCD有内切圆或旁切圆O，那么AOB与COD、AOD与BOC分别相切。11设四边形有一双对边相等，那么它双对边的中点连线与该双对边所在直线的交角相等。12设一直线与圆内接四边形一双对边所在直线交成相等的同侧内角，那么变与他双对边所在直线交成相等的同侧内角。13四点两两连成四个三
22、角形，求证它们的内切圆中任两圆的公切线等于它两圆的公切线，但这些公切线以落在各连线上面的为限。14既有内切圆又有外接圆的四边形其对边切点的连线必互相垂直。15设四边形无外接圆，两双对边的中垂线垂直相交，那么这两交点的连线垂直于两对角线中点的连线。16以一简单四边形的每边向外作正方形，求证对边上二形的中心连线垂直并且相等。17高逡一圆内接四边形每双对边所在直线的交角的平分线，那么所作四线交成一个矩形。18圆上四点两两连成四个三角形，它们的内心是一个矩形的顶点。19在四边形ABCD中，设ADBC，内外分AB边于E、F，又内外分CD边于G、H，使EAFAGDHDAD，EBFBGCHCBC求证：EGF
23、H。20设四边形ABCD内接于一圆，作弦AE及BF，假设AE/BD且BF/AC，那么EF/CD。21ABCD是圆内接四边形，过 A、B任作一圆交直线 AD、BC、AC、BD于E、F、G、H，那么CD/EF/GH。22ABCD是圆内接四边形，过A、B任作一圆交直线AD、BC、AC、BD于E、F、G、H，设BE与AC，AF与BD，BG与AD，AH与BC交于E、F、G、H，那么CD/EF/GH。頑寵貸经糧荟憐窜養悅颊铩纠櫧凉。23设四边形有一角是直角且对角线相等，那么对边的中垂线交点与该直角的顶点共线。24在圆内接四边形中，设每边两端所引邻接边的长线相交，那么所得四交点与四边形的对角线交点及外接圆心
24、共线。24；圆上四点两两连成四个三角形，它们的内心、旁心合计十六点分配在八条直线上，每线上四点，而这八线是两组互相垂直的平行线，每组含四线。25设四边形ABCD内接于圆O，且ACBD，那么 OAB、 OBC、 OCD、 ODA的垂心共线。26圆内接四边形的一双对边所在直线交角的平分线，与他双对边所在直线交角的平分线分别垂直，两垂足与两对角线的中点组成调和点列。27设自四边形的对角线的交点引直线平行于每边而与对边所在直线相交，那么四交点共线。28在四边形ABCD中，A、C是AC上的两点，B、D是BD上的两点。假设AB/AB，BC/BC，CD/CD，那么DA/DA，且AB与CD，BC与DA，CD与
25、AB，DA与紈嘘癬發曇奁铹絢诩坛隨鹼驼礙饵。BC的交点共线。29在四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，一直线交 AB、BC、CD、DA于E、F、G、H，连EO、FO、GO、HO，设依次各交CD、DA、AB、BC于E、F、G、H，求证这四交点共线。纜栅畅鶩蠆褛痪樂没繽钥赁躯氳赁。30在四边形ABCD中，A、C是AC上的两点，B、D是BD上的两点。假设AB与AB、BC与BC、CD与CD的交点共线，那么DA与DA的交点也在此线上，且AB与CD，BC与DA，CD与AB，DA与BC的交点共线。逕毀缍轔贵谎怿儼潁嘩绛顧閼蘄栀。31在一个四边形中，假设有一双对角的平分线与另一对角线共点，那么它双对角的平
26、分线也与另一对角线共点。32在二对角互相垂直的四边形中，过对角线交点向每边作长线，得四垂足，并设所作垂线又与对边相交，得四交点，那么所得八点共圆。33假设一个四边形有等角共轭点，那么这双等角共轭点在各边所在直线上的射影必共圆。34凸四边形各外角的平分线顺次相交，那么所得四交点共圆。35P是四边形ABCD的对角线交点，设PAB与PCD交于Q，PAD与PBC交于R，那么P、Q、R三点与AC、BD的中点，五点共圆。36圆内接四边形两对角线的中点，在四边中点所连成的平行四边形各边所在直线上的射影八点共圆。37设圆内接四边形的两对角线互相垂直，那么其交点在四边上的射影与四边的中点，八点共圆。38在四边形
27、ABCD中，ACBD，A、C是AC上的两点，B、D是BD上的两点。假设ABAB、BCBC、CDCD，那么DADA，且四垂足及AB与CD，BC与DA，CD与AB，DA与BC的交点，八点共圆。桩强驽纶录龚镧钥饪煢緬马黌庞导。39平面上无三点共线的四点两两相连所的四个三角形，它们的九点圆共点。40一个完全四边形中包含三个四边形凸的、凹的、折的各一个，每个四边形的对边都叫作完全四边形的 对节。通过完全四边形每双对节的中点及它们所在边的交点作圆，证明所得六圆共点。41设P、P是四边形ABCD的等角共轭点，求证：1四圆PAB、PBC、PCD、PDA会于一点Q；2四圆PAB、PBC、PCD、PDA会于一点Q
28、；（3Q与Q也是四边形的等角共轭点。42设四边形ABCD内接于O，P是AC与BD的交点，求证：1四圆OAB、PBC、OCD、PDA共点；2四圆PAB、OBC、PCD、ODA共点。43在一完全四角形中，依次除掉一双对边，然后通过余四边所成的完全四边形的密克点及所除两边之一的两端作圆，证明所得六圆共点。44在一完全四角形中，求证以下八圆共点：1通过共顶点三边的中点所作的圆，共四圆；2通过每双对边的中点及在这两边上的对角点所作的圆，共三圆；3通过每双对边的中垂线交点所作的圆。45在圆内接四边形ABCD中，设每双对边的和各m和n，两对角线的和为l，BCD、CDA、DAB、ABC的内切圆直径分别为d1、d2、d3、d4。求证：(l-m)(l-n)=d1d3+d2d
