1、完整版圆锥曲线经典中点弦问题中点弦问题专题练习选择题（共8小题）1已知椭圆盏+专二1，以及椭圆内一点 P （4, 2）,则以P为中点的弦所在直线的斜率为（A _122 已知A (1, 2)为椭圆A x+2y+4=03 AB是椭圆2 2a b2 2孚+$二1内一点，则以4 LbB x+2y - 4=0（a b 0）的任意一条与A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（ ）C 2x+y+4=0 D . 2x+y - 4=0x轴不垂直的弦，0是椭圆的中心，e为椭圆的离心率,AB的中点，贝U KAB?KOM的值为（ ）A e-1 B 1-e4椭圆4x2+9y2=144内有一点P （3, 2）过点P的弦恰好以
2、P为中点，那么这弦所在直线的方程为（A 3x+2y - 12=0 B 2x+3y - 12=0 C e2- 1D 1 - e24x+9y - 144=0)D 9x+4y - 144=0225若椭圆 盏亡二L的弦中点（4, 2），则此弦所在直线的斜率是（6.2 2已知椭圆七+勺二1的一条弦所在直线方程是a bx - y+3=0，弦的中点坐标是（-2,1）,则椭圆的离心率是（2B .:c .:;D ：2225A 7 直线y=x+1被椭圆 A x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（B (丄)丄)(-8.2卩-116以椭圆内一点M （1, 1）为中点的弦所在的直线方程为（4x - 3y - 3=0B
3、 x - 4y+3=0C 4x+y - 5=0x+4y - 5=0二填空题（共9小题）2 ?9过椭圆专+才二1内一点M （2, 0）引椭圆的动弦 AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是 _ _2 210 已知点（1, 1）是椭圆.某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为： 2 211.椭圆4x +9y =144内有一点P （3, 2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为 _ 一直线方程为 那么这弦所在直线的方程为12 .椭圆4x2+9y2=144内有一点P (3,2)过点P的弦恰好以P为中点,13.过椭圆=1内一定点(1, 0)作弦，则弦中点的轨迹方程为14设AB是椭圆 .的不垂直于对称
4、轴的弦,M为AB的中点,O为坐标原点，贝U kAB?kOM =M (1, 1)为中点的弦所在直线方程为17.P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线方程为18.19.20.21 .直线y=x+2解答题(共被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是13小题)求以坐标轴为对称轴，一焦点为(0, 5迈)且截直线y=3x - 2所得弦的中点的横坐标为 -的椭圆方程.2 2已知M (4, 2)是直线I被椭圆x +4y =36所截的弦AB的中点，其直线I的方程.2 2已知一直线与椭圆 4x +9y =36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为 M(1, 1),求直线AB的方程.已知椭圆2厂1,求以点P(
5、 2，-门为中点的弦AB所在的直线方程.已知椭圆与双曲线 2x2 - 2y2=1共焦点，且过(.：)22.(1)求椭圆的标准方程.(2)求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程.2 223.直线I: x- 2y - 4=0与椭圆x +my =16相交于A、B两点，弦AB的中点为 设椭圆的中心为 0,求厶AOB的面积.P (2, - 1). (1 )求 m 的值；(2)24. AB是椭圆2 2- 中不平行于对称轴的一条弦,b2M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证:25.已知椭圆C:kAB?kOM为定值.),直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当I的倾斜角变化时, 弦中点的轨迹方程.26.已知椭
6、圆 卡+製二1 .(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(2) 过A (2, 1)的直线I与椭圆相交，求I被截得的弦的中点轨迹方程;(3)过点P ( )且被P点平分的弦所在的直线方程.2 227.已知椭圆.(1)求过点P 丄，丄)且被点P平分的弦所在直线的方程；2 2求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；过点A(2，1)引直线与椭圆交于 B、C两点，求截得的弦(2)(3)BC中点的轨迹方程.28.已知某椭圆的焦点是 F1( - 4,0)、F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为 椭圆上不同的两点 A (xi, yi)、C ( x2, y)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F
7、2C|成等差数列.(I )求该椭圆的方程；(n )求弦AC中点的横坐标.B,且|F1B|+|F2B|=10 ,2 229.(2010?永春县一模)过椭圆 * -内一点M ( 1, 1)的弦AB .16 4(1)若点M恰为弦AB的中点，求直线 AB的方程；(2)求过点M的弦的中点的轨迹方程.30.已知椭圆C方程为 -丁 直线一-二与椭圆C交于A、B两点， 点 P I-(1)求弦AB中点M的轨迹方程；(2)设直线PA、PB斜率分别为k1、k2,求证：k1+k2为定值.2014 年 1 月 pa叩an71104的高中数学组卷参考答案与试题解析选择题(共8小题)2 21 已知椭圆以及椭圆内一点P (4
8、, 2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为(A _12又 X1+x2=8, y1+y2=4,考点：椭圆的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用中点坐标公式、斜率计算公式、 点差法”即可得出解答：解：设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点 A (X1, y1) , B (x2, y2),斜率为k.-七)(牛+辽)ty j36g2 2二；两式相减得代入得 寻碍二Q，解得k= - *故选A 点评:熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、点差法堤解题的关键.2已知A (1, 2)为椭圆2 2-1内一点，则以4 16A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为(A x+2y+4=0B x+2y - 4=
9、0C 2x+y+4=0D 2x+y - 4=0考点：直线的一般式方程.专题：计算题分析：首先根据题意设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，然后结合题意与跟与系数的关系得到答案 解答：解：设直线的方程为 y - 2=k (x- 1),联立直线与椭圆的方程代入可得： (4+k2) x2+2k ( 2 - k) x+k2- 4k - 12=0因为A为椭圆的弦的中点，2k (k- 2)所以 .二解得k= - 2,4十所以直线的方程为 2x+y - 4=0 故选D 点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以及掌握弦中点与中点弦问题3. AB是椭圆AB的中点，贝U Kab?KOM的
10、值为(A . e -C. e2- 1D . 1 - e2考点： 专题： 分析：解答:椭圆的简单性质.综合题.设出弦AB所在的直线方程，与椭圆方程联立消去 y,根据韦达定理求得 X1+X2，的表达式，根据直线方程求得y1+y2的表达式，进而根据点 M为AB的中点，表示出 M的横坐标和纵坐标，求得直线 0M的斜率,进而代入kAB?kOM中求得结果.解：设直线为：y=kx+c联立椭圆和直线b2x2+a2 (kx+c)i 2 2斗jl国b2 - a2b2=0，即 (b2+k2a2)消去y得x2+2a2kcx+a2 (c2 - b2) =0，二1 (a b0)的任意一条与x轴不垂直的弦，0是椭圆的中心，
11、e为椭圆的离心率， M为所以：X1+X2=-点评:所以，M点的横坐标为:Mr(x1+x2)=又：y仁kxi+c所以：Kom=A 2所以:b. 2b 2)=一 2akAB?kOM=k x (-=e2- 1本题主要考查了椭圆的应用涉及弦长问题，禾U用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题, 利用差分法较为简便.2 24.椭圆4x +9y =144内有一点P (3, 2)过点P的弦恰好以A . 3x+2y - 12=0 B . 2x+3y - 12=0 C.P为中点，那么这弦所在直线的方程为( )4x+9y - 144=0 D. 9x+4y - 144=0考点： 专题： 分析：直线与圆锥曲
12、线的关系；直线的一般式方程. 圆锥曲线的定义、性质与方程.利用平方差法：设弦的端点为 A (X1, y1)，B ( X2,y2),代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程. 解答： 解：设弦的端点为 A (X1 , yi) , B ( X2, y2),则 X1+x2=6， y1+y2=4，把A、B坐标代入椭圆方程得，仆乂+9比2二，旳二，两式相减得，4+92-y2 ) =0，即 4 (X1+X2) (Xi- x2) +9 ( yl+y2) (yi - y2) =0 ,r=，即 kAB=-=所以这弦所在直线方程为： y - 2= -2( x -
13、 3),即2x+3y - 12=0.3故选B .点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握.2 ?5.若椭圆字+三厂二1的弦中点(4, 2)，则此弦所在直线的斜率是(36 9A . 2B . - 2c .3D. _丄2考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：设此弦所在直线与椭圆相交于点 A (xi, yi), B ( x2 , y2).利用中点坐标公式和 点差法”即可得出.解答：解：设此弦所在直线与椭圆相交于点 A (xi, yi) , B (x2, y2).点评:则，两式相减得，：厂代入上式可得9
14、4 k hie；备甘e解得故选D.本题考查了椭圆的标准方程及其性质、L (厂+巾)*361 g=0.kAB =中点坐标公式和点差法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题.2 26.已知椭圆 &七二1的一条弦所在直线方程是 x-y+3=0，弦的中点坐标是(-2, 1),则椭圆的离心率是( )a b1B.:c.:;D. ：2225考点：椭圆的简单性质.专题：计算题.分析：设出以M为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与 a, b的关系式，从而求得椭圆的离心率.解答：解：显然M (- 2, 1 )在椭圆内，设直线与椭圆的交点 A (xi, yi) , B (x2
15、, y2),b2 (xi + k7 )整理得：k= =1,s2 (yC又弦的中点坐标是(-2, 1),则椭圆的离心率是故选B .点评：本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直线方程，属于基础题.本题解 题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法, 研究弦中点问题时经常采用此方法7.直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是( )A .弓哼 B.(-訂 C飞弋考点：直线与圆锥曲线的关系.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析： 将直线y=x+1代入椭圆x2+2y2=4中，利用韦达定理及中点坐标公式
16、，即可求得结论.解答：解：将直线y=x+1代入椭圆x2+2y2=4中，得x2+2 (x+1 ) 2=42/ 3x +4x - 2=0弦的中点横坐标是x=gx ( -纟)=-*、, R-T1代入直线方程中，得 丫=丄3、 2 1弦的中点是(-1,二故选B .点评： 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基础题.8以椭圆咅点M (1,1)为中点的弦所在的直线方程为(16A . 4x - 3y - 3=0B. x - 4y+3=0C. 4x+y - 5=0D . x+4y - 5=0考点： 专题： 分析：直线与圆锥曲线的关系. 计算题.设直线方程为 y-仁k ( x- 1),代入椭圆
17、匚+亠二1化简，根据16 4xi +x2=- g 冷 - /)4k2+l=2，求出斜率k的值，即得所求的直线方程.解答：解：由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为 y -仁k ( x - 1),代入椭圆 疋牛二1化简可得斗(kx-k+1)匕，16 4 1 16 4 丄2 2 2 2 (4k +1) x+8 ( k - k ) x+4k - 8k - 12.亠亦亠r/白 _ S (k k?)由题意可得 X1+X2= =2, k=-二，4k2+l ， 4，故 直线方程为 y-仁-2 ( x- 1),即x+4y - 5=0,4故选D.点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系
18、，中点公式的应用，求出直线的斜率， 是解题的关键.二.填空题(共9小题)2 29.过椭圆 亠内一点M( 2,0)引椭圆的动弦 AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是 . +打=：考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程.专题：综合题.N为AB的中点，求出 AB的斜率，再利用动分析：设出N , A , B的坐标，将A , B的坐标代入椭圆方程，结合弦AB过点M (2, 0),弦AB的中点N,求出AB的斜率，从而可得方程，化简即可. 解答： 解：设 N (x, y) , A (X1, y1) , B (x2, y2),贝，-，可得:5一4kK1 动弦AB过点M(2, 0),弦AB的中点当M、N不重合时
19、，有ky9y2=,（m 唱）（I） 2当M、N重合时，即M是A、B中点，M(2, 0)适合方程(只一 1)2二 1 ,则N的轨迹方程为 (一1女2故答案为:点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查点差法的运用，这是解决弦中点问题，常用的一种方法.10.已知点(1，1)是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为:x+2y 3=0考点：直线与圆锥曲线的关系.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：设以A (1,1)为中点椭圆的弦与椭圆交于 E (xi, yi) , F (X2, y2), A (1, 1)为EF中点，xi+x2=2, yi+y2=2,利用点差法能够求出以 A (1, 1)为中点椭圆的弦
20、所在的直线方程.解答：解：设以A ( 1, 1 )为中点椭圆的弦与椭圆交于 E ( X1, y1 ), F (x2, y2), A (1, 1 )为 EF 中点， x1+x2=2 , y1+y2=2 ,2 2把E (x1 , y1), F (x2 , y2)分别代入椭圆二1 ,4 2两式相减,可得(X1+x2) (x1 - x2) +2 (y1+y2) (y1 - y2) =0 , 2 (x1-x2) +4 (y1 - y2) =0 ,以A (1, 1)为中点椭圆的弦所在的直线方程为： y- 1=-丄(x- 1),乙整理，得 x+2y - 3=0. 故答案为：x+2y - 3=0.点评：本题考
21、查以A (1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方程的求法，考查点差法的运用，考查学生分析解决问 题的能力，属于中档题.2 2 311.椭圆4x +9y =144内有一点P (3 , 2)过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为 _ ,直线方程为 2x+3y -12=0 .考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程. 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：平方差法：设弦端点为 A (X1 , y1) , B (x2 , y2),代入椭圆方程后作差，利用斜率公式及中点坐标公式可 得斜率；根据点斜式可得直线方程.解答： 解：设弦端点为 A ( X1 , y1) , B ( x2 ,
22、 y2),贝X1+x2=6, y1+y2=4,4巧 2+gyJ二L嗣，分2 2-9y22=144，得，疋-只 2 ) +9(旳-咒)=0 ,即 4 (x1+x2) (x1 - x2) +9 (y1+y2) (y1 - y2) =0 ,1 、二4巧 + Mg )4X6 _ 2Z1 _ 9(旳+匕)-9心.3)所以,即所以弦所在直线方程为： y - 2= -2 (x - 3),即2x+3y - 12=0.3故答案为：-二；2x+3y - 12=0 .3点评：本题考查直线与抛物线的位置关系、直线方程的求解，弦中点问题常利用平方差法解决，应熟练掌握.12 .椭圆4x2+9y2=144内有一点P( 3,
23、2)过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为 2x+3y二12=0考点：直线与圆锥曲线的关系.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：设以P( 3, 2)为中点椭圆的弦与椭圆交于 E( X1,y1), F (x2, y2) , p( 3, 2)为EF中点，x1+x2=6, y1+y2=4,利用点差法能够求出这弦所在直线的方程.解答：解：设以P ( 3, 2)为中点椭圆的弦与椭圆交于 E (X1, y1) , F (x2 , y2), P (3 , 2)为 EF 中点，X1 +x2=6, y1+y2=4,2 2把 E (X1, y1), F (x2, y2)分别代入椭圆 4x
24、+9y =144 ,2+9yiZ=L44良 2 ，4x2J+9y2 =1444 (x1+x2) ( x1 - x2) +9 (y1+y2) (y1 - y2) =0, 24 (x1 - x2) +36 (y1- y2) =0,2:,以P (3, 2 )为中点椭圆的弦所在的直线方程为： y- 2=-弓(x-3),整理，得 2x+3y - 12=0 . 故答案为：2x+3y - 12=0 .点评：本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质、点差法、直线方程等知识点的合理 运用.2 24x +9y - 4x=02 213.过椭圆勺亍1内一定点(1, 0)作弦，则弦中点的轨迹方程为考
25、点：椭圆的应用；轨迹方程.专题：计算题.分析：设弦两端点坐标为(X1 , y1), (x2. y2),诸弦中点坐标为(x , y).弦所在直线斜率为 k,把两端点坐标代入椭圆方程相减，把斜率看的表达式代入后整理即可得到弦中点的轨迹方程.解答：解：设弦两端点坐标为(X1 , y1) (x2. y2),诸弦中点坐标为(X , y).弦所在直线斜率为 k2 2竺+31g 4丄两式相减得； (X1+x2) (x1 - X2) + 云(y1+y2) ( y1 - y2) =0即仝一一,代入上式得又/22x/9+2yA2/4 (x i) =0 7 一 2 24x +9y 4x=0整理得诸弦中点的轨迹方程：
26、故答案为4x2+9y 2 4x=0点评： 本题主要考查了椭圆的应用及求轨迹方程的问题考查了学生对圆锥曲线知识综合的把握.14.设AB是椭圆二1的不垂直于对称轴的弦， M为AB的中点，O为坐标原点，则kAB ?kOM= -丄_ 2考点： 专题： 分析：椭圆的应用. 计算题.设 M (a, b), A (xi, yi), B (x2, y2),易知 kOM=，再由点差法可知 kAB =a，由此可求出 kAB?kOM =2b解答:JJ解：设 M (a, b), A (xi, yi), B (x2, y2), / M 为 AB 的中点， xi+x2=2a, yi+y2=2b.把A、B代入椭圆得(X1+
27、X2)( X1 - X2)x12+2y12=2 x32+2y23=2 +2 (yi+y2) (yi y2) =0, 2a (xi x2) +4b (yi yi)=0, S ?.答案:_b12 kAB?kOM=-:点评:本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意点差法的合理运用.2 215.以椭圆r I 亠内的点 M (i, i)为中点的弦所在直线方程为 _x+4y 5=0lb 4考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：设点M ( i , i)为中点的弦所在直线与椭圆相交于点 A (xi, yi), B (x2, y2).利用 点差法”即可得出直线的斜率
28、，再利用点斜式即可得出.解答：解：设点M (i , i)为中点的弦所在直线与椭圆相交于点 A ( xi, yi), B (x2, y2).2 2(纠 + yJ G i 一叩1(2+y 2)( x 2 -164相减得2，2=0故所求的直线方程为，解得 kAB=- ：,化为 x+4y - 5=0 故答案为x+4y - 5=0 点评：本题考查了直线与椭圆相交的中点弦问题和 点差法”等基础知识与基本方法，属于中档题.16 在椭圆P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线方程为 x- 2y+4=0考点： 专题： 分析：直线与圆锥曲线的综合问题. 计算题.设以点P (- 2, 1)为中点的弦所在的直线与椭圆=1 交于 A (XI，y1)，B(X2, y2),由点
