1、完整版第十四章 整式乘除及因式分解知识点题型分类练习整式乘除及因式分解知识点梳理一、 幕的运算：1、 同底数幕的乘法法则： a m ? a n am n ( m, n都是正整数)同底数幕相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。2、 幕的乘方法则：(a m ) n a (m, n都是正整数)幕的乘方，底数不变，指数相乘。如： (35 )2 3o幕的乘方法则可以逆用：即 a- (a m )n (an )m 女山46 (42 f )23、 积的乘方法则： (ab)n anb ( n是正整数)。积的乘方，等于各因数乘方的积。4、 同底数幕的除法法则： am an a m n (a 0,
2、 m, n都是正整数，且m n)同底数幕相除，底数不变,指数相减。5、 零指数；a0 1 ,即任何不等于零的数的零次方等于 lo二、 单项式、多项式的乘法运算：6、 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如： 2x2y3 z?3xy 。7、 单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 m(a b c) ma mb me ( m, a, b, c 都是单项式)。如：2x(2 x 3 y) 3 y(x y)=。8、 多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加
3、。9、 平方差公式：(a b)(a b) a2 b?注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 女口： (x y z)( x y z)=10、 完全平方公式：(a b)2 a2 2ab b2三项式的完全平方公式：(a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc11、 单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幕分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含 有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意：首先确定结果的系数(即系数相除) ，然后同底数幕相除，如果只在被除式里含有的字母
4、，则连同它的指数作为商的一个因式。 如： 7a 2b 4 m 49a2 b12、 多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即： (am bm cm) m am m bm m cm m a b c三、因式分解的常用方法.1、 提公因式法(1) 会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：系数一各项系数的最大公约数；字 母一一各项含有的相同字母；指数一一相同字母的最低次数；(2)提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是，提取 完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检
5、验是否漏项.(3)注意点：提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；如果多项式的第一项的系数是 负的，一般要提出“一”号，使括号内的第一项的系数是正的.2、 公式法运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：1平方差公式： a 2-b2= ( a+b) (a-b)2完全平方公式： a2+ 2ab+ b2= (a+b) 2a 2 2ab + b2= ( ab) 23、在数学学习过程中，学会利用整体思考问题的数学思想方法和实际运用意识。如：对于任意自然数 n, (n 7) 2 (n 5)?都能被动24整除。四、乘法公式的变式运用1、位置变化，Xy y x2、符号变
6、化，Xy X y3、指数变化，x2y2 X2 y24、系数变化，2ab 2a b5、换式变化，xyz m xy z m6、增项变化，Xy z x y z7、连用公式变化，2x y x y x“ y 28、逆用公式变化，2x y z x y z考点1、考查整式的有关概念1.(2016?常德)A.2.(2016?上海)A-2a2b B3.(2015?崇左)A.52 与 254.A-5.整式的乘法和因式分解若-x3ya与xby是同类项，则a+b的值为（下列单项式中，与 a2b是同类项的是 a2b2ab2 3ab下列各组屮，不是同类项的是（.-ab 与 ba C . 0.2a 与- 5 a?b D .
7、（2015?柳州）在下列单项式中，与2xy是同类项的是（2x2y2 3yC xy2014?毕节）若m 4 n2 a b 与 5a2 m nb 可以合并成一项，则6.(2012?梅州）若代数式-4x6y与x2n y是同类项，则常数7.（2013江苏）若2a-b=5,则多项式6a-3b的值是a2b3与4xmm的值是（n的值为a3b2考点2、去括号、化简绝对值1.（2012?济宁）下列运算正确的是（A.-2 ( 3x - 1) = - 6x - 1 B.C.-2 ( 3x 1) =-6x- 2 D.-2 (3x 1) =- 6x+2(2015 ?济宁)化简16 ( x-0.5）的结果是（A-16x
8、- 0.5Be - 16x+0.5C. 16x -D.16x+83.（2016 佛山）化简m n （m n）的结果是（A-2m2n2m 2n4.（2013?新疆）若a,b为实数，且la + ll+阿刁=0,则（ab)2013的值是A.0B.lC. -1D. 15.若 xvyvz,则 | x-y |I y-z | + | z-xI的值为（ ）A.2x-2zB.OC.2x-2yD.2z-2x6. （ 2012?r州）下面的计算正确的是（A. 6a 5a=lB. a+2a2=3a3C. (a b)= a+b D.2(a+b)=2a+b7. ( 2012?浙江)化简：2(a 1) a考点3、根据题意列
9、代数式1.（ 2014?盐城）“x的2倍与5的和”用代数式表示为2.（ 2010 嘉兴）用代数式表示“ a. b两数的平方和”，结果为 o3.（2012?滨州）根据你学习的数学知识，写出 一个运算结果为 汕的算式4.（ 2012?浙江）某校艺术班同学，每人都会弹钢琴或古筝，其中会弹钢琴的人数比会弹古筝的人数多 10人，两种都会的有7人。设会弹古筝的有 m人，则该班同学共有 人（用含有 m的代数式表示）5.（ 2013?安徽）某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了 10%, 5月份比4月份增加了15%,贝I5月份的产值是( )A. ( a -10 %) ( a +15%)万元 b.
10、a ( l-io %) ( 1+15%)万元为mcm,宽为n cm）的盒子底部（如图）6.（ 2011?浙江）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片 （如图）不重叠地放在一个底面为长方形 （长,盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图屮两块阴a8a3= ai.如果a8写成下列各式，正确的共有（ ）A. 7个B.6个C.5个D.4个2.下列运算正确的是（)3 2 5A. x x x b.(X3 )3 X6C.X5 X5 Xioc 6 3 3D. X X X3.下面的计算正确的是（)A- 6a - 5a=lB.a+2a 2=3a3C. - ( a -b) = - a+bD.2 ( a+b) =2a
11、+b4.下列运算正确的是（)A.a+a=a 2B. (- a3) 2=a5C.3a?a2=a3D. ( V2a) 2=2a2a44 ) 2 ；(a 4 ) 4 ； a20a 4a12 ； a4a 4 ；(a 2 ) 4； a a?；（aA.x+x=x 2 B. x 24- x2=x2C. x x2 = x 4D.(2x2) 2=6x 66.下列计算正确的是 （）A.x 3 x2=2x6 B.x 4 x2=x8C.(-x2) 3=-X 6D.(x3)2=X57.下列计算正确的是（ ）5.下列运算正确的是（）A.a 2+ a4= a62)3= “62B.2a+ 3b= 5abC.(aD.a8.下列
12、运算正确的是9下列计算正确的是（）10下列计算正确的是11.下列计算正确的是（）A. a 2a 3a 2B.a2 a3 a、 C.a3a 3D.(a)3a312.下列运算正确的是()A. a3 a3 2 a6B.a6 a 3 a3 C.a3 a32a 3 D.(2a2 )3=8a613.下列计算正确的是()A. a3 a= a2B.(2a) 2=4a2C. x3 x2= x-6D.x64- x3 =9 x_14.下列计算正确的是()A. 2a 3b 5abB.a2? a 3 a 5 C.(a)3 a 363 926D.aaa15.下列计算正确的是()2 2 46 2 362 126 2 12A
13、.2a + a = 3aB.aF a = aC.a 1 a = aD.( - a)=a16.下列运算正确的是()4 3 12443 7A. x x xB.X3 X8 CX4x3 x x 0D. xX X17.下列运算正确的是()A.a 2 a3=a6B.a3-r a2=aC.(a3)2 = “9D.a2+a3=a518.下列计算正确的是( )44 853 2A. (a 4 ) 3 a 7B.3(a-2b ) =3a-2bC.a+a =aD.aa =a19.下列各式计算正确的是（ ）20.下列计算正确的是（）21.下列计算正确的是（ ）A. 3a 2a 1B.a4 a 6 a24C.2a2-a=
14、aD.(a b) 2 a 2 b 222.下列计算正确的是（23.下列运算正确的是（24.下列运算正确的是（25下列运算中,正确的是26.下列计算正确的是（27.28.（ 2014?扬州）若 3xy=3x 2y,则内应填的单项式是29.x+l x-l33.已矢口 2 3 =144 ,贝lj x= 34.如果(a3 )2 ax a 24 ,则 x .n m 3 9 1535.如果(a b ab ) = a b ,那么mn的值是 m n m+2n36.已矢口 a =2, a =3,贝9 a = ；37. 若 n/ 4 ,则 Di 36.若 a 2n 3,则 _39.若 3X4 97,则3*彳的值为
15、（)47_A. 7B.4C. 340.已知a-b =1,则代数式2a -2 b3的值是（）A.-1B.lC.-5D.541 42005O.252004220022003 200442.( 3 丿X (1.5)一(1) =-o38.已知 10m=3, 10n=2,贝lj 102m-n=43.已知 x y 5, xy 1 ,求 x? y ?；(x y) ?2D. 744.计算：(1)x4 y2 z3 ?1 X2 y2(2) 2x 2y377(4) 4x3 y2n 22xyn93 x 2 y 2 (3 ) 16 a b 4 a b6 223 、 . 十4 io2 10 (6) 16xy 1 X2 y
16、3 xy2 22 3 2 22 35 3ab c3 3 3a b2 38a b3 2 3 a 3ab b3ab9a(7)2a b 8 aab(8) 310(9)3(10) ( 4a3 12a3 b 7a 3b2 ) ( 4a2 ) (id4 a-x- _a4x3y3) 4-(5_a5xy 2)2考点5：因式分解求解【基础应用】1.解答题：将下列各式分解因式提公因式法:x4 x3y 12ab + 6b2a x 2 y 3b x 2y3x ( mn) + 2 (m n)(x 3) 2 6 ( 3x)y2 (2x+ 1) + y ( 2x+l) 2a b ( a b) +3ab (a b)y (xy
17、) 2 (yx) 32a ( x y) - 3b ( y x)2x2n-4x平方差公式a2 9 4 x2 92 22 27 ? 9*02 2a 4bm+ nx - 25a -144b16x -25y4a2- 9b2(a + b) 264(a+m) 2-(a+n) 2m4-81n4 (2a- 3b) 2- ( b+ a) 2完全平方公式(1) x2 10x 25解：原式=X 2 + 2 ()()(2) a2 8a 16解：原式=a 2 + 2 ()()(3) a2 4a 4解：原式=a 2 2 ()()(4) a2 12a 36解：原式=( )2+ 2()(5) x2 14x 49+()2=()
18、2+()2=()2+()2=()2()+ ()2 =()2原式=x 2 2 ( ) ( ) + ( ) 2=( ) 2(6) y 218y 81原式=y 27( )()+ ()2=()2(7) 4x24 1X解：原式=( )2 + 2 ()()+ ()2 = ()2(8) 9a 2 12a 4解：原式=( )2 + 2( )()+ ( ) 2 = ( ) 2(9)x 2 10 xy 25 y 2解：x2 lOxy 25y2 =()2 + 2 ()( )+ ( )2=(io) m2 4mn 4n2解：原式=m 2 2 ()( )+ ()2 = ( ) 2(11) x 2 16ax 64a 2解：
19、原式=X 2 + 2 ()( )+ ()2 = ( ) 2(12) 4a2 12ab 9解：原式=( )2 +2 ( )()+ ( ) 2 = ( ) 2a2 16a+ 64x2 4y2 + 4xyx y4 x y 4综合应用9a a32x2-88a I 1 疝-ab 3 4ab a 3ab28a2- 2 x3 9x4 2a 16a6 2 2 3 2 412a 3a b x 4x 2m4(a + &) |3m 2x y 2 3mn 2-x 3y+2x 2y - xy3 322 2 32 2a b aba a2x+4x+2x y - 2xy +y5x y + lOxy 15xy4x + 4x +
20、 x3x2 -6x4-32 23 (x+ y) 27a (x - y) +16 ( y- x)(y-? 7 9 7 1x) ( 3m n ) ( m 3n )(x y) + n9 7A. m n B. m m7.下列各因式分解正确的是( )A. - x2+( - 2)2 =(x - 2)(x+2)C.4x 2 - 4x+l=(2x - 1)21 C. m 2 n D.B.x 2+2x - l=(x - 1)2D.x 2 - 4x=2(x+2)(x - 2)m2 2m 1(a b) 22 ( a b) ( a + b) + ( a + b) 22.下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）3
21、 （ 2014?安徽）下列四个多项式屮，能因式分解的是（5.把a2 4a多项式分解因式，结果正确的是（ ）a b a b a b分解因式的正确结果是（ ）a. a 2b(a 2 6a 9) B. a2 b(a 3)(a 3)c. b( a 23) 2D.a 2b(a 3)29.下列分解因式正确的是()A. - a + a 3= - a ( 1+ a 2 )B.2 a - 4 b +2=2 ( a - 2 b)C. a 2 - 4= ( a - 2) 2D. a 2 - 2 a +1= ( a -1) 210.下列因式分解正确的是（)A.x 3 x= x(x 2 1) B.x2+ 3x+ 2=
22、x(x + 3) + 2 C.x2 y?=(x - y) 2D.x2+ 2x+ 1 = (x + 1)211.下列分解因式正确的是()A. - a +a 3= - a (1+ a 2)B.2 a -4b +2=2 ( a -2b) C.a 2 - 4=(a -2) 2D. a2 - 2 a +1= ( a - 1) 212.下列因式分解正确的是（)A.X 3 x= x(x 2 1) B.x2+ 3x+ 2= x(x + 3) + 2 C.x2 y-=(x - y) 2D.x2+ 2x+ 1= (x + l)2【能力提高】1.（ 2014?毕节）下列因式分解正确的是（2.4.若 x2- y2=
23、20,且 x+y=- 5,则 x- y 的值是(5若 a b=8, a2+ b2=82,则 3ab 的值为( )10. （ 2010?宁波）、若 x6 贝ij xy =_=12.已知x14下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（15.若9/ mXy 16 y2是一个完全平方式，那么 m的值是16.要使16x2+1成为一个完全平方式，可以加上一个单项式。17. 若25x2+30xy+k是一个完全平方式，贝U 1是（ ）2 2 2 2A.36y B.9y C.6y D.y18.二次三项式x2 kx 9是一个完全平方式，则k的值是19. 若9x2 kxy+ 4y2是一个完全平方式，贝ij k的值是
24、 .20. 当m二 时，多项式4 X? mxy 9 y?是一个完全平方式。21.若多项式X? 2ax 16能写成一个多项式的平方的形式，则 a的值为222.要使等式(x y) M (x2y）成立，代数式M应是（)A.2xy B.4xyC.4xy D.2xy23.（2010 ?安徽）因式分解:9x2 y2 4y 4 =24. （ 2011?山东）因式分解：a + d u 1 =25. （ 2010?浙江）因式分解：2mx24mx+ 2m =26.应用简便方法计算：(1 ) 2012 201(2) 2972(3) 10.3 2(4) 19992-2000 X1998(5) 4.3 X 199.8
25、+ 7.6 X 199.8 - 1.9 X 199.8(6) 200720072 2008 2006D.x 2+2x+1A.X 2 - 1 B.x ( x - 2) + ( 2 - x) C.x 2 - 2x+l2 228.( 2015?临沂)多项式 mxm与多项式x-2x+l的公因式是( )9A.x-1 B.x+1 C.x -1 D.(x-l) 229.(2010 ?遵义)已知 a 2 a 1 0,则 a? a 2009 .30.( 2014?孝感)若a - b=l,则代数式a2 - b2 - 2b的值为 .考点6：计算求值1. （ 2010?益阳）已知X 1 v 3,求代数式(x 1) 2 4( x 1)3.（ 2010?福建）计算:(x 2)(x 2) x(3 x).4.（ 2014?济南）计算:(a 3)(a 3) a (4 a)4.对于任意正整数n, 3n 22n 23n 2n -定是10的倍数。5.求证：257-5 12能被120整除6.证明：817 27 9 913能被45整除。7.已知 3x 12x2 17x10能被mx? mx 2整除，其商式为 x 5n ,求m、n的值。8.当a、b的值为多少吋,多项式 a
