1、数值计算试题库计算题数值计算试题库 - 计算题第一章1、（ 10 分 基础）设 f ( x) x 3 3x 2 4x 3，请用秦九韶算法计算 f (2) 。第二章2、（ 12 分 基础）已知数值表x0.50.60.7f x0.479430.564640.64422试用二次插值计算 f 0.57681 的近似值，计算过程保留五位小数。 （要写出二次插值多项式）3、（ 10 分 基础）用已知函数表x 0 1 2y 1 2 5求抛物插值多项式，并求 f ( 1 ) 的近似值。24、（ 12 分 基础）已知函数 y1的一组数据：x21xi012yi10.50.2求分段线性插值函数，并计算 f 1.5
2、的近似值 .5、（ 12 分 基础）依据如下函数值表x0124f ( x) 1 9 23 3建立不超过三次的拉格朗日插值多项式 .3196、（ 10 分 难）设 f ( x)x 2, x0, x1 1, x2（ 1）试求在上的三次 Hermite 插值44多项式 H ( x) 使满足 H ( x j )f (x j), j1,2,H ( x1 ) f ( x1 ) , H (x) 以升幂形式给出。 （2）写出余项 R(x) f (x)H (x) 的表达式7、（ 12 分 中等） 用余弦函数 cos x在 x0 0, x1 , x2 三个节点处的值写出二次 Lagrange 插值4 2多项式函数
3、 , 并近似计算 cos 及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。6第三章8、（ 12 分 中等）给定数据表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据 .9、（ 12 分 中等）某学生在大学一二年级各个学期的平均成绩如下：学期（ x ）1234平均成绩（y ）63.270.576.678.4试求出一条最佳的直线以反映其平均成绩的上升趋势， 并估计出他在大学三四年级各个学期的平均成绩，将表格填完整。10、（ 15 分 基础）已知函数表x112f (x)304（ 1）给出 Lagrange 二次插值多项式，并求f (0) 的近似值；（ 2）给出
4、均差意义下的Newton 二次插值多项式，并求f (0) 的近似值；（ 3）给出离散数据的线性拟合多项式，并求 f ( 0) 的近似值。11、（ 15 分 基础）利用已知的离散数据点（2， 4），（ 3，9），（ 5，25），分别1.给出 Lagrange 二次插值多项式，并求f (3.5) 的近似值；2.给出均差意义下的 Newton 二次插值多项式，并求f (3.5) 的近似值；3.给出离散数据的线性拟合多项式，并求f (3.5) 的近似值。第四章12、（ 12 分 中等）用紧凑格式解方程组410x11141x23014x31335x11013、（ 12 分 难）用改进平方根法求解方程组3
5、59x2165917x33014、（ 12 分 中等）用矩阵的直接三角分解法解方程组1020x150101x231243x3170103x472x1x2x3015、（ 12 分 中等）用紧凑格式的三角分解法求解线性方程组: x1x2x33x1x22x3116、（ 12 分 中等）用矩阵的直接三角分解法解方程组2426x1949615x22326918x3226151840x447第五章17、（ 12 分 中等）用高斯赛德尔迭代法求解线性方程组，已知TX 00,0,0,0，求X1 .计算过程中保留4 位有效数字，要求写出迭代格式。18、（ 12 分 中等）已知方程组210x11131x21012
6、x31(1)证明高斯塞德尔法收敛；(2)写出高斯塞德尔法迭代公式；(3)取初始值 X 00,0,0T，求出X110119、（ 12分 中等）求矩阵A010的谱半径 .202832x12020、（ 12分 中等）已知方程组4111x2336312x336（1） 证明雅可比法收敛（2） 写出雅可比迭代公式（ 3）取初值 X0T10,0,0 ，求出 X第六章21、（ 12分 难）用 n114 复化辛卜公式计算积分dx ，并估计误差。0 1xx22、（ 12分 中等） n4 时，用复化梯形与复化辛卜生公式分别计算积分1x2dx0423、（ 12112 dx .分 基础）写出梯形公式、辛卜生公式，并分别
7、用来计算积分0 1x24、（ 101f (x) dx A0 f (-1) + A1 f(0) + A2 f(1) 有二次代数精度，求A0， A1,， A2 。分难）若125、（ 12 分 难）试确定常数 A，B，C 和 ，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为 Gauss 型的？26、（ 12 分 难）对于求积公式hh f (0) f (h)h2 f (0) f (h)f ( x) d x02（ 1）求待定参数使得该求积公式代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度；h2 d x 的值。（ 2）用所求公式计算x0第七章27、（ 12分 中等）用
8、牛顿法求方程 x33x1 0 在 1,2 之间的近似根，计算保留6 位有效数字。要求 xn xn 10.00005，取 1 或 2 作为初始值。28、（ 12分 中等）用一般迭代法求方程x 34 x 1 0 在 0,0.5 内的根。(1)对方程同解变形，并检验压缩条件；(2)写出一般迭代法迭代公式；(3)选初始值 x0 0.5 ，求出 x1 。29、（ 12 分 难） . 若用二分法求f (x) = 0 在 1,2 之间近似根，精确到 0.01，求二分的次数n+1. . 设 f ( x)x3x 211, 若用牛顿法求解，请指出初值应取1 还是 2,为什么？30、（ 12 分 难）已知的( x)
9、 满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使0， 1 收敛？31、（ 10 分 基础）请用二分法计算方程f (x) x 33x 24x 30 的近似根， 并进行到第3 步为止。32、（ 12 分 中等）设 a0 ，给出用牛顿迭代法计算1 的公式，并根据初值x0 1.2345/ 20.61725a来计算1的值。（要求迭代 3 次）1.234533、（ 12 分 中等）对非线性方程f (x)(x 1) 3 ( x2)0 （小数点后保留5 位）。1.取 x00.9，用牛顿迭代法计算x1 , x2 ；2.取 x00.9 ，用计算重根的牛顿迭代格式计算x1 ,x2 ；3.取 x 00.9 ， x1
10、1.1 ，用弦截法计算 x2 , x3 ；第八章y x y234、（ 12 分 中等）用欧拉法解初值问题 在 0,1.5 上的数值解，取 h 0.5 ，计算过程保y 0 2留 5 位小数。（要求写出迭代公式）y 12xy1 x2 0 x 135、（ 12 分 中等）用欧拉预校公式求解初值问题y(0)0要求取步长 h0.5，计算 y(1) 的近似值。y x y36、（ 8 分 基础）已知微分方程y(0) 1取步长 h=0.1, 试用欧拉法求出满足已知微分方程和初始条件的函数 y 的前三个值。计算题参考答案第一章：1、（ 10 分）设 f ( x) x 3 3x 2 4x 3 ，请用秦九韶算法计算
11、 f (2) 。解 : 按秦九韶算法列表计算如下 : (2 分 )1 -3 4 -3x 2 2 -2 41 -1 2 1=f(2) （ 9 分 )所以 f (2)1. (10 分)第二章：2、（ 12 分）过 0.5,0.447943 ， 0.6,0.56464 ， 0.7,0.64422 作二次插值多项式P2xx0.6x0.70.47943x0.5x0.70.50.60.50.60.50.60.564640.70.7x0.5x 0.60.64422（ 4 分）0.70.50.70.6所以f0.57681P20.576810.576810.60.576810.70.50.60.50.70.47
12、9430.576810.50.576810.70.60.50.60.70.564640.576810.50.576810.60.70.50.70.60.64422（ 8 分）0.002860.009460.001780.644220.20.479430.10.564640.20.10.10.10.06856 0.534280.05738 0.54546（12 分）3、（ 10 分）作差商表：xiyi一阶差商二阶差商0 11 2 12 5 3 1（5 分）N2 x 1 x 0x 0 x 1 x211N151.25（10 分）f22424、（ 12 分）解 x0,1， Lxx11x00.510.5
13、x （ 4 分）0110x1,2， Lxx20.5x10.20.3 x 0.8 （8 分）1221所以分段线性插值函数为Lx10.5 xx0,110 分0.80.3xx1,2L1.50.80.31.50.3512 分5、（ 12 分）依据如下函数值表建立不超过三次的牛顿插值多项式.解插值基函数l 0 ( x)(x 1)( x 2)( x 4)1 x37 x 27 x 1(0 1)(0 2)(0 4)884l1 (x)(x 0)( x 2)( x 4)1 x32x 28 x(10)(12)(14)33l 2 ( x)(x 0)( x 1)( x 4)1 x35 x 2x(2 0)( 2 1)(
14、2 4)44l 3 (x)(x 0)( x 1)( x 2)1 x 31 x 21 x （ 6 分）(4 0)(4 1)(4 2)24812拉格朗日插值多项式为3L3 ( x)i 0f ( xi )li ( x)l 0 ( x)9l1 (x)23l 2 ( x)3l 3( x)=11 x345 x21 x 1 （ 12 分）4426、（ 10 分）（ 1） H ( x)14x3263 x 2233 x1（5 分）225450450251 951 )( x 1)2 ( x9 ) ，( x) ( 1 , 9 ) （ 10 分）（ 2） R( x)2 ( x4!1644447、（ 12 分）用余弦函
15、数cosx 在 x0 0, x14 , x22 三个节点处的值写出二次Lagrange 插值多项式函数 , 并近似计算 cos 6 及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。解 : 二次 Lagrange 插值多项式函数为 :L2 ( x)(xx1 )( x x2 ) y0(x x0 )( x x2 ) y1( xx0 )( x x1 ) y2( x0x1 )( x0x2 )( x1x0 )( x1x2 )( x2x0 )( x2x1 )( x4 )( x2 ) 1( x0)( x2 ) y1(x0)( x4 ) 0(6 分)(04 )(02 )( 40)( 42 )( 20)( 24
16、)(4x)(2x)(8x0)(2x)22122cos 6 的近似值为 :L2( )242242(8 分)9996其绝对误差与相对误差分别为:e cos6L2 (6)0.01528,ere / cos60.0176 (10 分 )cos3误差余项估计值为R2 ()(0)(4)()640.0239263!6662可以看出 , 误差余项略大于绝对误差. (12 分)第三章8、（ 12 分）给定数据表，试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据 .解 y( x) cc x cx 2cx301231248501001111010034A 1000 ，ATA034011111003401301248AT y(
17、2.9,4.2,7,14.4)T （ 6 分）法方程AT AcAT y （ 8 分）的解为 c00.4086 ， c10.39167， c20.0857 ， c3 0.00833得到三次多项式y( x) 0.4086 0.39167x 0.0857x 2 0.00833x3 （ 12 分）9、（ 12 分）某学生在大学一二年级各个学期的平均成绩如下：学期（ x ）1234平均成绩（ y ）63.270.576.678.4试求出一条最佳的直线以反映其平均成绩的上升趋势， 并估计出他在大学三四年级各个学期的平均成绩，将表格填完整。解 : 用最小二乘法求解 .设所求的直线为y abx ,则整体误差为 :4yi ) 2E(a, b)(abxi(2 分)i 1E4404abxiyia由得关于 a, b 的线性方程组为 :i 1i14,即E044a xib xi2xi yibi1i 1i 14a 10b 289.7,(7分)10a 30b 747.6解得 a 60.75 , b 4.67所以所求的直线为 y 60.75 4.67 x .(9 分 )将 x 5,6,7,8 分别代入 y 60.75 4.67 x 后可估计得出他在大学三四年级各个学期的平均成绩分别为 :y 84.1, 88.77 , 93.44, 98
