1、备战中考数学反比例函数的综合压轴题专题复习含答案docx2020-2021 备战中考数学反比例函数的综合压轴题专题复习含答案一、反比例函数1平行四边形 ABCD的两个顶点 A、 C 在反比例函数 y= （ k0）图象上，点 B、 D 在 x 轴上 ， 且 B 、 D 两 点 关 于 原 点 对 称 ， AD 交 y 轴 于 P 点（1）已知点 A 的坐标是（ 2， 3），求 k 的值及 C 点的坐标；（2）在（ 1）的条件下，若 APO 的面积为 2，求点 D 到直线 AC 的距离【答案】 （1）解： 点 A 的坐标是（ 2， 3），平行四边形 ABCD 的两个顶点 A、 C 在反比例函数 y
2、= （ k0）图象上，点B、D 在x 轴上，且B、 D 两点关于原点对称，3=，点 C与点 A 关于原点 O对称，k=6， C（ 2， 3 ），即 k 的值是 6， C 点的坐标是（2， 3）；（ 2 ） 解 ： 过 点 A 作 AN y 轴 于 点 N ， 过 点 D 作 DM AC ， 如 图 ，点 A（ 2， 3）， k=6，AN=2， APO 的面积为 2， ，即 ，得 OP=2，点 P（ 0， 2），设过点 A（ 2， 3）， P（ 0， 2）的直线解析式为 y=kx+b，得 ，过点 A（ 2， 3）， P（ 0， 2）的直线解析式为 y=0.5x+2，当 y=0 时， 0=0.5x
3、+2，得 x= 4，点 D 的坐标为（ 4， 0），设过点 A（ 2， 3）， B（ 2， 3）的直线解析式为 y=mx+b ，则 ，得 ，过点 A（ 2， 3）， C（ 2， 3）的直线解析式为 y=1.5x，点 D 到直线 AC 的直线得距离为： = 【解析】 【分析】（ 1）根据点 A 的坐标是（ 2， 3），平行四边形 ABCD 的两个顶点 A、 C在反比例函数 y= （ k0）图象上，点 B、 D 在 x 轴上，且 B、 D 两点关于原点对称，可以求得 k 的值和点 C 的坐标；（ 2）根据 APO 的面积为 2，可以求得 OP 的长，从而可以求得点 P 的坐标，进而可以求得直线 A
4、P 的解析式，从而可以求得点 D 的坐标，再根据点到直线的距离公式可以求得点 D 到直线 AC 的距离2如图，已知直线 y=ax+b 与双曲线 y= （ x 0）交于 A（x1， y 1）， B（ x2 ， y2）两点（ A 与 B 不 重 合 ） ， 直 线 AB 与 x 轴 交 于 P（ x0， 0 ） ， 与 y 轴 交 于 点C（1）若 A， B 两点坐标分别为（ 1， 3），（ 3， y2 ），求点 P 的坐标（2）若 b=y1+1，点 P 的坐标为（ 6，0），且 AB=BP，求 A， B 两点的坐标（3）结合（ 1），（ 2）中的结果，猜想并用等式表示x1 ， x2， x0 之间
5、的关系（不要求证明）【答案】 （1）解： 直线 y=ax+b 与双曲线 y= （x 0）交于 A（ 1， 3）， k=13=3，y= ，B（ 3，y2）在反比例函数的图象上，y2= =1，B（ 3，1），直线 y=ax+b 经过 A、B 两点， 解得 ，直线为 y=x+4，令 y=0，则 x=4，P（ 4， O）（2）解：如图，作 AD y 轴于 D， AE x 轴于 E，BF x 轴于 F， BG y 轴于 G， AE、BG交于 H， 则 AD BG x 轴， AE BF y 轴， = ， = = ，b=y1+1，AB=BP， = ，= ，B（ ， y1）A，B 两点都是反比例函数图象上的点
6、，x1?y1=? y1 ，解得 x1=2，代入 = ，解得 y1=2，A（2， 2）， B（ 4，1）（3）解：根据（ 1），（ 2）中的结果，猜想： x1 ， x2 ， x0 之间的关系为 x1 +x2=x0【解析】 【分析】（ 1）先把 A（ 1 ， 3）， B（ 3， y2）代入 y= 求得反比例函数的解析式，进而求得 B 的坐标，然后把 A、B 代入 y=ax+b 利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而即可求得 P 的坐标；（ 2）作 AD y 轴于 D， AE x 轴于 E， BFx 轴于 F，BG y轴于 G， AE、BG 交于 H，则 AD BG x 轴， AE BF y 轴，
7、得出 = ， = = ，根据题意得出 = ， = = ，从而求得 B（ ， y1），然后根据 k=xy 得出 x1?y1=? y1 ， 求得 x1=2，代入= ，解得 y1=2，即可求得A、B 的坐标；（ 3）合（ 1），（ 2）中的结果，猜想 x1+x2=x03如图直角坐标系中，矩形 ABCD的边 BC 在 x 轴上，点 B， D 的坐标分别为 B（1， 0），D（ 3， 3）（1）点 C的坐标 _；（ 2）若反比例函数 y= （ k0）的图象经过直线m），求 m 的值及反比例函数的解析式；（3）若（ 2）中的反比例函数的图象与 CD 相交于点AC 上的点F，连接E，且点EF，在直线E 的坐
8、标为（AB 上找一点2 ，P，使得 S PEF= S CEF ， 求点 P 的坐标【答案】 （1）（ 3， 0）（2）解： AB=CD=3， OB=1，A 的坐标为（ 1， 3），又 C（3， 0），设直线 AC 的解析式为 y=ax+b，则 ，解得： ，直线 AC 的解析式为 y= x+ 点 E（ 2， m）在直线 AC 上，m= 2+= ，点 E（ 2， ）反比例函数 y= 的图象经过点 E，k=2 =3，反比例函数的解析式为 y=（3）解：延长 FC 至 M ，使 CM=CF，连接 EM，则 SEFM=）S EFC ， M（ 3， 0.5在 y= 中，当 x=3 时， y=1，F（3，
9、1）过点 M 作直线 MP EF交直线 AB 于 P，则 SPEF=SMEF 设直线 EF的解析式为 y=ax+b， ，解得 ，y= x+ 设直线 PM 的解析式为 y= x+c，代入 M（ 3， 0.5），得： c=1，y= x+1当 x=1 时， y=0.5，点 P（ 1， 0.5）同理可得点 P（ 1， 3.5）点 P 坐标为（ 1， 0.5）或（ 1， 3.5）SPEF=SMEF【解析】 【解答】解：（ 1） D（ 3， 3），OC=3，C（3，0）故答案为（ 3， 0）；【分析】（ 1）由 D 的横坐标为 3，得到线段 OC=3，即可确定出 C 的坐标；（ 2）由矩形的对边相等，得到
10、 AB=CD，由 D 的纵坐标确定出 CD的长，即为 AB 的长，再由 B 的坐标确定出 OB 的长，再由 A 为第一象限角，确定出 A 的坐标，由 A 与 C 的坐标确定出直线 AC 的解析式，将 E 坐标代入直线 AC 解析式中，求出 m 的值，确定出 E 的坐标，代入反比例解析式中求出 k 的值，即可确定出反比例解析式；（ 3）延长 FC 至 M ，使 CM= CF，连接EM，则 S EFM= SEFC ， M （ 3， 0.5）求出 F（ 3，1），过点 M 作直线 MP EF交直线AB 于 P，利用平行线间的距离处处相等得到高相等，再利用同底等高得到 此时直线 EF 与直线 PM 的
11、斜率相同，由 F 的横坐标与 C 横坐标相同求出 F的横坐标，代入反比例解析式中，确定出 F 坐标，由 E 与 F 坐标确定出直线 EF 斜率，即为直线 PM 的斜率，再由 M 坐标，确定出直线 PM 解析式，由 P 横坐标与 B 横坐标相同，将横坐标代入直线 PM 解析式中求出 y 的值，即为 P 的纵坐标，进而确定出此时 P 的坐 B标4阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。对于任意正实数 a 、 b ， 可 作 如 下 变 形 a+b= = - + =+,又 0， + 0+ ，即 （1）根据上述内容，回答下列问题：在定值 p ， 则 a+b ，当且仅当 a、b
12、（ a、 b 均为正实数）中，若满足 _时， a+b 有最小值 ab为（2）思考验证：如图 1， ABC 中， ACB=90，CD AB，垂足为 D， CO 为 AB 边上中线， AD 2a ， DB 2b, 试根据图形验证 成立，并指出等号成立时的条件（3）探索应用：如图 2，已知将一块三角板的直角顶点放在A 为反比例函数 的图象上一点， A 点的横坐标为 1， A 处旋转，保持两直角边始终与 x 轴交于两点 D、 E，F（ 0，-3）为 y 轴上一点，连接 DF、 EF，求四边形 ADFE面积的最小值【答案】 （1） a=b（2）解：有已知得CO=a+b,CD=2,COCD,即2.当 D与
13、 O重合时或a=b 时，等式成立 .（3）解：当 DE 最小时 S 四边形 ADFE最小 .过 A 作 AH x 轴，由（ 2）知：当DH=EH时， DE 最小，,所以 DE 最小值为 8，此时 S四边形 ADFE= （ 4+3） =28.【解析】 【分析】（ 1）根据题中的例子即可直接得出结论。（2）根据直角三角形的性质得出 CO=a+b，CD= ，再由（ 1）中的结论即可得出等号成立时的条件。（3）过点 A 作 AH x 轴于点 H，根据 S 四边形 ADFE=S， 可知当 DH=EH 时 DE 最ADE+S FDE小，由此可证得结论。5 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A（
14、 ， 6）和点 B（ -3，），直线 AB 与轴交于点C（1）求直线（2）求AB 的表达式；的值【答案】 （1）解： 点 A（ ， 6）和点B（ -3，）在双曲线， m=1， n=-2，点 A（ 1， 6），点 B（ -3， -2），将点 A、 B 代入直线，得，解得，直线 AB 的表达式为：（2）解：分别过点 A、B 作AM y 轴， BNy轴，垂足分别为点M、N，则 AMO BNO 90， AM=1，BN=3，AM/BN ， ACM BCN，【解析】 【分析】根据反比例函数的解析式可得 m 和 n 的值，利用待定系数法求一次函数的表达式；作辅助线，构建平行线，根据平行线分线段成比例定理可得
15、结论6如图，已知直线 与 x、y 轴交于 M、 N，若将 N 向右平移 个单位后的 N ， ， 恰好落在反比例函数 的图像上（1）求 k 的值；（2）点 P 为双曲线上的一个动点，过点P 作直线 PA x 轴于 A 点，交 NM 延长线于 F点，过 P 点作 PB y 轴于 B 交 MN 于点 E.设点 P 的横坐标为 m 用含有 m 的代数式表示点 E、 F 的坐标 找出图中与 EOM 相似的三角形，并说明理由【答案】 （1）解：当 时， ，.把 代入 得，（2）解： 由（ 1）知 .当 时， ,.当 时， ，E(2，). , ， , ， ，,由一次函数解析式得 OME=ONF=45【解析】
16、 【分析】（ 1）当 x=0 时，求出 y=2 ， 得出 N(0,2 ) ，由平移的性质得出N(3,2 ) .把 (3,2 ) 代入 y= 得 k=6.（2） 由（ 1）可设 P(m, ) .当 x=m 时，求出 y=-m+2 ,即 F(m,2 -m) ；当 y= 时，求出 x=2 - ，即 E(2 - ， ). ON=2 , EM= ， OM=2得 OME= ONF=45；推出 EOM, NF= OFN.，从而得出OMNF=EMON.由一次函数解析式7 在平面直角坐标系 xOy 中，对于双曲线 y= （m 0）和双曲线 y= （ n 0），如果m=2n ，则称双曲线 y= （ m 0 ）和双
17、曲线 y= （ n 0）为 “倍半双曲线 ”，双曲线 y=（m 0）是双曲线 y= （ n 0）的 “倍双曲线 ”，双曲线 y= （ n 0）是双曲线 y= （ m0）的 “半双曲线 ”，（ 1）请你写出双曲线 y= 的 “倍双曲线 ”是 _ ；双曲线 y= 的 “半双曲线 ”是_；（2）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 是双曲线 y= 在第一象限内任意一点，过点 A 与 y 轴平行的直线交双曲线 y= 的“半双曲线 ”于点 B，求 AOB 的面积；（3）如图 2，已知点 M 是双曲线 y= （ k0）在第一象限内任意一点，过点 M 与 y 轴平行的直线交双曲线 y= 的 “
18、半双曲线 ”于点 N，过点 M 与 x 轴平行的直线交双曲线 y=的“半双曲线 ”于点 P，若 MNP 的面积记为 S MNP ， 且 1SMNP2，求 k 的取值范围【答案】 （1） y=；y=（2）解：如图 1，双曲线 y= 的“半双曲线 ”是 y= ， AOD 的面积为 2， BOD 的面积为 1， AOB 的面积为 1（3）解：解法一：如图 2，依题意可知双曲线 的 “半双曲线 ”为 ，设点 M 的横坐标为 m，则点 M 坐标为（ m， ），点 N 坐标为（ m， ），CM= ， CN= MN= = 同理 PM=m = SPMN= MN?PM=1 SPMN2，1 24 k 8，解法二：
19、如图 3，依题意可知双曲线 的 “半双曲线 ”为 ，设点 M 的横坐标为 m，则点 M 坐标为（ m， ），点 N 坐标为（ m， ），点 N 为 MC 的中点，同理点 P 为 MD 的中点连接 OM， ， PMN OCM SOCM=k，SPMN= 1 SPMN2，1 24 k 8【解析】 【解答】解：（ 1）由 “倍双曲线 ”的定义双曲线 y= ，的 “倍双曲线 ”是 y= ；双曲线 y= 的 “半双曲线 ”是 y= 故答案为 y= ，y= ；【分析】（ 1）直接利用 “倍双曲线 ”的定义即可；（ 2）利用双曲线的性质即可；（ 3）先利用双曲线上的点设出 M 的横坐标，进而表示出 M ，N
20、的坐标；方法一、用三角形的面积公式建立不等式即可得出结论；方法二、利用相似三角形的性质得出 PMN 的面积，进而建立不等式即可得出结论8如图 1，抛物线 y ax2 4ax+b 经过点 A（ 1， 0），与 x 轴交于点 B ， 与 y 轴交于点C， 且 OBOC（1）求抛物线的解析式；（2）将 OAC沿 AC 翻折得到 ACE ， 直线 AE 交抛物线于点 P ， 求点 P 的坐标；（3）如图 2，点 M 为直线 BC 上一点（不与 B、 C重合），连 OM ， 将 OM 绕 O 点旋转90，得到线段 ON ， 是否存在这样的点 N ， 使点 N 恰好在抛物线上？若存在，求出点N的坐标；若不
21、存在，说明理由【答案】 （ 1）解：由题意知：抛物线的对称轴为： x=2，则 B（ 3， 0）；已知 OB=OC=3，则 C（ 0， -3）；设抛物线的解析式为： y=a（ x-1）（ x-3），依题意有：a（ 0-1）（ 0-3） =-3， a=-1；故抛物线的解析式为： y=-x2+4x-3（2）解：设 AE 交 y 轴于点 F；易证得 FOA FEC ， 有 ，设 OF x ， 则 EF 3x ，所以 FA3x 1；在 Rt FOA中，由勾股定理得：（3x 1） 2 x2+1，解得 x ；即 OF ，F（0， ）；求得直线 AE 为 y x+ ，联立抛物线的解析式得： ，解得 ， ；故点
22、P（ ， ）（3）解： B（ 3，0）， C（ 0， 3），直线 BC：y x 3；设点 M（ a ， a 3），则： 当点 M 在第一象限时， OG a ， MG a 3；过 M 作 MG x 轴于 G ， 过 N 作 NH x 轴于 H；根据旋转的性质知： MON 90， OMON ，则可证得 MOG NOH ， 得：OGNH a ， OH MG a 3，故 N（ a 3， a），将其代入抛物线的解析式中，得：（ a 3） 2+4（ a3） 3 a ，整理得： a2 11a+240，a3（舍去）， a 8；故 M （8， 5）， N（ 5， 8） 当点 M 在第三象限时， OG a ， M
23、G 3 a；同 可得： MG OH 3 a ， OG NH a ， 则 N（ 3 a ， a），代入抛物线的解析式可得：（ 3 a） 2+4（ 3a） 3 a ，整理得： a2 a 0，故 a 0， a 1；由于点 M 在第三象限，所以 a 0，故 a 0、 a 1 均不合题意，此种情况不成立； 当点 M 在第四象限时， OG a ， MG 3 a；同 得： N（ 3a ， a），在 中已经求得此时 a0（舍去）， a 1；故 M （1， 2）， N（2， 1）；综上可知：存在符合条件的N 点，且坐标为 N（ 2， 1）或（ 5， 8）【解析】 【分析】（ 1）根据抛物线的解析式，可得抛物线的
24、对称轴方程，进而可根据点A的坐标表示出点 B 的坐标，已知 OB=OC，即可得到点 C 的坐标，从而利用待定系数法求得抛物线的解析式（ 2）点 P 为直线 AE 和抛物线的交点，欲求点P，必须先求出直线AE 的解析式；设直线 AE 与 y 轴的交点为 F，易得 FOA FEC，由于 OA=1， EC=3，根据相似三角形的对应边成比例即可得到 FE=3OF，设 OF=x，则 EF=3x， AF=3x-1，进而可在 Rt FOA 中求出 x 的值，也就能求出 F 点的坐标，然后利用待定系数法求出直线 AE 的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点 P 的坐标（ 3）此题应分三种情况讨论： 当点 M
25、在第一象限时，可设 M（ a， a-3），由于 ON 是由 OM 旋转 90而得，因此 OMN 是等腰直角三角形，分别过 M 、 N 作 MG 、 NH 垂直于 x 轴，即可证得 OMG NOH，得 MG=OH，NH=OG，由此可表示出 N 点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得点 M、 N 的坐标； 当点 M 在第三象限， 点 M 在第四象限时，解法同 9如图 1，抛物线与 轴交于、两点，与轴交于点 ，顶点为点（1）求这条抛物线的解析式及直线（ 2） 段 上一动点（点 不与点的长为 ，四边形 的面积为的解析式；、 重合），过点 向 轴引垂线，垂足为求 与 之间的函数关系式及自变量，设的取值范围；（ 3）在线段上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（ 1）解： 抛物线与轴交于、两点，解得：，二次函数的解析式为，设直线的解析式为，则有，解得：，直线的解析式为（2）解： 轴，点 的坐标为， 为线段 上一动点（点 不与点 、 重合）， 的取值范围是 （ 3）解：线段 上存在点 ， ， 使 为等腰三角形；， ，当 时， ，解得 ， （舍去），此时 ，
