1、上海市重点中学重要考题精选及精解上海市重点中学重要考题精选及精解1、 （ 14 分）已知集合 A =x 丨匸2 Z0,xe R, B = x |x 2a 匡 2,xw R,若x 3AU B= R求实数a的取值范围。解：A=（_：,2U（3, ：），B 二2a_2,2a 2若AUB = R，则羽一童2，得丄2|2a + 2 艺3 222、 （ 16分）已知关于x的不等式（kx-k 4）（x-4） .0，其中k R。试求不等式的解集 A ；对于不等式的解集 A，若满足ARZ =B （其中Z为整数集）。试探究集合B能否为有 限集？若能，求出使得集合 B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合
2、 B ;若不能，请说明理由。解:（ 1 ）当 k =0时，A=（-：,4）；当 k 0且 k = 2时，A = （：,4）U（k 4,=）；k当k =2时，A =（-：,4） U（4,=）;（不单独分析k=2时的情况不扣分）4当 k : 0 时，A = （k ,4）。（ 10 分）k（2）由（1）知：当k _0时，集合B中的元素的个数无限；当k : 0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合 B为有限集。（12分）4因为k 4，当且仅当k - -2时取等号，k所以当k = -2时，集合B的元素个数最少。（14分）此时 A 二-4,4，故集合 B -3,-2,-1,0,1,2,3?。（ 16分）3
3、、 （ 18分）对定义在0, 1上，并且同时满足以下两个条件的函数 f （x）称为G函数。1对任意的x 0, 1，总有f（x） _0 ；2当 _0 ,X2 _ 0, % X2 -1 时，总有 f （% X2） _ f （xj f（X2）成立。已知函数g（x） =x2与h（x） =a 2x -1是定义在0, 1上的函数。（1 ）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；（2） 若函数h（x）是G函数，求实数a的值；（3） 在（2）的条件下，讨论方程 g（2x -1） h（x）二m （mR）解的个数情况。解: ( 1)当x 0,11时，总有g(x) = x2亠0，满足， 1分当 x 0, x2 0
4、 , x1 x2 1 时，2 2 2 2g(X1 X2)= X1 X2 2X1X2-X1 X2 =g(X1)g( X2)，满足 4 分(2)若a 1时，h(0) = a -1 0 不满足，所以不是 G函数； 5分若a -1时，h( x)在0,1上是增函数，则h (x) 一 0 ,满足 6分由 h(x1 x2) - h(x1) h(x2)，得 a 2X1 X2 -1 - a 2X1 -1 a 2X2 -1 ,即 a1 _ (2X1 -1)(2X2 _1)岂 1 , 7 分因为 -0 ,x2 - 0, % x2 乞 1 9分当x1=x2 = 0 时，(11 - (2X1 -1)( 2X1 -1)m
5、in = 1a _ 1， 11 分综合上述：a 1(3)根据(2)知：.0 2x -仁 1 由0乞 x 1a=1,方程为 4x -2x 二 m ,得 x. 0,1 12分 1 4分.0 - (2X1 -1)( 2X1 -1) 1a _ 1 - (2X1 -1)( 2X1 _1) 1 6分 18分1 1 令 2x =t 1,2，则 m =t2 -t = (t )2 - 2 4由图形可知：当 m0,2时，有一解；当m (,0) (2八：)时，方程无解。4.(本题12分)已知方程x2 - px 1 = 0( p R)的两根为x(, x2，若|为- x2 |= 1，求实数p的值 p2-4_0,即卩p
6、_ 2或p _-2时，由求根公式得|x|-x2|二p2-4解：当 _ _由 J p? 4 = 1,得 p = J5或 p = V5p24 ： 0,即-2p 0) gn x 二 nlog2 x 2 ( x -2, n N )(2)据题设，得：方程 4log2 x 2 =2log2 x a有实根2 即：x 2 x a ( x -2)有实根a=x2 3x 4_7 A=7,：4 *丿1(3)据题设，有F x二- log 2 x 2 ( x -2 )1和log2 x 2分别是-2,匸：上的减函数x 2.F x在-2上是减函数 F x区间l.a,b 1上的值域为 F b ,F aF (a )=log2a
7、22 二 a = 2, b = 3F b Rog? _L b +28.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分6分.阅读下面题目的解法，再根据要求解决后面的问题阅读题目：对于任意实数a1,a2,b1,b2，证明不等式2 2 2 2 2(a1b1 +a2b2) (a1 + a2 )(b + b2 )证明：构造函数2 2 2 2 2 2 2 f (x (a1x b|) (a2x b2) (a1 a2 )x 2(a1b1 a2b2)x (b1 b2 )注意到f(x)-0，所以2 2 2 2 2-2(a1b1 a2b2)2 -4(a1 a2 )($ b2
8、) 02 2 2 2 2即(aQ +a2b2) 所以不等式x y x y成立.（其中等号成立当且仅当 、 x，即ay=次.）10 ： x ：2，所以2 2?_+丄=(a b)2，2分-b22）进行推广,解(2)因为2 9y =x1 -2x 2x 1 -2x2(2 3)一 2x (1 -2x)-251 1 x = _ w (0_)(其中等号成立当且仅当2(1 - 2x) = 3 Ex即 5 2 .2亠9 小 1、 1y=_ + (0cx) x=_10分所以函数 x 1-2x 2有最小值25，此时 5解(4)可将不等式推广到n元的情形，即 只寸于任意实数 a1 , a2 , I I ( ,an ；
9、 一 , b2, I I ( , bn2 2 2 2 2 2 2 不等式(aQ a?b2 anbn)- a2 an)(bi b2 HI - bn )成立. 13分证明如下：设 f (x) =(6X bj (a?x b2) |l (anX bn)2 2 2 2 2 2 2=(a1 a2 | an )x 2(4 azd anbn)x (4 b? bn )注意到f(x) -0，所以2 2 2 2 2 2 2=2佝0 a?b2 |l| and) -4(印 a2 | a. )(4 b 10 bn 02 2 2 . 2 2 2 2即(ab +a2S + 川+anbn)兰佝 +a2 + |+ an )(b
10、+b2 +j|+bn)馅分苴中等号成立当且仅当 a1x =a2x，b2 = |l|=anx，bn = 016分即 aibj =ajb(i, j =1,2，川，n,i 鼻 j) 9.(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8 分.1已知函数f(x) =2x | | .2凶若f (x) =2，求x的值；若2tf(2t) mf(t0对于t 2, 3恒成立，求实数 m的取值范围.(1)当 x：0 时，f(x)=0 ;当 x_0 时，f(x)=2x 1- 2x(1)(2)由条件可知2x 丄=2，即22x -2 2x -0 ,2x解得 2x =1 _、.2 2x 0 , x 二叽
11、 12 .2t 1222t(2)当 t 可1, 2时，2t即 m 22t - 22t -1弓-0,10分_1 辰 _(24t 1 .0， . m _ - 22t 1 7 t 2, 3, - 1 22t -65,-17，故m的取值范围是-17,=). 13分16分10.(本题满分18分)本题共有4个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4 分, 第1小题满分5分，第2小题满分5分.设函数f(x)是定义在R上的偶函数.若当x _0时，f (x)=11 xp,x 0;(1)(2)(3)(4)求f (x)在(-二,0)上的解析式.请你作出函数f(x)的大致图像.当0 ： a : b时，若f(a) = f
12、(b)，求ab的取值范围.关于x的方程f 2(x) bf (x) 0有7个不同实数解，求b,c满足的条件.解(1) 当 X (-0)时，f(x)二11 1f(-x)=11十一-xx(2) f(x)的大致图像如下:8分11分二 a b = 2ab 2, ab解得ab的取值范围是(h=：). 13分(4)由(2),对于方程f(x) =a，当a=0时，方程有3个根；当Ocac1时，方程 有4个根，当a-1时，方程有2个根；当a ”： 0时，方程无解.15分2所以，要使关于x的方程f (x) bf(x) 0有7个不同实数解，关于f(x)的方程2f (x) bf(x) 0有一个在区间(0,1)的正实数根
13、和一个等于零的根。18分所以 C =0, f (x) = 4 E (0,1)，即1 cbc 0,c = 0. 11.(本题满分18分，第(1 )题5分，第(2)题5分，第(3)题8 分)已知函数 f(x)二 a - 2(x =0)。 |x|(1)若函数f (x)是(0,=)上的增函数，求实数 b的取值范围；(2) 当b=2时，若不等式f(x) ：x在区间上恒成立，求实数 a的取值范围；(3)对于函数g(x)若存在区间m, n(m ： n)，使x m,n时，函数g (x)的值域也是m,n，则称g(x)是m, n上的闭函数。若函数 f (x)是某区间上的闭函数，试探求a,b应满足的条件。f (Xi
14、) - f (x2)=b(x0b -b f(m) = n 亦当b ：0时，f(x) =a a 在(0,匸：)上递减，则 ，即| x | x i f (n) = mrba彳nm =a = 0，所以 a=0,bc0abmmn 二-bIn若 m ： n ： 0i4分当b 0时，f（x）二a-a -是（-：,0）上的减函数，所以f（m）= n，即|x|xi f (n) = ma丄二 n _m a bna =0= ，所以|mn 二 b二 ma 二 0, b r 015分13、（12 分）已知关于x的不等式：(a 1)x -3 d1.x 1（1 ）当a =1时，求该不等式的解集； （2）当a 0时，求该不
15、等式的解集.ax 2解：原不等式化为：竺上：0x1（1 ）当a=1时，该不等式的解集为（1，2）； 4 分2x - （2 ）当a0时，原不等式化为： a : 0 .x -12当0a2时，解集为（ ，1） . 4 分a14、（ 14分）设f （x） - ax2 bx，求满足下列条件的实数 a的值：至少有一个正实数 b，使函数f （x）的定义域和值域相同。解：（1 ）若a = 0，则对于每个正数 b， f （xH bx的定义域和值域都是0,=）故a=0满足条件 4分（2）若a a 0，则对于正数b，f （x） = Jax2 + bx的定义域为D = -, 一卫b,咼）,苗 + 丽所以 AB 。 .
16、 4ax 516.(本题满分12分)已知关于x的不等式 0的解集为M 。x a(1)当a =4时，求集合M ；(2)若3 M且5 “ M，求实数a的取值范围。4x 5解：(1)a =4时，不等式为 飞一5 ：0,解之，得x2 4(2) a =25时,30、25 ac 5 a 9ora :31 a ： 255 、二 a 1, - 9,25 5-3a =25时，不等式为 学 -0,解之，得 M 二,-5 一丄,5 ,X2 -25 15 丿贝U 3M且5 r M , a =25满足条件 .2综上，得 a 1,5 9,25】。 . .11 3丿x17.(本题满分16分)函数f(X)=X -1 求证：f
17、 (x)的图像关于直线y=x对称； 函数y= ax- a+ 2的图像与函数f (x)的图像有且只有一个交点，求实数 a的值； 是否存在圆心在原点的圆与函数 f (x)的图象有且只有三个交点，如果存在，则求出此圆的半径；如果不存在，请说明理由。1 1解： 解一：由f (x)= 1+ 可知函数图像即为反比例函数 y=的图像经向右平移 1x- 1 x个单位后再向上平移1个单位得到。则函数图像关于直线y=x对称 .4Y解二：函数 f(x)的反函数f-1(x)= = f(x)，所以f (x)的图像关于直线 y=x对X- 1 由题意得 一L = ax- a + 2有且只有一解。称 .4x- 11a =0时
18、，由判别式等于 0可得a= - 34a= 0时，由图像易得同样满足题意 2所以 a= 0或a = - 1 14f (x)的图像必在第一象限相解一：由函数图像可得若存在满足题意的圆，则圆与函数切，即圆过(2, 2)点，可得圆半径为2 2 ,所以存在满足题意的圆， 其半径为2 2.4r =2 2代回检验得满足题目要求，所以存在满足题意的圆，其半径为 2.2.2解二：由与圆的对称性可得交点必关于直线 y=x对称 .2如果有且仅有三个交点， 则必有一个交点在直线 y=x上，即这个交点就是函数 y= f (x)与直线y=x的交点 .2 求得交点有两个(0, 0)、(2, 2),其中(0, 0)不满足题意
19、，而过(2, 2)时圆的半径为 2. 2。r =22代回检验得满足题目要求，所以存在满足题意的圆，其半径为 2所以存在满足题意的圆，其半径为 2 2 .218.(本题满分16 分)对于函数f (x)，若存在X。 R，使f(x) 成立，则称点(X0,xJ为函数的不动点。(1 )已知函数f (x)二ax2 bx -b(a = 0)有不动点(1, 1)和(-3 , -3 )求a与b的值；(2) 若对于任意实数b，函数f(x) =ax bx-b(a = 0)总有两个相异的不动点，求 a的 取值范围；(3) 若定义在实数集 R上的奇函数g(x)存在(有限的)n个不动点，求证：n必为奇数。解: (1)由不
20、动点的定义: f(x) - x =0 , ax2 (b -1)x -b = 0 .1代入 x =1 知 a =1，又由 x -3及 a =1 知 b = 3。 .2- a=1 , b=3。 1(2)对任意实数b , f (x) =ax2 bx -b(a = 0)总有两个相异的不动点， 即是对任意的实数b，方程f (x) 一 x = 0总有两个相异的实数根。 1二 ax2 (b -1)x -b = 0 中厶=(b -1)2 4ab 0 ,即 b2 (4a-2)b 10恒成立。 22故二 i = (4a -2) 4 ： 0 ,. 0 ： a ： 1。 2故当0 ： a ： 1时，对任意的实数b ,方程f (x)总有两个相异的不动点。 1(3 ) g(x)是R上的奇函数，则g(0)=0 , . ( 0 , 0)是函数g(x)的不动点。 1 若g (x)有异于(0, 0)的不动点(x0, x0)，则g (x0) = x0。又 g(-x) =-g(x) = -x (-x, -x)是函数 g(x)的不动点。.g(x)的有限个不动点除原点外，都是成对出现的， 4所以有2k个(kN ),加上原点，共有 n = 2k+1个。即n必为奇数 1119.(本题14分)设函数f(X)二X , (X=0)的图象为G、G关于点A (2, 1)的对称x的图象
