1、一元二次方程练习题一、选择题1.下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ）。A. x2 + 1 = 0xB. ax2 + bx + c = 0C. (x 1)(x + 2) = 1D. 3x2 2xy 5y2 = 02.下列关于 x 的一元二次方程有实数根的是（ ）。A. x2 + 1 = 0B. x2 + x + 1 = 0 C. x2 x + 1 = 0 D. x2 x 1 = 03.一元二次方程 x2 + 2x c = 0 中， c 0 ，该方程的解的情况是（ ）。A.没有实数根B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根D.不能确定 4.若 5k + 20 0 ，则关于 x 的一
2、元二次方程 x2 + 4x k = 0 的根的情况是（ ）。A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断5.已知 1 是关于 x 的一元二次方程 (m 2)x2 + x + 1 = 0 的一个根，则 m 的值是（ ）。A.1B. 1C.0D. 16.若关于 x 的一元二次方程 (k 1)x2 + 4x + 1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是（ ）。A.k 57.如果 x = 4 是一元二次方程 x2 3x a = 0 的一个根，则常数 a 的值是（ ）。A.2B. 2C. 4D.48.如果关于 x 的一元二次方程 kx2 2k + 1x + 1 = 0 有两
3、个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是（ ）。A.k 1 2B.k 1 2且 k 0C. 1 k 12 2 1 k 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 = 0 ，方程有两个相等的实数根；当 0时，方程没有实数根；所以方程有实数根的条件为 0 。A 项， = b2 4ac = 0 4 = 4 0 ，故 A 项不符合题意。B 项， = b2 4ac = 1 4 = 3 0 ，故 B 项不符合题意。C 项， = b2 4ac = 1 4 = 3 0 ，故 D 项符合题意。故本题正确答案为 D。3.【答案】B【解析】本题主要考查一元二次方程。一元二次方程，当 0 时，方程有两个不相等的实数根；当
4、= 0 ，方程有两个相等的实数根；当 0 ，所以该方程有两个不相等的实数根。故本题正确答案为 B。4.【答案】A【解析】本题主要考查一元二次方程和一元一次不等式及其解法。因为 5k + 20 0 ，所以 k 4 。因为方程 x2 + 4x k = 0 的判别式为 = b2 4ac = 42 4 ( k) = 16 + 4k ，由于 k 4 ，所以 16 + 4k 0 ，即 0 ，解得 k 12；根据二次根式根号内的数为非负数，可得 2k + 10 ，解得 k 1 ；2又因为方程为一元二次方程，所以 k 0 。故 k 的取值范围是 1 k 1且 k 0 。2 2故本题正确答案为 D。9.【答案】
5、C【解析】本题主要考查一元二次方程。解方程 x2 + x 2 = 0 ，得 x = b b24ac = 1 141(2)= 13，即 x= 2 ， x= 1 ，所以x1 + x2 = 2 + 1 = 1 。故本题正确答案为 C。2a 22 1 210.【答案】B【解析】本题主要考查解一元二次方程。用配方法解一元二次方程 x2 6x 5 = 0 ，过程如下， x2 6x + 9 5 = 9 ， (x 3)2 5 = 9 ， 即 (x 3)2 = 14 。故本题正确答案为 B。11.【答案】A【解析】本题主要考查一元二次方程。A 项， = b2 4ac = 1 8 = 7 0 ，则方程具有两个不相
6、等的实数根，故 C 项不符合题意；D 项， = b2 4ac = 4 ( 4) = 8 0 ，则方程有两个不相等的实数根，故 D 项不符合题意。故本题正确答案为 A。12.【答案】A【解析】本题主要考查一元二次方程。一元二次方程根的判别式 = b2 4ac ，当 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 = 0 ，方程有两个相等的实数根；当 0 时，方程没有实数根。A 项，根据判别式 = ( 5)2 4 4 2 = 25 32 = 7 0 ，所以该方程有两个不相等的实数根。故 C 项不符合题意。D 项，根据判别式 = ( 4)2 4 3 1 = 16 12 = 4 0 ，所以该方程有两个不相等的实
7、数根。故 D 项不符合题意。故本题正确答案为 A。二、填空1.【答案】2016【解析】本题主要考查代数式的值和方程解的概念。根据方程解的性质，将 x = m 代入原方程可得 m2 + m = 1 ，则 2015 = 2016 。故本题正确答案为 2016 。= 1 +2.【答案】-1【解析】本题主要考查一元一次方程的基本概念。由题意得，方程为关于 x 的一元一次方程，所以方程的二次项系数为 0 ，即 |m| 1 = 0 ， 可得 m = 1 ；又因为方程的一次项系数不为 0 ，所以 m 1 0 ，得 m 1 。综上可得 m = 1 。故本题正确答案为 1 。3.【答案】因为一元二次方程没有实数
8、根，所以 = ( 3)2 4 2 m = 3 8m 3 ，8所以 m 可以取得最小整数值为 1 。【解析】本题主要考查一元二次方程的基本概念。根据一元二次方程没有实数根，得出 0 ，求出 m 的取值范围，即可得出 m 的最小整数值。4.【答案】（1）(x 1)(x 1 + 2x) = 0 ，即 (x 1)(3x 1) = 0 ，所以 x 1 = 0 或 3x 1 = 0 ，解得：x = 1或 x = 1 ；3（2）移项，得： 3y2 2 3y + 1 = 0 ，即 ( 3y 1)2 = 0 ，所以 3y 1 = 0 ，解得： y = 3 。3【解析】本题主要考查用配方法和因式分解法求解一元二次
9、方程。（1）提取公因式后即可求解方程。（2）移项后根据完全平方公式分解因式即可求解方程。三、计算【答案】（1）在一元二次方程中，因为 a = 1 ， b = 1 ， c = 2 ，所以 = b2 4ac = ( 1)2 4 1 2= 1 8 = 7 0 ，故方程有两个不相等的实数根，根据求根公式可得 x = b b24ac = 37 ，解得： x12= 1 ， x = 。22a 4【解析】本题主要考查用公式法解一元二次方程。（1）写出 a 、 b 、 c 的值，求出 的值，当 0 ，所以不论 k 为何值，方程总有两个不2相等实数根。（2）因为 x是方程的根，所以 x2 2kx + 1 k2 2
10、 = 0 ，所以 x2 2kx= 1 k2 + 2 ，因为 x2 1 1 1 21 1 2 12kx + 2x x= 5 ， x x = 1 k2 2 ，所以 1 k2 + 2 + 2( 1 k2 2) = 5 ，整理得 k2 14 = 0 ，所1 1 21 2 2 2 2以 k = 14 。【解析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系和判别式。（1）计算判别式，从而得到 0 ，即可证明不论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根。（2）因为 x1是方程的根，所以满足方程，再由根与系数的关系得到 x1x2= 1 k2 2 ，代入2等式化简即可算出 k 值。3.【答案】（1）因为 x1， x2是
11、方程 的两个根，从而有： x11+ x2 = 2， x1x2= 5 。2因此： 1 + 1 = x2+x1 = 12 = 1 。 x1 x2x1x2 5 52（2）由（1）知， (x + 5)(x + 5) = x x + 5(x + x ) + 25 = 5 + 5 1 + 25 = 25 。 1 2 1 2 1 2 2 2【解析】本题主要考查一元二次方程的应用。先根据 x1 ， x2 是方程 的两根，求出 x1 + x2 、 x1x2 的值，再把要求的式子进行变形，最后代入计算即可。4.【答案】（1）因为 = (k + 2)2 4 2k = (k 2)20 ，所以无论 k 取何值，这个方程
12、一定有实数根；（2）等腰 ABC 底边 a = 1 ，则 b = c ，则方程两根为腰，即 = (k 2)2 = 0 ，所以 k = 2 ，所以原方程为 x2 4x + 4 = (x 2)2 = 0 ，所以 b = c = 2 ，所以三角形周长为 l = a + b + c =5 。【解析】本题主要考查用配方法解一元二次方程。（1）当一元二次方程有实根时， = b2 4ac0 ，将 化简为完全平方式，即可证明方程一定有实根；（2）当 = b2 4ac = 0 时方程有两个相等实数根，即求得 k 值，代入原方程求得方程的根，即可求得等腰三角形的周长。5.【答案】设道路的宽应为 x 米，由题意有 (22 x)(17 x) = 300 ，解得： x1 = 37 （舍去）， x2 = 2 ，故修建的路宽为 2 米。【解析】本题主要考查一元二次方程的应用。把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植花草部分是一个长方形， 根据长方形的面积公式列方程求解即可。
