1、竞赛讲座1整数问题知识内容质数合数奇数偶数整数整除的概念竞赛讲座 1：整数问题 知识内容：质数、合数、奇数、偶数、整数整除的概念和性质。 思想方法：因数分解法、奇偶分析法、分类讨论等 一质数、合数1、p 是质数，并且 p6+3 也是质数，则 p11-52= .2 2 2 2 2 2 2 22、若 a、b、c、d 为整数，且 (a b )(c d ) =1997，则 a2+b2+c2+d2= 23、已知 a是质数， b是奇数，且 a2 b 2001 ，则 a+b= _.8594334、超级计算机曾找到的最大质数是 2859433 1，这个质数的末尾数字是( )A1 B 3 C7 D95、若正整数
2、 a、 b、 c满足 a2 b2 c 2 ， a为质数，那么 b、c 两数( )A同为奇数 B同为偶数 C一奇一偶 D 同为合数6、若质数 m、 n 满足 5m+7n=129 ，则 m+n= .7、已知三个质数 m、n、p 的积等于这三个质数的和的 5倍，则 m2 n2 p2 = 8、已知三个不同的质数 a、b、c满足 abbc a 2000 ，那么 a+b+c= .9、一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位质数，我们称它为“无暇质数”，则所有“无瑕质数”之和等于 .10、求这样的质数，当它加上 10和 14时，仍为质数。11、已知：正整数 p、 q都是质数，且 7p+q与
3、pq+11，也都是质数，试求 pq qp的值。12、用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为 xcm 规格的地砖，恰用 n块；若选用边长为 ycm 规格的地砖，则比前一种刚好多用 124 块。已知 x、 y、n 都是正整数，且 (x,y) 1, 试问这块地有多少平方米？二奇数、偶数1、三个质数之和为 86，那么这三个质数是 .2、如果 x、y、z是三个任意整数，那么 x y,x z, y z( ) 222A都不是整数 B 至少有两个整数 C 至少有一个整数 D 都是整数3、 的前 24 位数值为 3.14159265358979323846264 ，在这 24 个数字中，随意地逐个
4、抽取 1 个数字，并依次记作： a1,a2, ,a24 ，则 (a1 a2)(a3 a4) (a23 a24)为( )A奇数 B 偶数 C 奇数或偶数 D 质数4、在 1，2，3， 2010中的每一个数的前面，任意添上一个“ +”或“ -”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？5、设 1，2，3， 9的任一排列为 a1，a2，a9.求证：(a1-1)(a 2-2) (a 9-9)是一个偶数6、有 n 个数 x1， x2， xn，它们中的每一个数或者为 1，或者为 -1如果x1x2+x2x3+ +xn-1xn+xnx1=0，求证： n 是 4 的倍数7、设 a， b是自然数，且满足关系式 (111
5、11+a)(11111 -b)=123456789 求证： a-b 是 4 的倍数8、某次数学竞赛， 共有 40 道选择题， 规定答对一题得 5分，不答得 1 分，答错倒扣 1分证 明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数9、试说明 15块 41的矩形骨牌和 1块22的正方形骨牌不能盖住 88的正方形 .10、在 6 张纸片的正面分别写上整数 1，2，3，4， 5，6，打 次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上 16得出 6个数，请你证明： 所得个数， 然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值， 的 6 个数中至少有两个是相同的。11、有 2009 枚硬币，其中 10
6、00 枚国徽朝上， 1009 枚国徽朝下。现要求每一次翻转其中任 意 6 枚，使它们的国徽朝向相反， 问能否经过有限次翻转之后， 使所有硬币的国徽都朝上？ 给出你的结论，并给予证明。12、对一个正整数作如下操作：如果是偶数则除以 2，如果是奇数则加 1，如此进行到 1 时操作停止，求经过 10 次操作变为 1 的数有多少？三整数的整除性1、如果五位数 12a34是 3 的倍数，那么 a是 .2、在 1，2，3，2000这2000个自然数中，有 个自然数能同时被 2和 3整除，而且不能被 5 整除。3、一个自然数与 13 的和是 5 的倍数，与 13 的差是 6 的倍数，则满足条件的最小自然数是
7、 4、设 m 和 n 为大于 0 的整数，且 3m+2n=225. 如果 m 和 n 的最大公约数为 15， 求 m+n 的值5、有若干苹果，两个一堆多一个， 3 个一堆多一个， 4 个一堆多一个， 5 个一堆多一个， 6个一堆多一个，问这堆苹果最少有多少个？6、自然数 a1，a2，a3， a9， a10的和 1001 等于，设 d 为 a1， 公约数，试求 d 的最大值。a2， a3， a9，a10 的最大从 0001 到 9999 号，如如号码 0734，因 0+7=3+4 ，所有幸运券的号码之和能7、某商场向顾客发放 9999 张购物券，每张购物券上印有四位数码， 果号码的前两位之和等于
8、后前两位之和， 则这张购物券为幸运券， 所以这个号码的购物券为幸运券。 证明： 这个商场所发购物券中， 被 101 整除。a 19911991 199110、 已知： 1991个1991 ，问 a 除以 13，所得余数是几？11、 n 是正偶数， a1,a2,an 除以 n，所得的余数互不相同； b1,b2,bn除以 n，所得的余数 也互不相同。证明 a1+b1，a2+b2， an+b n除以 n，所得的余数必有相同的。12、 十进制中， 44444444 的数字和为 A，A的数字和为 B，B的数字和为 C，求 C四数字问题：1、有一列数： 2，22，222，2222，把它们的前 27 个数相
9、加，则它们的和的十位数 字是 ( )A、9 B、 7 C、5 D、32、19932002+19952002 的末位数字是 ( )A、6 B、 4 C、5 D、33、若自然数 n 使得作竖式加法 n+(n+1)+(n+2) 时均不产生进位现象，便称 n 为“连绵数” 。 如因为 12+13+14 不产生进位现象，所以 12 是“连绵数” ；但 13+14+15 产生进位现象，所 以 13 不是“连绵数” ，则不超过 100 的“连绵数”共有 ( ) 个A、9 B、 11 C、12 D、154、有一个四位数，已知其十位数字减去 2 等于个位数字，其个位数字加上 2 等于其百位数字，把这个四位数的四
10、个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于 9988，求这个四位数。5、一个正整数 N 的各位数字不全相等， 如果将 N 的各位数字重新排列， 必可得到一个最大 数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数 N，则称 N 为“新生数” ，试求所有的三位“新生数” 。6、 从 1 到 1999 ，其中有多少个整数，它的数字和被 4 整除？7、 圆上有 9 个数码， 已知从某一位起把这些数码按顺时针方向记下， 得到的是一个 9 位数并且能被 27 整除。证明：如果从任何一位起把这些数码按顺时针方向记下的话，那么所得 的一个 9 位数也能被 27 整除。8、证明： 111111+112112+
11、113113能被 10 整除9、设 P (m) 表示自然数 m 的末位数，2an P n2 P n求 a1 a2 a1995 的值。11111110、已知： ？ ？ ？ ？ ？ ？ 1 请找出 6 个不同的自然数，分别填入 6 个问号中，使这个等式成立。11、 如图，在一个正方体的八个顶点处填上 1 到 9这些数码中的 8 个，每个顶点处只填一abc。并请这个人算出 5 个数 acb、个数码， 使得每个面上的四个顶点处所填的数码之和都相等， 并且这个和数不能被那个未被 填上的数码整除。求所填入的 8 个数码的平方和。12、在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数bac、bca、cab、cba的和 N，把N 告诉魔术师，于是魔术师就能说出这个人所想的数 abc。现在设 N=3194 ，请你做魔术师，求出数 abc来。
