1、数学建模实验答案建立数学模型实验01 建立数学模型（4学时）（第1章 建立数学模型）教材中给出原始数据，结合模型，得到结果。但如何求得结果这一过程没有给出，实际上要用MATLAB软件编写程序来求得，这应该交给实验课来完成。考虑到上学期同学们刚学习MATLAB语言，编程能力不强，所以有关的程序给出来供同学们进行验证。要求同学们要读懂程序。1.（求解，编程）如何施救药物中毒p1011人体胃肠道和血液系统中的药量随时间变化的规律（模型）：其中，x(t)为t时刻胃肠道中的药量，y(t)为t时刻血液系统中的药量，t=0为服药时刻。1.1（求解）模型求解p1011要求： 用MATLAB求解微分方程函数ds
2、olve求解该微分方程（符号运算）。 用MATLAB的化简函数simplify化简所得结果。 结果与教材P11上的内容比较。提示：dsolve和simplify的用法可用help查询。建议在命令窗口中操作。 求解的语句及运行结果： x,y= dsolve(Dx=-a*x,Dy=a*x-b*y,x(0)=1100,y(0)=0); disp(x,y) 1100*exp(-a*t), exp(-a*t)*exp(-b*t)*(1100*a*exp(a*t)/(a - b) - (1100*a*exp(b*t)/(a - b) disp(simplify(x,y); 1100*exp(-a*t),
3、(1100*a*exp(-t*(a + b)*(exp(a*t) - exp(b*t)/(a - b)1.2（编程）结果分析p11已知=0.1386, =0.1155，将上题中得到x(t)和y(t)两条曲线画在同一个图形窗口内。参考图形如下。提示：MATLAB命令plot, fplot, hold on/off, grid on/off, xlabel, ylabel, text。 编写的程序和运行结果：程序1：用plotclc;clear;a=0.1386; b=0.1155;t=0:0.01:25;x=1100./exp(a*t);y=-(1100*a*(1./exp(a*t) -1./e
4、xp(b*t)/(a - b);plot(t,x,t,y);grid on;xlabel(itt /h); ylabel(itx,ity /mg);text(2,1100/exp(a*2), itx(itt);text(3,-(1100*a*(1/exp(a*3) - 1/exp(b*3)/(a - b), ity(itt);程序2：用fplot和匿名函数clc;clear;a=0.1386; b=0.1155;fplot(t)1100/exp(a*t),-(1100*a*(1/exp(a*t) - 1/exp(b*t)/(a - b),0 25);grid on;xlabel(itt /h)
5、; ylabel(itx,ity /mg);text(2,1100/exp(a*2), itx(itt);text(3,-(1100*a*(1/exp(a*3) - 1/exp(b*3)/(a - b), ity(itt);2.（编程，验证）商人们怎样安全过河p89三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢？模型构成决策： 每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）船上的人员。要求：在安全的前提下（两岸的随从数不比商人多），经有限步使全体人员过河。xk 第k
6、次渡河前此岸的商人数yk 第k次渡河前此岸的随从数 xk , yk=0,1,2,3; k=1,2,过程的状态 sk=(xk , yk)允许状态集合 S=(x, y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2uk 第k次渡船上的商人数vk 第k次渡船上的随从数 uk , vk=0,1,2; k=1,2,决策 dk=(uk , vk)允许决策集合 D=(u , v) u+v =1, 2状态转移律 sk+1=sk+(-1)kdk多步决策问题求dkD(k=1, 2, , n), 使skS, 并按转移律由 s1=(3,3) 到达sn+1=(0,0)。2.1（编程）求
7、允许决策集合D和允许状态集合SD是2行多列矩阵，每一列是一个决策。S是2行多列矩阵，每一列是一种状态。要求： 编写程序求D和S，并输出。 S的第一列是3,3，最后一列是0,0 。 编写的程序和运行结果：程序：clear; clc;%求允许决策集合D（2n1，n1种决策）D=;for u=0:2 for v=0:2 if u+v=1|u+v=2 D=D,u;v; end endend%求允许状态集合S（2n2，n2种状态）S=;for x=3:-1:0 for y=3:-1:0 if x=0|x=3|x=y S=S,x;y; end endend%首列状态 ( 商人数, 仆从数) = ( 3,
8、3 )，末列为( 0, 0 )D, S运行结果：2.2（验证）求动态允许状态集合SS和状态转移矩阵A上面允许状态集合S没有指明当时船是在此岸还是在彼岸，应该将S中的每一种状态再分为两种状态，需增加一个元素（值为-1或1）放在第三行。定义动态允许状态集合 SS=(x, y, z) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2;z=-1,1(x, y, -1)，表示从此岸渡河前此岸的允许状态(x, y)。(x, y, 1)，表示从彼岸渡河前此岸的允许状态(x, y)。SS是三行多列矩阵，每一列表示一种状态，列下标为其编号。定义状态转移矩阵A，其中，A(i, j)=
9、1表示D中存在决策使状态i转到j，否则A(i, j)=0。程序如下（输入时，不必把注释也输入）：程序运行结果（参考）：要求： 将程序接在上题的程序之后（去掉最后多余的输出语句），程序最后给出显示SS和A的语句。 运行程序，输出SS和A。对照参考答案，如数值不一致，请检查程序。MATLAB函数all的用法见提示。 运行的完整程序和运行结果：程序：clear; clc;%求允许决策集合D（2n1，n1种决策）D=;for u=0:2 for v=0:2 if u+v=1|u+v=2 D=D,u;v; end endend%求允许状态集合S（2n2，n2种状态）S=;for x=3:-1:0 for
10、 y=3:-1:0 if x=0|x=3|x=y S=S,x;y; end endend%首列状态 ( 商人数, 仆从数) = ( 3, 3 )，末列为( 0, 0 )%动态允许状态集合SS（3n3，n3种状态）%-1，从此岸渡河前此岸的允许状态%1，从彼岸渡河前此岸的允许状态SS=S;-ones(1,size(S,2),S;ones(1,size(S,2);SSnum=size(SS,2);%状态总数，SS中的列下标对应状态的编号%SS(:,1)=3,3,-1（起点），SS(:,end)=0,0,1（终点）%状态转移矩阵A，A(i,j)=1表示存在决策使状态i转到j，其它为0A=zeros(
11、SSnum);for i=1:SSnum for j=1:SSnum for d=D%顺序取D的每一列给d s=SS(1:2,i)+SS(3,i)*d;-SS(3,i); if all(s=SS(:,j)%所有元素不为0时为真 A(i,j)=1; break; end end endendSS, A运行结果：2.3（验证）给出一个商人们安全过河的方案程序如下（输入时，不必把注释也输入）：程序运行结果：要求： 读懂以上程序，掌握all和any函数的应用。 将程序接在之前的程序后（去掉最后多余的输出语句），运行程序。对照答案，如不一致，请检查程序。MATLAB函数any的用法见提示。 给出运行的完
12、整程序和运行结果：程序：clear; clc;%求允许决策集合D（2n1，n1种决策）D=;for u=0:2 for v=0:2 if u+v=1|u+v=2 D=D,u;v; end endend%求允许状态集合S（2n2，n2种状态）S=;for x=3:-1:0 for y=3:-1:0 if x=0|x=3|x=y S=S,x;y; end endend%首列状态 ( 商人数, 仆从数) = ( 3, 3 )，末列为( 0, 0 )%动态允许状态集合SS（3n3，n3种状态）%-1，从此岸渡河前此岸的允许状态%1，从彼岸渡河前此岸的允许状态SS=S;-ones(1,size(S,2)
13、,S;ones(1,size(S,2);SSnum=size(SS,2);%状态总数，SS中的列下标对应状态的编号%SS(:,1)=3,3,-1（起点），SS(:,end)=0,0,1（终点）%状态转移矩阵A，A(i,j)=1表示存在决策使状态i转到j，其它为0A=zeros(SSnum);for i=1:SSnum for j=1:SSnum for d=D%顺序取D的每一列给d s=SS(1:2,i)+SS(3,i)*d;-SS(3,i); if all(s=SS(:,j)%所有元素不为0时为真 A(i,j)=1; break; end end endend%SK为多行SSnum列的矩阵，
14、第i列对应SS的第i列的状态。%第i行表示第i次渡河前有那些状态，1表示有对应下标列号的状态，0则无。%第i+1行是第i行状态转移过来的状态%当第SSnum状态出现时停止，表示有解。%或者新行的元素全0时停止，表示无解。%新行不允许出现之前出现过的状态。s=1,zeros(1,SSnum-1);%从状态3,3,-1开始SK=s;while any(s) & s(SSnum)=1 k=find(s);%求最后一行为1的列下标 s=any(A(k,:),1);%得到新行，元素值为1或0 s=s&any(SK,1);%去掉新行中之前出现的状态 SK=SK;s;%新行加入，作为SK的末行end%多步决
15、策，直到找到目标。有难度！if any(s)=0 %新行全0 disp(无解！); return;end%最后一行的第SSnum状态(j)开始往回找转换到它的状态(i)，直到状态1。%得到一个状态号的顺序sk（行向量），为一个解。sk=zeros(1,size(SK,1);sk(1)=1; sk(1,end)=SSnum; j=SSnum;for k=size(SK,1)-1:-1:2 for i=find(SK(k,:) if A(i,j)=1 sk(k)=i; j=i; break; end endenddisp(1:length(sk);SS(1:2,sk);%输出结果给出程序的运行结果
16、：3.（求解）商人们怎样安全过河（修改）p9对第2题的问题改动，用类似的方法求解。3.1 在第2题中修改商人数和随从数有四名商人各带一个随从，其它同第2题。修改第2题中的程序求解。 修改的程序部分和完整程序的运行结果（安全过河的方案）：%求允许状态集合S（2n2，n2种状态）S=;for x=4:-1:0 for y=4:-1:0 if x=0|x=4|x=y S=S,x;y; end endend%首列状态 (商人数, 仆从数) = ( 4, 4 )，末列为( 0, 0 )3.2 在3.1题中修改船容纳的人数船能容纳3人。修改3.1题中的程序求解。 修改的程序部分和完整程序的运行结果（安全过
17、河的方案）：%求允许决策集合D（2n1，n1种决策）D=;for u=0:3 for v=0:3 if u+v=1 & u+v=0) & all(s10& any(s00)%栈未空且s0中至少有一个元素0 s0=st(sp,1,2); ss=st(sp,3);%当前状态，ss=-1/1小船停靠此岸/彼岸 d=st(sp,4);%之前用过的决策，该决策失败 sp=sp-1;%出栈 d=d+1;%试探下一个决策 while d0) s1=s0+ss*D(d,:);%下一个状态，不包括小船停靠状态 i=s1(1)+1;j=s1(2)+1;%状态转换为下标 if all(s1=0) & all(s1=3) & (mark(i,j)=0 | mark(i,j)=-ss) if mark(i,j)=0%标记状态(i-1,j-1)的使用情况 mark(i,j)=ss; else mark(i,j)=2; end sp=sp+1;%进栈 st(sp,:)=s0,ss,d;%当前状态重新进栈，改变了决策 s0=s1; ss=-ss; d=1;%下一个状态作当前状态，选择第1个决策 else%决策d失败 d=d+1; end endendif s0=0 disp(1:sp+1,st(1:sp,1:2);s0);%有解
