1、等离子体物理讲义06磁流体力学及静平衡12汇总 等离子体物理学讲义No. 6马 石 庄2012.03.07.北京第6讲 MHD方程与静力平衡教学目的:建立等离子体的磁流体模型,在拟稳态近似下,建立磁流体动力学方程。依据磁Reynolds数,掌握理想MHD的磁冻结定理和拓扑不变量;无力平衡和有力平衡。主要内容:1 MHD方程 (31.1导心理论引出 (31.2 MHD近似 (91.3磁应力张量 (122 电磁感应方程 (152.1 磁冻结定理 (162.2 拓扑不变量 (212.3 磁场扩散 (263 MHD静平衡 (283.1维里定理 (303.2无力平衡 (343.3 有力平衡 (36习题6
2、 (44在研究等离子体的宏观运动时,通常可以近似地把它当作导电流体来处理。这种模型适合于缓慢变化的等离子体现象。所谓缓慢变化是指等离子体的特征长度和特征时间远大子等离子体粒子的平均自由程和平均碰撞时间。在这种情况下,等离子体可以近似地看作处于局部热平衡状态,因而可以像通常的流体力学中那样定义流体的速度,压强,密度,温度等流体力学及热力学参量并用这些宏观参量来描述等离子体的宏观运动。1 MHD方程当导电流体在电磁场中运动时,流体内感生出电场从而产生电流。这个电流一方面与磁场相互作用,产生机械力,对流体运动产生重大影响;另一方面感应出改变原有电磁场的磁场。于是就形成了电磁现象和流体动力学现象相互作
3、用的复杂图像。这些现象必须要用电磁场方程和流体动力学方程的联立方程组来进行研究。1.1导心理论引出等离子体中的带电粒子在电磁场中的运动可以看作是围绕磁力线回转的粒子引导中心的漂移叠加,下面探讨微观单个粒子的行为与宏观流体行为之间的关系,给出一种物理直观图象。如图1所示,基本思路是计算导心运动导致的流过等离子体中任意开曲面的垂直电流密度 ,考察这个电流与等离子体压强梯度和惯性力之间的联系。取曲面的法向与磁场正交,仔细考虑回转半径扩张的影响。首先考虑粒子运动的主要贡献是来自圆周回转运动,每个粒子进出曲面的方向相反,对电流没有贡献,如图1(b。换言之,在一个回转周期中,没有净电荷流动。垂直电流由两种
4、不同的机制产生。一个是导心垂直漂移产生的穿过曲面的电荷流,如图1(c;还有一种曲面边界附近的回转运动,如图1(d,所谓磁化电流。粒子的导心漂移速度由 漂移, B漂移,曲率漂移和极化漂移构成E B2ddE B2 其中 /是磁力线的曲率半径。在磁流体力学尺度内,通常 漂移比电子和离子的任何其它漂移都要大 量级,粒子的垂直速度和平行速度与热运动速度相当,即 。所以,在流体模型中,无论电子还是离子,导心的主要运动都是 漂移运动。由于电子和离子以相同的速度漂移,因此可以引入垂直方向上的宏观速度 ,这里改写为相当于垂直方向上的Ohm定律。现在考察导心漂移运动产生的垂直电流。尽管 漂移对粒子漂移的贡献最大,
5、由于电中性条件以及电子离子的漂移方向相同, 漂移产生的净电流也为零。再考察其它漂移的贡献,将电子的漂移与离子的漂移相减,然后对所有的粒子求和 d代入漂移速度, 漂移自动消去ddd假设粒子服从稳定Maxwell分布,在速度空间的局域直角坐标系中,容易计算得到dd其中 , 。磁化电流源自边界附近只穿过曲面一次的带电粒子,它们对垂直电流的贡献要通过计算每个粒子携带电流与所有只穿过一次的粒子数的乘积来估计。在一个回转周期内,载荷 的粒子的产生的平均电流为2负号表明电流沿逆磁方向,趋于抵消原来的磁场。这类带电粒子可能具有四种不同的情形,如图2所示。这些轨道中心的轨迹组成一个以回旋半径 L为半径的圆,任何
6、带电粒子只要导心位于所选曲面边界上的点为中心,以 L为半径的圆内,就属于仅穿越曲面一次的粒子。包含这些粒子的体积元为d d ,其中L ,d 是曲面边界元。一般说来回转轨道的法向沿 方向,与d 并不平行,如图3所示,其投影减少了单次穿越所选曲面的粒子数目。体积元内速度为 的粒子数为d d d ,相应的电流为d d d ,通过对速度空间和沿曲面边界的所有体积元积分, 即得总磁化电流M 2 d d 对于局域Maxwell 平衡分布,积分并引入 M ,得到d M M d d d 比较得到M合并导心漂移电流和磁化电流 Md d化简各项,得到d d其中用到恒等式 0和 /2 ,合并消去,从导心理论得到动量
7、方程d这个形式与理想磁流体力学得到的结果一致,说明流体力学方法和导心理论方法两种处理是等价的,只是对宏观磁流体力学行为的自洽描述不同。1.2 MHD 近似电磁现象的一般规律满足Maxwell 方程 0本构方程是Ohm 定律这里假定介质是静止的(对参考系 而言, , 等就是在这个参考系内定义的。特别是电流与电场之间的关系 ,一般说来只适用于静止的导体。为了求出运动导电流体内电流和电场的关系式,从参考系 变换到另一个以速度 相对于 运动的参考系 ,其中导电流体在所考虑的时刻是静止的。在这个参考系内,有 ,其中 是 内的电场强度。根据相对论关于场变换的公式,准确到 / 的量级, 用 系内的场表示为于
8、是得到为了得到参考系 中 的表达式,考虑电流密度的一般定义 和 ,其中 和 分别是电荷在座标系 和 内的速度。在 和 的相对速度 远小于光速的非相对论情形,速度按Galilio公式变换由此得到即下面将表明,磁流体力学范围内运流电流 与传导电流比较可以略去。因此,从一个参考系变换到另一个参考系时,电流实际上保持不变 。物质内的交变电磁场的特征,主要决定于物质的种类和场频率的量级。在磁流体力学范围内,通常研究的是在外加交变磁场内的大导电流体中产生的现象。这时可以假定,场的变化速度不很大,满足这样两个条件。首先,假定相应场频率 的波长 / ,大于流体运动的特征长度 ,即或1其中 1/ 为场变化特征时
9、间。其次,假定电导率 和场频率 之比满足:1 或1即场变化的特征时间远大于粒子碰撞时间,由于等离子体是良导体,这一条件实际上总是满足的,这样的电磁场和电流是准静态的,称为MHD 近似。当MHD 近似条件满足时,位移电流 ,运流电流 和电场力 可以忽略。利用 , 及 / , 1/ ,并且假定 , ,可以作如下估计| | | | 1 | | 1| | | |1 | | | | |1| | | | |1 于是运动导电流体内的MHD 近似电磁场方程为 Faraday 定律 Ampere 定律 0Ohm 定律在MHD 近似下,进一步从Ampere 定律和Ohm 定律中消去电流 ,得到两边取旋度运用恒等式
10、 由于 0和Faraday 定律,得到描写磁场演化的电磁感应方程 其中磁扩散系数1电磁感应方程说明磁场随时间的演化受两项控制。第一项与流体速度有关,称为对流项;第二项与电导率有关,称为扩散项。1.3磁应力张量对于电磁场中运动导电流体,仍然要从质量守恒、动量守恒和能量守恒定律得到动力学方程。现在运动方程中的外加质量力是电磁力和重力。通常情况下电磁力远大于重力,可略去不计。考虑了电磁力的流体动力学方程如下d d 0 d d 电磁场通过Lorentz 力公式对流体产生作用。从而。磁流体动力学方程组为d d 0 d d 如果流体是无粘性,不传热的和理想导电,称为理想导电流体,方程组为d d 0 d d
11、 d 0 称为理想MHD 方程。进一步分析Lorentz 力 的作用性质。将 代入得到112 1 事实上,由 ,体积力 可以写成1 1 2 这里1 1 2为Maxwell电磁应力张量的磁场部分。现在解释给此力以物理意义。考虑闭合曲面 任意体积 ,在此体积上积分得到合力,体积分可以变换成面积积分,于是合力可以解释成一组等效的表面力d ddd其中112是作用在单位法线矢量为 的面元上的等效表面力,称为磁应力。 设平行于磁场的单位矢量为 ,则体积力和磁应力的关系进一步写成d d2d2cos d其中 为 和之间的夹角。由此可见,磁力等效于大小为 2 的各向同性磁压力和沿磁力线方向,大小为 的张力之和,
12、或者可以说,磁力等效于与磁力线相垂直方向上的压力 2 与沿磁力线方向的张力 的之和。实际上,利用矢量公式 和 ,还可以得到1 1 1 1 2 2 其中,最右边第一项是各向同性的磁压力;第二项在平行方向抵消磁压力梯度力,因为 本来就没有平行磁场的分量;第三项是磁张力引起,与磁张力和曲率成正比,是弯曲磁力线的恢复力,指向曲率中心。由此可见,用形象语言说,磁力线很像拉紧的橡皮筋,沿着磁力线方向是张力,磁场增强也就意味着张力增大。如果磁力线是弯曲的,这个张力可产生指向磁力线曲率中心的恢复力。磁力线被扰动就像张紧的橡皮筋被拨动,扰动可以传播,就是所谓的磁流体波。2 电磁感应方程取 是流体空间变化的特征尺
13、度, 是磁场 的特征尺度, 是速度 的特征尺度,把 用 估计,将各物理量标度化, ,其中各无量纲物理量的量级| | | | 1 ,类比于流体力学中的Reynolds数,引入无量纲磁Reynolds数| | | |得到无量纲电磁感应方程1对流项与扩散项量级之比的估计| | | | |如果 1,对流项为主;如果 1,扩散项为主。2.1 磁冻结定理大磁Reynolds数意味着当 1时,电导率,流体速度和特征尺度足够大,使得 1,扩散项比起对流项足够小,可以忽略不计,电磁感应方程简化为这个方程可以用来证明称为“冻结磁场定理”。这个定理有两个等价的表述,分别有不同的证明。 表述1:穿过任一随流体一起运动
14、的闭合曲线的磁通量为常数。在时刻 ,对于有闭合曲线 围合的曲面 ,磁通量定义为 d设曲线 随流体一起运动,时间 后,曲线上的各点移动到新位置 d ,则通过曲线 的磁通量的变化率为dd d 第一项是由于磁场对时间的显式依赖引起的磁通量变化,第二项是由于曲线 的移动引起的磁通量变化。第二项的矢量三重积可以交换位置dddd 根据Stokes定理及理想电磁感应方程,得到ddd因此d表述1有个推论,考虑两条闭合曲线 和 在时刻 为磁力线所连接,这些磁力线形成一条磁通量为 的磁通管。随着流体运动,既然在组成磁通管的曲面上 d /d 0,在以后任何时刻 ,这条磁通管的磁通量保持不变。由于磁通管的两端可以收缩
15、为无穷小,磁通管就变成一条磁力线,因此Alfven可以说“磁力线冻结在流体之中”。必须指出,磁冻结定理是是说流体的运动不能穿越磁力线,沿磁力线方向的流体运动不违反磁冻结定理。 表述2:如果随流体运动的一曲线初始时为磁力线,那么随后就一直保持。为了证明这个命题,需要引入通量坐标(flux coordinates。由于磁场是无散场,只有两个自由度,因此总是可以用两个标量场可以表示,使用Clebsch变量 , ,也称为磁Euler势其中 , 是沿磁力线是保持不变的常数 0对于空间一点 ,磁力线可以表示为用 表示从沿 的曲线长度。三维曲线正交坐标系,称为 , , ,在磁力线附近, 0,自动满足 0其实
16、 , 是沿磁力线保持不变的常数,因为 0证明表述2,基本的思路是计算沿给定的流体质点轨迹,计算证明 的时间变化率为零。为此d 其中第一项 根据电磁感应方程,有 设 恒定的曲面随流体一起运动,即要求d 0, 分别代回,得到d d 方程等号右端的第一,三和四项可以简化 , 因此d 表明,如果在 0时 0,那么对所有的时间 0。如果在 0以通量坐标 , 的常数曲面标志一条磁力线,那么此后一直标识这条磁力线。 2.2 拓扑不变量在理想MHD中,任何有限体积中包含无数多条磁通管。关于磁通量管,具有拓扑不变量,在MHD湍流和快发电机理论有重要应用。对于有闭合曲线 围合的曲面 ,磁通量定义为 ddd考虑积分
17、 d其中 是 中的第 条磁通管的体积。磁通管以速度 与流体一道运动,则 的时间变化为d d d dd其中最后一项dd dd d d d d d d d d d使用Faraday定律,有d d d d其中 是标量势。由于 第二个积分可以写为 d d d d d类似地,第一个积分可以写为 d d d因为 0和在 上 0, 是磁通管。因此d d 2 d d d理想MHD 有 ,就有d d d0 因为在在 上 0, 0。因此,对于系统中每一根磁通管 const.。称 为Woltjer 不变量1,它取决于理想MHD 中 和在 上 0, 0。这两个条件中,第一个是磁通管的性质,第二个也是理想MHD 的结果
18、,磁通管随流体运动。可以给Wltjer 不变量以 物理解释2。考虑如图所示的联通磁通管。通量管 包含磁通 ,通量管 包含磁通 ,通量管 的Wltjer 不变量为 d对这条通量管,有1 L. Wltjer, Proc. Nat. Acad. Sciences 44, 489 1958 .2 H. K. Moffatt, Magnetic Field Generation in Electrically Conducting Fluids , Cambridge University Press, Cambridge, UK 1978 .d d d dd d d d d dd d d d d从而
19、d d d第一个积分刚好就是通量管 内包含的磁通 ;第二积分是曲线 围合的磁通,如果通量管有“右手”连通的,磁通是 ;如果通量管有“左手”连通的,磁通是 。因此 类似地 如果通量管缠绕了 圈,那么有 同样的结果也可以对单结通量管得到,如下图。综上所述,Wltjer 不变量是通量 管的连通性,即拓扑(topology 的度量,成为磁螺旋度(magnetic helicity 。因为理想MHD 中 const.,这意味着,通量管的拓扑不变并且永远保持。这个性质因此是一个拓扑不变量,确实是磁场与流体一道运动的另外一种表述,是理想MHD 的Ohm 定律 0 的结果,对流体的可能运动给以很强的约束。交叉
20、螺旋度(cross helicity d时间变化率为dd 11 d积分号下的第三项涉及Lorentz力,对积分的贡献为零。如果假设绝热过程 ,由于 0,第二项为1 运用矢量恒等式2和 第一和第四项结合得到散度形式 运用散度定理, 的时间变化率为d d在边界 上,当 0时,上述积分为零。在这些条件下,交互螺旋度是理想MHD的不变量。2.3 磁场扩散当 1时,意味着等离子体的电阻效应占主导地位。从磁通量变化的角度,显然有dd d1d磁冻结定理不再成立,流体质点可以与磁力线分道扬镳,磁力线可以穿越流体质点移动。由此,等离子体中的磁力线才会发生MHD重联(reconnetion和MHD弛豫(relax
21、ation现象.若取 是流体空间变化的特征尺度, 是磁场 的特征尺度, 是速度 的特征尺度,特征时间为 ,从无量纲电磁感应方程1当 时,方程1有解指数衰减的解expexpexp其中磁场扩散特征时间为例如,对于地核,衰减时间为10 sec10 年,相对于地球几十亿年的存在,如果有原生磁场,早已衰减殆尽。维持磁场,需要发电机作用。对于磁约束,等离子体的有限电导 率也是一个需要克服的难点。如图,设等离子体被磁场所约束,处于准平衡状态(流体的惯性项可忽略不计,等离子体主要处在“内部”,磁场主要在“外侧”。等离子体的连续性方程为 其中,离子质量密度为 ,动量方程为由定态Ohm定律其中 为标量势,可以把电
22、场 是外加的。定态Ohm定律与动量方程合,得到1代入连续性方程 在等温过程中, , const.,等离子体密度的演化依据 其中扩散系数且漂移速度第一项表示穿越约束磁力线的扩散,第二项表示向内的运流作用。扩散的特征时间为因此,如果没有外加电场,等离子体在这个时间尺度上将损失。换言之,等离子体的电阻对磁约束有负面效应。由于有限电阻存在,磁能不再守恒,而螺旋度可能是不变量。如下图操作,总有2 Figure : A sequence of helicity conserving operations on two singly linked ux tubes (a. We carefully make
23、 a cut in (b and reconnect and deform in (c to show two 360_ twists and further deform in (d to show two crosses.3 MHD静平衡对于流体而言,动量方程可以写为Newton第二定律的形式dd静力平衡(stationary equilibirium要求d d非静力平衡(non stationary equilibirium 要求0 选择坐标系统,使得流体是静止的,在MHD方程中,静力平衡(要求0,因此静力平衡Ampere定律和 0成立。显然有推论 0 , 0电流和磁场必定处于等压强曲面
24、上。前者说,沿着磁场方向压强是不变的;后者说,要保持一个与磁场不平行的电流需要存在压强梯度,反之亦然。在理想MHD中,压强梯度力可以被Lorentz力平衡,这就是磁约束的基础。 3.1维里定理在流体力学中,静力平衡是相对简单的。考虑重力场中的流体,流体静力平衡的条件是在一维情形 ,有即得d如果密度剖面给定或者存在关系 ,就可以得到压强的分布。在后面的情形中,d d d d, d d 其中 是声速。在等温条件下, const.,得到解exp g 对于非静力平衡,有因此,有限大小的流体流动可以导致非均匀压强。在一维情形中,有d1即1const.就是Bernoulli定理。对于更一般的情形3,在MH
25、D中,动量演化依据平衡的条件表示为 0即其中,由于 0,21是总应力张量。把 重写为2比较方便。定义等效的正交压强和平行压强3 The discussion of the Virial Theorem follows that of V. D. Shafranov, “Plasma Equilibrium ina Magnetic Field”, in Reviews of Plasma Physics, M. A. Leontovich (ed., Consultants Bureau,New York (1965.,因此,总应力张量可以表示为即trace引入置于磁场中的孤立流体,在平衡态,
26、则有 trace 0成立。在体积上积分并应用Gauss定理,得到ddd其中 是包围体积 的闭合曲面,未必是流体的体积及其表面。求积分,得到3dd等号左端是正定的,现在估计右端的符号和大小。考虑所有的电流密度 和压强 都完全在流体内部,闭合曲面 完全在流体之外,磁场只是有磁流体内部的电流产生,如图所示。现在取 ,使得上式右端只与磁场有关。磁流体内部的电流引起的矢量势为|d如果 远离 ,那么可以做展开1 | |1| | |代回矢量势的表示式,既然 0,以及d 发现 , 且d 因此,积分的右端也是 ,当 0时趋于零。与左边的保持正的相矛盾,意味着条件不可能为平衡所满足。这就是维里定理(The Vir
27、ial Theorem。表明,磁化流体不可能在内部电流产生的力作用下处于MHD平衡。换言之,MHD 平衡一定是为外部电流维持的。在实验室中,维里定理一定满足,因为都是用外部线圈产生磁场的。在天体物理条件下维里定理未必满足,而宇宙恰恰是充满动机的地方。维里定理 Rudolf Clausius 18221888 在1870年创立,又称均功定理:若粒子受力 的作用,在某时间的位移 有限 ,则在外力长时间 的作用下,所作功平均值 等于粒子平均动能 负值的两倍 称为维力。若系统由 个粒子组成,则有对于保守力场中的经典粒子,若作用位势 是粒子位矢 次幂的齐次函数 ,则力 ,由维里定理,可得2对重力场和静电
28、场来说,因 1,则12对于具有磁场和自转的稳定体系,维里定理表示为:2 2 0其中 是系统转动的动能, 是系统的总磁能, 是系统的总位能。3.2无力平衡在稀薄等离子体中,压强梯度力可以忽略不计,称为无力平衡(forcefree equilibria。有因此存在标量函数 ,使得 ,即这样的是矢量场,称为Beltrami场。显然0 由于 0,因此, 0标量函数 沿磁力线方向保持恒定。引入参数再对 运算, 0理论上,两个方程可以联立求解未知量 和 ,实际上可能遇到微妙的数学问题4。一个常见的问题是, const.的柱位形等离子体,则 0自动满足; 0,则关于 和 分量分别满足方程dddd1 0和dddd都具有Bessel方程的形式,解分别为,其中, 和 分别是零阶和一阶Bessel函数。注意到当 , 2.4048, 符号改变
