1、数学学院双学位教学计划及管理细则北京大学数学科学学院北 京 大 学 数 学 科 学 学 院数学与应用数学专业双学位/辅修一，报名1，报名条件：（1） 拥护中国共产党的领导，品德良好，遵纪守法。（2） 没有不及格课程且已修课程的GPA在2.0以上。（3） 每人只能选修一个辅修或双学位专业。2，报名办法：（1） 时间： 5月（2） 地点：数学科学学院教学科研办公室（理科一号楼1295E室）报名程序：凡申请报名的同学需先登陆北京大学校内信息门户网上提交并打印报名表， 同时附已修课程成绩单并加盖院系教务章，一并交到数学科学学院教务办。二，录取1，本双学位专业计划录取100人。2，录取办法：根据申请人已
2、修相关课程成绩和总GPA择优录取，数学成绩优秀者优先考虑。3，初步录取名单，将于5月底在数学科学学院网页双学位一栏（三，学分和收费：1，修读双学位的学生应完成44学分；2，修读辅修的学生应完成35学分；3，双学位按学分收费，每学分150元。若中途退课，所交学费一律不退。每学期开学后前两周办理退双手续，请先登录校内门户提交申请，申请表签字后到数院教务办公室办理。四，课程设置及学分：双学位课程：43学分课程号课程名称周学时学分开课学期备注00132301数学分析I65学分秋季公共与基础课程00132302数学分析II65学分春季公共与基础课程00132303数学分析III54学分秋季公共与基础课程
3、00132321高等代数I65学分秋季核心课程00132322高等代数II54学分春季核心课程00135450抽象代数33学分秋季核心课程00132341几何学65学分秋季核心课程00131300概率论33学分春季核心课程00132340常微分方程33学分春季核心课程00132320复变函数33学分春季核心课程00132370实变函数33学分秋季限选课程补充说明：若学生在主修专业已经修读本双学位教学计划中某门课程或内容相近课程，则不可重复修读，应选修以下课程替代，重复修读成绩无效。一门课程如在主修专业和本双学位教学计划中均有要求，只能计算一次学分。课程号课程名称周学时学分开课学期备注00130
4、200数学模型33学分春季核心课程00132310微分几何33学分秋季限选课程00132330偏微分方程33学分秋季限选课程00130161拓扑学33学分秋季限选课程00130190微分流形33学分春季限选课程00136880数论基础33学分春季限选课程00136890基础代数几何33学分春季限选课程00135460数理统计33学分秋季限选课程00133090应用随机过程33学分秋季限选课程 辅修课程：35学分课程号课程名称周学时学分开课学期备注00132301数学分析I65学分秋季公共与基础课程00132302数学分析II65学分春季公共与基础课程00132303数学分析III54学分秋季公
5、共与基础课程00132321高等代数I65学分秋季核心课程00132322高等代数II54学分春季核心课程00135450抽象代数33学分秋季核心课程00131300概率论33学分春季核心课程00132340常微分方程33学分春季核心课程00132320复变函数33学分春季核心课程 补充说明：若学生在主修专业已经修读本辅修专业教学计划中某门课程或内容相近课程，则不可重复修读，应选修以下课程替代，重复修读成绩无效。一门课程如在主修专业和本双学位教学计划中均有要求，只能计算一次学分。课程号课程名称周学时学分开课学期备注00132341几何学65学分秋季核心课程00130200数学模型33学分春季核
6、心课程00136850实变与泛函44学分秋季限选课程00132310微分几何33学分秋季限选课程00132330偏微分方程33学分秋季限选课程00130161拓扑学33学分秋季限选课程00130190微分流形33学分春季限选课程00136880数论基础33学分春季限选课程00135460数理统计33学分秋季限选课程说明：双学位与数院本科生一起选课、上课、考试，同质化管理，每学期课表可到数院主页双学位一栏查看。缓考课程再次选课不需要缴费，不及格课程重修需要在学期开学后第二周内到教务办公室办理缴费手续。五，毕业及学位授予资格审定1，同时符合以下条件者，将根据北京大学的有关规定授予北京大学数学与应用
7、数学专业（双学位）理学学士证书：（1）完成主修专业学习，正常毕业并获得主修专业学士学位；（2）在主修专业学业结束时修完双学位教学计划规定的课程及学分，成绩合格；（3）在大四第二学期开学五周内提出证书资格申请。2，同时符合以下条件者，学校在其毕业证书上同时标注已完成的主修专业和辅修专业:（1） 完成主修专业学习，获得主修专业毕业证书；（2） 在主修专业学业结束时修完辅修教学计划规定的课程及学分，成绩合格；（3） 在大四第二学期开学五周内提出证书资格申请。3，学生主修专业学业结束时，无论毕业或结业离校，双学位或辅修专业学习同时终止。未完成双学位教学计划要求但达到辅修教学计划要求，可申请在毕业证书上
8、同时标注已完成的辅修专业。具体规定均以学校2017年辅修双学位最新相关政策为准咨询电话：数学科学学院教务办：62763111 北京大学数学科学学院课程简介课程号：00132301 00132302 00132303 课程名称：数学分析(I, II, III)开课学期：秋季开始（三学期）学分：5 +5+5（4+2）先修课程：无基本目的： 本课程是数学类各专业最重要的基础课之一。基本内容包括极限论、微分学、积分学、级数理论。本课程是许多后继课程如微分方程、微分几何、复变函数、实变函数、概率论、基础物理、理论力学等学习的基础。数学分析同时也是大学数学的基本能力及思维方法的训练重要课程。具有良好的数学
9、分析的基础对于今后的学习和研究起着关键的作用。内容提要：第一部分 一元微积分学一.函数实数理论简介；确界存在定理；函数概念与基本性质；初等函数二. 序列极限 序列极限定义；无穷小量与无穷大量； 序列极限的性质； 单调有界序列，实数系连续性的基本定理；Cauchy收敛准则；序列的上，下极限三 函数的极限与连续性 函数极限的定义与推广；函数极限的性质，数列极限与函数极限的关系；函数极限存在性定理及两个重要极限； 函数的连续与间断；连续函数的基本性质与初等函数的连续性；闭区间连续函数的性质；一致连续函数；无穷小量与无穷大量的阶四 导数和微分 导数的引入与定义； 单侧导数；求导的方法； 微分的定义与一
10、阶微分的形式不变性； 高阶导数与高阶微分五 导数的应用 微分中值定理； delHospitale法则；Taylor公式；利用导数研究函数六不定积分 原函数； 不定积分；第一与第二换元法；分部积分法；一些常见函数的不定积分 有理函数积分七 定积分 定积分概念与微积分基本定理；定积分的几何意义； 可积的必要条件，Daboux理论与可积函数类；定积分的性质；变限积分； 定积分的计算；换元法、分部积分法；定积分第一，二中值定理； 定积分的几何应用与简单物理应用 第二部分 级数理论一 数项级数 数项级数的概念；Cauchy 准则；条件收敛与绝对收敛性； 正项级数收敛的基本判别法；任意级数收敛的基本判别法
11、； 数项级数的性质（交换律；结合律；分配律）；无穷乘积二 函数序列与函数级数函数数列与级数研究的基本问题； 一致收敛性的定义； 一致收敛的Cauchy准则及其判别法； 一致收敛性的极限函数的性质三 幂级数 幂级数的收敛半径与收敛域；幂级数的性质；初等函数的幂级数展开；求Taylor展式的方法； Weierstrass逼近定理四 Fourier级数基本三角函数系； 周期函数Fourier级数； Fourier级数的点收敛；Dirichlet 积分与收敛的判别法； Fourier级数的均方收敛，Parseval等式；一致收敛 第三部分 多元微积分一 中的点集拓扑初步，连续函数 中的点集拓扑初步；多
12、元函数的极限与连续性二 多元函数微分学 偏导数； 全微分； 微分的几何意义； 高阶偏导数；隐函数求导； 方向导数与梯度；Taylor公式；向量函数求导 三 隐函数定理 隐函数定理； 逆变换定理 四 多元函数的极值问题 普通极值问题； 条件极值问题； Lagrange乘子法； 最小二乘法 五 重积分 重积分的定义； 重积分的存在性与性质；重积分的计算：化为累次积分与 重积分的变量替换 ，广义重积分六 曲线积分, 曲面积分与场论初步第一型与第二型曲线积分；第一型与第二型曲面积分； Green公式； Gauss公式；Stokes公式； 曲线积分与路径无关 ；*微分流形初步：微分形式；外微分； 微分形
13、式的拉回； 微分流形； 微分流形上微分形式的积分； Stokes公式教学方式：课堂授课参考书： 1. 伍胜健， 数学分析（I, II, III）, 北京大学出版社 （待出版）2. 方企勤等， 数学分析（1，2，3）， 高等教育出版社3. 彭立中，谭小江， 数学分析（1，2，3），高等教育出版社。学生成绩评定方法：作业15，期中考试350，期末考试50.课程号： 00132321 课程名称：高等代数 I开课学期：秋季学分：5先修课程：无基本目的：1） 使学生学习并掌握线性方程组、矩阵、行列式、线性空间、线性变换（映射）等知识；2） 鉴于现代代数学的主要内容是研究抽象的代数结构的性质，本课程着重培
14、养学生由具体对象出发抽象出具有普遍性的概念、通过抽象思维和推理解决实际问题的初步能力。内容提要：下面打*部分为选学内容a) 引言与预备知识（6学时） 代数系统，数域，集合与映射，代数学基本定理，求和号与乘积号，线性方程组，消元法。 二、向量空间与矩阵（16学时） n维向量空间，向量组的线性相关与线性无关，极大线性无关组与秩，矩阵的秩，线性方程组理论，矩阵运算，方阵，初等矩阵，逆矩阵，分块矩阵。 三、行列式（8学时） n阶行列式的定义，行列式的性质，行列式的应用(Cramer法则、矩阵的秩与子式的关系)，行列式的完全展开，*Laplace展开式与Binet-Cauchy公式。四、 线性空间（12
15、学时）线性空间的基本概念，基与维数，坐标，基变换，坐标变换公式，子空间，子空间的交与和，维数公式，子空间的直和，商空间。五、 线性变换（12学时）线性映射的基本概念，同构映射，线性映射的像与核，维数关系，线性映射的运算与矩阵；线性变换的基本概念，线性变换的运算，线性变换在不同基下的矩阵，相似矩阵，特征值与特征向量，线性变换可对角化的条件，不变子空间，不变子空间的商空间上的诱导变换。 教学方式：每周授课4学时（4学分）和2节习题课（1学分）。教材与参考书： 1 北京大学数学力学系几何与代数教研室代数小组：高等代数，高等教育出版社，1984（第6次印刷）。 2 蓝以中：高等代数简明教程（上册），北
16、京大学出版社，2003（第2次印刷）。 3 丘维声：高等代数（第二版）上册，高等教育出版社，2002年。学生成绩评定方法：作业10，期中考试30，期末考试60。-课程号：00132322 课程名称：高等代数II开课学期：春季学分：4先修课程：高等代数I，解析几何。基本目的：(1)使学生学习并掌握二次型、具有度量的线性空间、Jordan标准形、整数环、多项式环、张量积、外代数等知识；(2)鉴于现代代数学的主要内容是研究抽象的代数结构的性质，本课程着重培养学生由具体对象抽象出具有普遍性的概念、通过抽象思维和推理解决实际问题的初步能力。内容提要：下面打*部分为选学内容一、 双线性函数与二次型（8学时
17、） 线性函数与双线性函数(定义，矩阵，不同基下的矩阵，合同矩阵)，对称双线性函数与二次型，对称矩阵合同于对角矩阵，实、复二次型的分类，正定二次型（三个刻画性质），负定二次型，半正定、半负定、不定二次型。 二、带度量的线性空间（14学时）欧式空间的基本概念，正交变换(等价定义，乘积及逆，度量矩阵的标准形)，对称变换，用正交矩阵将实对称矩阵化为对角形，酉空间，酉变换，共轭变换，Hermite变换, *四维时空空间，*Lorentz变换，*辛空间与辛变换。 三、Jordan标准形（8学时） 幂零线性变换的Jordan标准形，一般线性变换的Jordan标准形，最小多项式。 四、有理整数环（4学时） 算
18、术基本定理，同余，Euler函数，Euler定理，Fermat小定理，中国剩余定理，剩余类环，有限域，有限域上的线性代数。 五、多项式环（12学时） 基本概念，因子分解唯一定理，重因式，中国剩余定理，Jordan-Chevalley分解定理，Cx、Rx内的因式分解，Qx、Zx内的因式分解，Gauss引理，Eisenstein判别法， *Sturm定理，对称多项式，判别式与结式。 *六、张量积与外代数（8学时） 多重线性映射，线性空间的张量积，张量，外代数。教学方式：每4周授课14学时（3.5学分）和4节习题课（0.5学分）。教材与参考书： 1 北京大学数学力学系几何与代数教研室代数小组：高等代
19、数，高等教育出版社，1984（第6次印刷）。 2 蓝以中：高等代数简明教程（上、下册），北京大学出版社，2003（第2次印刷）。 3 丘维声：高等代数（第二版）下册，高等教育出版社，2002年。学生成绩评定方法：作业10，期中考试30，期末考试60。-课程号：00135450 课程名称：抽象代数开课学期：秋季学分： 3先修课程：高等代数I, II基本目的：1 使学生掌握抽象代数的基本概念，基本理论，基本方法，受到抽象代数的基本训练。2 培养学生数学的思维方式。内容提要：下面打*部分为选学内容 一、引言（2学时） 抽象代数的研究对象，群、环、域的概念和简单性质。 二、群（22学时） 群的典型例子
20、，对称群及交错群，子群，陪集，Lagrange定理，正规子群和商群，群的同构与同态，群的直积，群同态基本定理，循环群，换位子群，可解群，单群，群的自同构，群在集合上的作用，Cayley定理，共轭类，p-群，轨道-稳定子定理，Sylow定理，有限Abel群的结构，*合成群列，*自由群，*群的定义关系，*正多面体和有限旋转群。 三、环（12学时） 环的类型和例，域的特征，子环和理想，商环，环同态基本定理，环的直和，中国剩余定理，素理想和极大理想，域的构造，*分式域，唯一因子分解整环，主理想整环，Euclid整环，唯一因子分解整环上的多项式环。 四、域扩张（8学时） 域扩张，有限扩张，代数扩张，单扩
21、张，尺规作图问题，分裂域，正规扩张，有限域，可分扩张，域扩张的自同构，Galois群，Galois理论简介，*代数方程可根式解问题。 *五、模与格简介（4学时） 模的定义与例，子模与商模，模的同态与同构，格的定义与例，模格与分配格，Boole代数。教学方式：每周授课3学时教材与参考书：1 丘维声，抽象代数基础，高等教育出版社，2003年。2 赵春来、徐明曜，抽象代数I，北京大学出版社，2008年。3 聂灵沼、丁石孙，代数学引论（第二版），高等教育出版社，2000年。学生成绩评定方法：作业10，期中考试30，期末考试60。-课程号：00132341 课程名称：几何学开课学期：秋季学分： 5先修课
22、程： 无基本目的培养学生的几何直观能力和应用代数工具来研究、解决几何问题的能力。为高等代数和多元微积分提供相关的几何背景知识；通过介绍变换群(不变性)与射影化的观念，为进一步学习代数（群论，代数几何）与几何打下基础.内容提要：一、向量代数（约9学时）向量，向量的加法，向量的数量乘积，向量的分解，向量的线性运算和应用，向量的内积、外积和体积（混和积），向量代数的应用。二、空间解析几何（约10学时）仿射坐标系，单位直角坐标系，坐标与方程，平面方程，直线方程，平面、直线间的位置关系，点到直线、平面的距离，异面直线间的共垂线及夹角，球面，旋转面，柱面，锥面，二次曲面，直纹面。三、二次曲线的分类（约11
23、学时）平面和空间仿射坐标变换，平面和空间单位直角坐标变换，圆锥曲线，平面二次曲线，二次曲线的不变量，二次曲线的分类，二次曲线的中心、对称轴、切线和渐近线*，二次曲面的分类定理简介。四、等距变换和仿射变换（约12学时）平面和空间的变换，平面间的1-1映射,平面和空间的等距变换，平面间的等距变换，平面上的直线反射、旋转和平移，空间中的平面反射、旋转和平移，平面和空间图形的对称群，平面和空间的仿射变换，仿射变换诱导的向量空间的线性变换，仿射变换的不变性质、不变量，仿射变换的坐标表示，等距变换的坐标表示。五、射影几何初步（约10学时）中心投射，Desarques定理，Pappus定理，射影平面，射影变
24、换，点线对偶，交比，圆锥曲线的射影理论，配极，射影坐标系及其应用。六、双曲几何初步*（约8学时,由教员依教学进度自行决定）平面和空间的反演变换，平面Mbius变换群，复分式变换，复交比，双曲平面，双曲度量，双曲变换群，双曲三角形正弦、余弦和面积公式。教学方式：每周授课4+2学时教材与参考书：1）尤承业，解析几何，北京大学出版社。2）丘维声，解析几何，北京大学出版社。3) 吴光磊、田畴，解析几何简明教程，高等教育出版社。学生成绩评定方法：平时20，半期考20，期考60.-课程号：00131300 课程名称：概率论 (英文名称Probability)开课学期：春季学分： 3先修课程：数学分析，高等
25、代数基本目的：1、 对随机现象有充分的感性认识和比较准确的理解。2、 联系实际问题，初步掌握处理不确定性事件的理论和方法。内容提要：一、古典概型与概率空间（9学时） 随机事件 古典概型 几何概型 概率空间 概率的性质 条件概率 乘法公式 独立性 全概率公式 Bayes公式 概率模型举例二、随机变量与概率分布（10学时） 一维随机变量定义 离散型随机变量 连续型随机变量 概率分布函数 随机变量函数的分布 三、 随机向量及其分布（8学时） 离散型随机向量及其分布 连续型随机向量及其联合密度 随机向量函数的分布 随机变量独立性定义 条件分布和条件密度 四、数学期望与方差（8学时） 数学期望 方差 协
26、方差与相关系数 条件数学期望与最佳预测五、概率极限理论（10学时） 概率母函数 特征函数 弱大数定律 强大数定律 Borel-Cantalli引理 中心极限定理 随机变量四种收敛性定义及相互关系介绍教学方式：每周授课3小时 教材与参考书：1、 汪仁官， 概率论引论， 北京大学出版社19942、 何书元， 概率论， 北京大学出版社20053、 李贤平，概率论基础（第二版）， 高等教育出版社，19974、 钱敏平、叶俊，随机数学，高等教育出版社，2000成绩评定方法：由主讲老师定，建议 作业20，半期考30，期考50.-课程号： 00132320 课程名称：常微分方程开课学期：春季学分： 3先修课
27、程：数学分析、线性代数、解析几何基本目的：常微分方程是综合性大学数学系各专业的重要基础课，也是应用性很强的一门数学课。本课程的目的是学习和掌握常微分方程的基本知识，并为后行课（数理方程、微分几何、泛函分析等）作好准备；通过穿插的实例（特别是在历史上成功地利用微分方程解释实际现象的著名范例）培养学生利用数学理论解决实际问题的意识和初步能力。内容提要： 一、基本概念（1学时）微分方程及其解的定义，解的几何解释 二、初等积分法（9学时） 恰当方程，变量分离的方程，齐次方程、伯努里方程、黎卡提方程，积分因子法，一阶线性方程，一阶隐式微分方程的解法，Clairaut方程 三、存在唯一性定理（8学时） Lipschitz条件， Picard迭代序列，Picard 定理, Peano定理(叙述不证明),解的最大存在区间， 解的延伸定理, 解对初值和参数的连续依赖性定理，连续可微性定理（叙述不证明），对初值和参数的导数满足的微分方程四、线性方程组（10学时）解的线性相关、线性无关，齐次方程组解的结构，基本解矩阵，Wronsky行列式，Liouville公式，常数变易法，解的通解公式;常系数线性方程组和常系数高阶线性方程的解法, 矩阵指数函数exp(Ax),待定指数函数法。五、非线性高阶微分方程（7学时）首次积分的定义和性质，首次积分的存在性, 数学摆，二体问题。六、幂级数解
