1、七年级数学下重要知识点总结北师大版七年级数学（下）重要知识点总结第一章：整式的运算一、单项式:都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。二、多项式:几个单项式的和叫做多项式。三、整式:单项式和多项式统称为整式。四、整式的加减：整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。五、同底数幂的乘法：同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：aman=am+n。六、幂的乘方：幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（am）n =amn。七、积的乘方：1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得
2、的幂相乘。即（ab）n=anbn。3、此法则也可以逆用，即：anbn =（ab）n。八、同底数幂的除法：同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：aman=am-n（a0）。十、零指数幂：零指数幂的意义：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a0=1（a0）。十一、负指数幂：任何不等于零的数的p次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即： （一）单项式与单项式相乘：单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。（二）单项式与多项式相乘：单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项
3、，再把所得的积相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。（三）多项式与多项式相乘：多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。十三、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。十四、完全平方公式即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。掌握理解完全平方公式的变形公式： 完全平方公式可以逆用，即： 十五、整式的除法（一）单项式除以单项式的法则:单项式除以单项式的法则：一般地，单项式相除，把系数、同底数
4、幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。（二）多项式除以单项式的法则:多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。用字母表示为： 第二章平行线与相交线一、余角与补角1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。3、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。二、对顶角1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。2、一个角的两边
5、分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。3、对顶角的性质：对顶角相等。三、同位角、内错角、同旁内角1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。四、平行线的判定方法1、同位角相等，两直线平行。2、内错角相等，两直线平行。3、同旁内角互补，两直线平行。4、在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两
6、条直线平行。5、在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行。平行线的性质1、两直线平行，同位角相等。2、两直线平行，内错角相等。3、两直线平行，同旁内角互补。尺规作线段和角1、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。第三章生活中的数据一、单位换算1、长度单位：（1）百万分之一米又称微米，即1微米=10-6米。（2）10亿分之一米又称纳米，即1纳米=10-9米。（3）1微米=103纳米。（4）1米=10分米=100厘米=103毫米=106微米=109纳米。2、面积单位（1）10-6千米2=1米2=102分米
7、2=104厘米2=106毫米2=1012微米2=1018纳米2。3、质量单位（1）1吨=103千克=106克。二、科学计数法表示绝对值小于1的较小数据1、用科学计数法表示绝对值小于1的较小数据时，也可以表示为a10n的形式，其中1a10,n为负整数，n等于这个数的第一个不为零的数字前面所有零的个数（包括小数点前面的一个零）的相反数。三、近似数与精确数1、精确数是指一个物体或描述一事件的真实数值。2、近似数是指用测量或统计的方法、四舍五入、估计等得到的数。四、有效数字1、对于一个近似数，从左边第一个不为零的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫这个数的有效数字。2、对于科学计数法型的近似数，
8、由a10n（1a10）中的a来确定，a的有效数字就是这个近似数的有效数字。与10n无关。五、近似数的精确度1、近似数的精确度是近似数精确的程度。2、近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。3、精确度是由该近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定的。六、统计图（表）1、条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。2、折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。3、扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。4、象形统计图：能直观地反映数据之间的意义。第四章概率 一、事件:1、事件分为必然事件、不可能事件、不确定事件。2、必然事件：事先就能肯定一定会发生的事件。也就是指该
9、事件每次一定发生，不可能不发生，即发生的可能是100%（或1）。3、不可能事件：事先就能肯定一定不会发生的事件。也就是指该事件每次都完全没有机会发生，即发生的可能性为零。4、不确定事件：事先无法肯定会不会发生的事件，也就是说该事件可能发生，也可能不发生，即发生的可能性在0和1之间。二、等可能性：是指几种事件发生的可能性相等。1、概率：是反映事件发生的可能性的大小的量，它是一个比例数，一般用P来表示，P（A）=事件A可能出现的结果数/所有可能出现的结果数。2、必然事件发生的概率为1，记作P（必然事件）=1；3、不可能事件发生的概率为0，记作P（不可能事件）=0；4、不确定事件发生的概率在01之间
10、，记作0P（不确定事件）c,a+cb,b+ca；a-bc,a-cb,b-cc,a+cb,b+ca同时成立时，能组成三角形；（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即.三、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。2、三角形按内角的大小可分为三类：（1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；（2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“Rt”表示“直角三角形”,其中直角C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。注：直
11、角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。四、三角形的三条重要线段1、三角形的角平分线：（1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。（2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。3、三角形的中线：（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。（2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。4、三角形的高线：（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，
12、顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。（2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。区别相同中线平分对边三条中线交于三角形内部（1）都是线段（2）都从顶点画出（3）所在直线相交于一点角平分线平分内角三条角平分线交于三角表内部高线垂直于对边（或其延长线）锐角三角形：三条高线都在三角形内部直角三角形：其中两条恰好是直角边钝角三角形：其中两条在三角表外部五、全等图形1、两个能够重合的图形称为全等图形。2、全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。六、全等三角形1、能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“”连接，读作“全等于”。2、用“”连接的两个全等三角形，表示对应顶
13、点的字母写在对应的位置上。八、全等三角形的判定1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。九、作三角形;十、利用三角形全等测距离;十一、直角三角形全等的条件1、在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。第六章变量之间的关系 一、变量、自变量、因变量1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。2
14、、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量。 在我们日常生活中普遍存在，笔者结合七年级数学教材（北师大版）浅谈几种表示变量之间关系的表示方法。简单地说：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量，反之，可以取不同数值的就叫做变量。而变量包括自变量和因变量。自变量即能够影响其他变量的一个变量，或者说因为自己改变导致其它的变量也随之而变化的量。因变量则为受其它变量改变后而随之影响变化的变量。例如，计算圆的面积公式S= 2中，圆周率常量，圆的面积随着圆的半径的变化而变化，就是变量。圆的半径是自变量，圆的面积是因变量。同理
15、，在一个变化过程中有两个量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么x是自变量，y是因变量。 一.列表法。 采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。 例1：在全国抗击“非典”的斗争中，黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典型肺炎的抗生素。据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药液后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（分钟）之间的关系近似地
16、满足下表：时间(分钟)020406080100120140160180200220240260含药量(微克)02465.75.24.84.443.63.22.82.42（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当注射药液60分钟后血液中含药量是多少？（3）据临床观察：每毫升血液中含药量不少于4微克时，控制“非典”病情是有效的。如果病人按规定的剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效？这个有效时间有多长？【分析】从这个表中可以看出两个量都是变量，且血液中的含药量随着注射药液的时间的变化而变化。因此，注射药液的时间是自变量，血液中的含药量是
17、因变量。从这两个变量之间的关系的表格中可以得到，注射药液的时间与血液中的含药量的多少一一对应，知道注射药液的时间即可找到血液中的含药量，反之，知道血液中的含药量即可找到注射药液所对应的时间。而要找到控制病情的有效时间有多长？关键要观察出表内注射药液的时间与血液中含药量的变化规律：注射药液后的开始60分钟内血液中的含药量是由0微克上升至6微克，60分钟以后，血液中的含药量是逐渐下降，只要找出开始上升至4微克的时间和下降至4微克的时间，两者的时间差即是控制病情的有效时间。【解答】（1）上表反映了注射药液的时间和血液中的含药量这两个变量之间的关系，自变量是注射药液的时间，因变量是血液中的含药量。（2
18、）当注射药液60分钟后血液中含药量是6微克。（3）据临床观察：每毫升血液中含药量不少于4微克时，控制“非典”病情是有效的。如果病人按规定的剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过40分钟后控制病情开始有效，这个有效时间是120分钟（从表格中可以看出：当注射药液达到40分钟时，血液中的含药量上升到4微克，之后继续上升至最高值为6微克，然后缓慢下降，当注射药液160分钟后，血液中的含药量下降至4微克，所以，如果按规定的剂量注射该药液后需要经过40分钟控制病情开始有效，这个有效时间为160分钟40分钟=120分钟）。 二.关系式法。关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据
19、任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。例2：已知梯形上底的长是 x，下底的长是 15，高是 8，梯形面积 为y。 (原题见课本197页数学理解第1题) （1）梯形面积 y 与上底长 x 之间的关系式是什么？（2）用表格表示当 x 从 10 变到 20 时（每次增加1），y 的相应值；（3） 当 x 每增加 1 时，y如何变化？说说你的理由；（4） 当 x 0时，y 等于什么？此时它表示的什么？【分析】根据题意及其梯形的面积公式S= (a+b)h/2可以得到：梯形的下底b和高h都是常量，梯形的上底a和梯形的面积S是未知数，且梯形的面积S随着梯形的上底a
20、的变化而变化。梯形的上底a是自变量，梯形的面积S是因变量。即为梯形面积 y 与上底长 x 之间的关系式是y=4x+10。然后根据关系式列出表格不难看出，当x每增加 1 时，y随之增加4。因为4（x+1）+60（4x+60）=4。那么当x=0时，梯形的上底为0，此时梯形上底边上的点A与点D重合，因此，此时它不是梯形，而是一个三角形。【解答】（1）梯形面积 y 与上底长 x 之间的关系式是y=4x+10。（2）用表格表示当 x 从 10 变到 20 时（每次增加1），y 的相应值如下表：梯形的上底x1011121314151617181920梯形的面积y1001041081121161201241
21、28132136140（3） 当 x 每增加 1 时，y增加4。（4）当 x 0时，y 等于60。此时它表示的是三角形的面积。三.图象法。对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。表示的步骤是：列表：列表给出自变量与因变量的一些特殊的对应值。一般给出的数越多，画出的图象越精确。描点：在用图象表示变量之间
22、的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴或x轴）上的点来表示自变量，用竖直方向的数轴（纵轴或y轴）上的点来表示因变量。连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线把所描的各点连结起来。例3： 如图是某天温度变化的情况。(原题见课本198页)（1）上午9时的温度是多少？ 12时呢？（2） 这一天的最高温度是多少？是在几时达到的？最低温度呢？（3） 这一天的温差是多少？从最低温度到最高温度经过了多长时间？（4）在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？（5） 图中A点表示的是什么？B点呢？【分析】在图象中，我们可以直观地看出它表示的是时间与温度两个变量之间的关系，温度随着时间的变化而变化
23、。时间是自变量，温度是因变量。在一天中温度的变化情况，在不同的时间都有一个不同的温度和它对应。为此，我们可以在图象中任意取一个点，都可以找出对应的时间和所对应的温度。还可以看出一天中的最高气温和最低气温。【解答】（1）上午9时的温度是27，12时是31。（2）这一天的最高温度是37，是在15时达到的，最低温度是23，是在3时达到的。（3）这一天的温差（最高温度和最低温度的差值）是3723=14，从最低温度到最高温度经过了15时3时=12时。（4）在3时到15时温度在上升，在0时到3时、15时到24时温度在下降。（5）A点表示的是21时的温度是31，B点表示的是0时的温度是26。四.三种表示方法
24、的关系。 表格、关系式与图象都能表示两个变量之间的关系，已知关系式可以列出表格，画出图象，已知表格、图象却不一定有相应的关系式。但是，关系式的确定也是根据表格、图象所提供的信息，用从特殊到一般的数学思想，经过类比、比较和归纳，从而猜想得出结论进行验证后的结果。五.优缺点比较。类别情况表示方法优 点缺 点备 注列表法对于表中自变量的每一个值可以不通过计算,直接把因变量的值找到,查询时很方便只能列出部分自变量与因变量的对应值,难以反映变量间的变化全貌,而且从表中看不出变量间的对应规律通常自变量表示在表格的上方，因变量表示在表格的下方关系式法简明扼要,规范准确有些变量之间的关系很难或不能用关系式表示
25、,求对应值也需要逐个计算,比较麻烦通常自变量表示在式子的右边，因变量表示在式子的左边图象法形象直观,可以很形象地反映事物变化的全过程,变化的趋势和某些性质(因变量的增减性,点的对称,最大值或最小值)等图象是近似的,局部的,观察或由图象确定的因变量的值往往是不准确的通常自变量用水平方向的数轴（横轴）上的点来表示，因变量用竖直方向的数轴（纵轴）上的点来表示 总之，数学表达信息是多样化的，数学的应用在表达形式上也是灵活多样的，除了常见的用文字、符号、关系式等表达形式外，辅以图象、图形或表格等多种形式，对丰富的现实背景做了更加生动、形象、科学、直观地描述，达到了内容与形式的完美统一。一、概念：变量：在
26、某一过程中发生变化的量，其中包括自变量与因变量。自变量是最初变动的量，它在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的；因变量是由于自变量变动而引起变动的量，它“依赖于” 自变量的改变。常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量.二、变量的表示1.列表法采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时一般第一行代表自变量，第二行代表因变量，选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出对应的因变量的值。列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。2.图象法对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x
27、与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。表示的步骤是：列表：列表给出自变量与因变量的一些特殊的对应值。一般给出的数越多，画出的图象越精确。描点：在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴或x轴）上的点来表示自变量，用竖直方向的数轴（纵轴或y轴）上的点来表示因变量。连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线把所描的各点连结起来。
28、注意：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象； b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标）.3.关系式法（解析法）关系式（即解析式）是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。注意：三种表示方法的关系表格、图象与关系式都能表示两个变量之间的关系，已知关系式可以列出表格，画出图象，已知表格、图象却不一定有相应的关系式。但是，关系式的确定也是根据表格、图象所提供的信息，用从特殊到一般的数学思想，经过类比、比较和归纳，从而猜想得出结论进行验证后的结果。三、事物变化趋势的描述
29、对事物变化趋势的描述一般有两种：1.随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而增加（大）；2. 随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐减小（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而减小）.注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）等等.四、估计（或者估算） 对事物的估计（或者估算）有三种： 1.利用事物的变化规律进行估计（或者估算）.例如：自变量x每增加一定量，因变量y的变化情况；平均每次（年）的变化情况（平均每次的变化量=（尾数首数）/次数或相差年数）等等； 2.利用图象：首先根
