1、中考一轮复习讲义第十一章全等三角形第十一章 全等三角形本章小结小结1 本章概述本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学习如何利用全等三角形进行证明学习利用三角形全等推导出角平分线的性质及判定全等三角形是研究图形的重要工具，是几何学习中最基础的知识，为今后学习四边形、圆等内容打下基础小结2 本章学习重难点【本章重点】 1全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法2角平分线的性质及判定3理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式【本章难点】 1根据不同的条件合理选用三角形全等的判定方法，特别是对于“SSA”不能判定三角形全等的认识2角平分线的性质和判定
2、的正确运用3用综合法证明的格式小结3 学法指导1注意在探究中掌握结论2三角形全等的判定方法较多，注重在对比中掌握这些结论3注重推理能力的培养，推理时前因后果写清楚，过程书写要严密，有理有据4注重联系实际5注意分类讨论思想、转化思想、数学建模思想等的应用，掌握作辅助线的技巧知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 三角形全等的判定与性质的综合应用【专题解读】 三角形的全等的判定要根据题目的具体情况确定采用SAS，ASA，AAS，SSS，HL中的哪个定理，而且这几个判定方法往往要结合其性质综合解题 例1 如图11-113所示，BD，CE分别是ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延线上，
3、BPAC，点Q在CE上，CQAB （1）求证APAQ；（2）求证APAQ 分析 （1）欲证APAQ，只需证对应的两个三角形全等，即证ABPQCA即可（2）在（1）的基础上证明PAQ90证明：（1）BD，CE分别是ABC的边AC，AB上的高，ADBAEC90 在RtAEC和RtADB中，ABP90BAD，ACE90一DAB，ABPACE 在ABP和QCA中，BPCA（已知），ABPACE（已证），ABQC（已知），ABPQCA（SAS）APAQ（全等三角形的对应边相等）（2）ABPQCA，PCAQ（全等三角形的对应角相等）又PPAD90，CAQPAD90，即QAP90，APAQ例2 若两个锐角三
4、角形的两边和其中一边上的高分别对应相等试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系，并说明理由分析 运用全等三角形的判定和性质，探讨两角之间的关系，题中没给图形，需自己根据题意画出符合题意的图形，结合图形写出已知、结论 已知：如图11-114所示，在ABC和ABC中，ABAB，BCBC，AD，AD分别是BC，BC上的高，且ADAD判断B和B的关系解：BB理由如下：AD，AD分别是BC，BC边上的高，ADBADB90 在RtADB和RtADB中， RtADBRtADB（ HL）BB（全等三角形的对应角相等）规律方法 边、角、中线、角平分线、高是三角形的基本元素，从以上诸元素中选取三个条件组合，可
5、以得到关于三角形全等判定的若干命题例3 如图11-115所示，已知四边形纸片ABCD中，ADBC，将ABC，DAB分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，点C，D都落在AB边上的F处，你能获得哪些结论?分析 对折前后重合的部分是全等的，从线段关系、角的关系、面积关系等不同方面进行探索，以获得更多的结论，这是一道开放性试卷解：ADAF，EDEFEC，BCBFAD十BCAB，DEEC2EF12，34，DAFE，CEFB，DEAFEA， CEBFEBAEB90或EAEBSDAESEAF，SECBSEFB.【解题策略】 本题融操作、观察、猜想、推理于一体，需要具有一定的综合能力推理论证既是说明道
6、理，也是探索、发现的途径善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键需要注意的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三角形：（1）给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形（2）从题设条件中无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形专题2全等三角形的性质及判定的实际应用【专题解读】全等三角形的知识在实际问题中的应用是常见的一种类型题，解题的是键是将实际问题抽象成几何问题来解决，一般难度不大 例4 如图11-116所示，太阳光线AC与AC是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗?说说你的理由分析 本题欲确定影子一样长，实际就是证
7、明BC与BC相等，而要证明两条线段相等，常常证明它们所在的两个三角形全等解：影子一样长理由如下： 因为ABBC，ABBC， 所以ABCABC90 因为ACAC，所以ACBACB在ABC和ABC中，ABCABC,ACBACB,ABAB,所以ABCABC（AAS），所以BCBC（全等三角形的对应边相等）专题3 角平分线的性质及判定的应用【专题解读】 此部分内容单独考查时难度不大，要注意角平分线的性质及判定的区别与联系 例5 如图11-117所示P是AOB的平分线上的一点，PCAO于 C，PDOB于D，写出图中一组相等的线段（只需写出一组即可） 分析 本题主要运用角平分线的性质定理来解决，同时本题是
8、一道开放性试卷，答案不唯一故填PDPC（或ODOC） 【解题策略】OC与OD相等可通过三角形全等来得到 例6 如图11-118所示，在ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC交BC于G，DEAB 于 E，DFAC交AC的延长线于F（1）说明BECF的理由；（2）如果ABa，ACb，求AEBE的长分析 本题综合考查了角平分线与全等三角形的性质及判定，难度中等 解：（1）连接BD，CD，AD是BAC的平分线，且DEAB，DFAC，DEDF 又DGBC且BGGC，DBGDCG，DBDCRtBEDRtCFD（HL），BECF （2）DEAB，DFAC，DEADFA90在RtADE和RtADF中，R
9、tADF中RtADERtADF（HL）AEAF又BECF，aBE6BE2BEab，即BEAEABBEa=专题4 利用尺规作图，作一个三角形与另一个三角形全等或作一个角的平分线【专题解读】 尺规作图是数学的重要知识之一，作一个角的平分线和作一个三角形全等于另一个三角形是尺规作图中的基本作图很多复杂的图形都是通过这些简单的基本图形作出来的例7 如图11-119所示，已知ABC，在ABC内求作一点P，使它到ABC三边的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）分析 到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，其实只需作出两个角的平分线，即可确定P点的位置，作图痕迹指的是确定点P的过程解：如图11-1
10、20所示二、思想方法专题专题5分类讨论思想【专题解读】 对于三角形全等的有些性质及判定的问题，由于已知条件的不确定或开放性问题常用到分类讨论思想例8如图11- 121所示，在ABD和ACE中，有下列四个论断：ABACADAE； BC； BDCE请以其中三个论断作为条件余下一个作为结论，写出一个正确的数学命题（用序号的形式写出）：分析 解决本题一方面用分类讨论的数学思想来考虑问题，另一方面需熟练应用全等三角形的性质及判定方法具体分析如下：（1）以为结论为条件：在ABD和ACE中，ABDACEABAC不能以为条件，为结论（2）以为结论，为条件：在ABD和ACE中，ABDACE（SAS）ADAE能以
11、为条件，为结论（3）以为结论，为条件：在ABD和ACE中，ABDACE（SSS）BC能以为条件，为结论（4）以为结论，为条件：在ABD和ACE中，ABDACECBDCE不能以为条件，为结论正确的结果有两种：其一：；其二：两者任选其一即可故填或专题6转化思想【专题解读】 三角形全等是证明线段相等、角相等最常用的方法证线段（或角）相等往往转化为证线段（或角）所在的两个三角形全等当需证的两个全等的三角形不明显时，还要添加辅助线，构造全等三角形 例9 如图11-122所示，已知ABCD，ADBC，求证BD，AC分析 本题是证明四边形的对角相等，需构造全等三角形，转化为证三角形全等为此，需作辅助线AC，
12、把四边形ABCD分成ACD和CBA证明：连接AC，在ADC和CBA中， ADCCBA（SSS）DB 同理DABDCB例10 如图11-123所示ABC中，BD为ABC的平分线，DEAB于E，且DE2，AB9，BC6，你能求出ABC的面积吗?分析 要求ABC的面积，只需分别求出ABD和BCD的面积即可在ABD中底AB高DE都知道在BCD中，底BC知道，高没画出来，所以问题就转化为求BCD的高，这里可以作辅助线DFBC于F解：作DFBC于F 因为BD是ABC的平分线，DEAB，DFBC，所以DEDF 由DE2 cm，可知DF2 cm 所以SABCSABDSBCD ABDEBCDF 926215（2
13、）专题7数学建模思想【专题解读】 全等三角形在实际生活中有很多的应用比如，测量工具内槽宽的工具卡钳，测量不能直接测量的两点间的距离等对于这些实际问题，往往是根据实际情况，建立数学模型，利用数学原理解决问题例11 如图11-124所示的是人民公园中的荷花池，现要测量此荷花池两旁A，B两棵树之间的距离，但无法直接测量，请你运用所学知识，以卷尺和测角仪为测量工具设计一种测量方案要求：（1）画出你设计的测量平面图；（2）简述测量方法，并写出测量数据（长度用a，b，c，表示，角度用 ,，表示）；（3）根据你测量的数据，计算A,B两棵树之间的距离分析 依题意结合图形解题，我们可以用SAS，ASA，AAS等
14、方法构造出两个全等三角形，即可用卷尺测出与AB相等的边的长度，从而得到A，B间的距离 解法1：如图11-125所示，在平面内选取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC并延长至D，使ACCD，连接BC并延长至E，使BCCE连接ED，用卷尺分别测出ACCDb，BCCEa，EDc，则A，B两点间的距离ABEDc解法2：作射线BM，如图11-126所示，在射线BM上取一点C，使点C能达到点A.在BM上取一点E，使BCCEa过点E作BED ABCa，连接AC并延长，与ED相交于D点，这样易知ABCDEC（ASA），所以ABDE，用卷尺可测出ED的长为b，则A，B间的距离为b【解题策略】 事实上，用测量的
15、方法获得两个不能直接测量的两地之间的距离，除了用三角形全等的方法外，在学习了相似三角形后，也可通过相似的方法获得测量方法和结果 专题8类比思想【专题解读】 对于几何图形的运动问题（如平移、旋转等）以及一些规律探究题，常常会出现一个基本图形，无论从图形上还是从解题方法上都比较简单，而其他的较复杂的图形，都是由基本图形通过变化得到的，它和基本图形有很多类似的条件和结论类比基本图形，可以解决复杂图形的问题，主要考查观察能力和推理、猜测能力例12 （规律探究题）如图11-127（1）所示，ABCD，ADBC，O为AC的中点，过O点的直线分别与AD，BC相交于M，N，那1和2有什么关系?请证明；将过O点
16、的直线旋转至图11-127（2）（3）的位置时，其他条件不变，那图（1）中的1和2的关系还成立吗?请证明分析 图（1）是基本的图形，在图（1）中证12不难，在图（2）（3）中证12，可以类比在图（1）中证明时的方法解：12证明：在ABC和CDA中，所以ABCCDA（SSS）所以BCADAC所以ADBC所以12当直线旋转到图（2）（3）的位置时，仍有12，证明方法同上例13（动手操作题）正方形通过剪切可以拼成一个三角形，如图11128所示仿照图（1）所示的方法，解答下列问题，操作设计（在原图上画出即可）（1）如图11-128（2）所示，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三
17、角形面积相等的长方形；（2）如图11-128（3）所示，对于任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原图形面积相等的长方形；（3）如图11-128（4）所示对于任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原图形面积相等的长方形 分析 本题考查观察能力、动手操作能力剪下来的图形和拼上去的图形实际上是一个图形拼图的关键在于使剪切下的图形和拼接的图形的全等普通三角形可以类比直角三角形，四边形可以类比普通三角形解：（1）如图11-129所示 （2）如图11-130所示 （3）如图11-131所示【解题策略】 （1）第（2）题中任意三角形的剪切、拼接，可以先把它转化为两个直角形，
18、再按照（1）中直角三角形的拼接方法完成对于任意四边形，则是通过连接对角线，把四边形转化为两个三角形本题体现了数学中的类比、转化思想（2）针对图形而言，本题中实质上是构造全等三角形：利用线段中点把线段分成两条相等的线段的条件，再添加一些合适的条件，就可以构造出全等三角形，从而达到转化线段、角以及三角形位置的目的综合验收评估测试卷（时间：1 20分钟 满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1如图11-132所示，在ABC中，CD是ACB的平分线，A 80ACB60，那么BDC等于 （ ）A80B90C100D1102如图11-133所示，EF90，BC，AEAF，则下列结论：EMFN；
19、CDDN；FANEAM；CANBAM其中 正确的有 （ ）A1个 B2个 C3个 D4个3已知如图11-134所示的两个三角形全等，则a的度数是 （ ）A72B60C58D504如图11-135所示，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AC，BD交于点O，则图中全等三角形共有 （ ）A2对 B3对 C4对 D5对5如图11-136所示，给出下列四组条件：ABDE，BCEF，ACDF；ABDE，BE，BCEF；BE，BCEF，CF；ABDE，ACDF，BE 其中，能使ABCDEF的条件共有 （ ）A1组 B2组 C3组 D4组6如图11-137所示，已知ABAD，那么添加下列一个条件后，仍无法 判定
20、ABCADC的是 （ ）ACBCDBBACDACCBCADCADBD907如图11-138所示，在RtABC中，A90，BD平分ABC，交AC于点D，且AD3，则点D到BC的距离是 （ ）A3 B4 C5 D68如图11-139所示，尺规作图作AOB的平分线的方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP连接CP，DP，由作法得OCPODP的根据是 （ ） ASASBASACAASDSSS 9如图11-140所示，在RtABC中，ABAC，ADBC，垂足为DE，F分别是CD，AD上的点，且CEAF如果AED
21、62，那么DBF等于 （ ）A62B38C28D2610如图11-141所示，已知ACBD于点P，APCP，请增加一个条件，使APBCPD（不能添加辅助线），增加的条件不能是 （ ）ABPDPBABCDCABCDDAD二、填空题（每小题3分，共30分）11如图11-142所示，若ABCA1B1C1，且A110，B40， 则C1 12如图11-143所示，点D，E在ABC的BC边上，且BDCE，BADCAE，要推理得出ABEACD，可以补充的一个条件是（不添加辅助线， 写出一个即可）13如图11-144所示，点B在DAC的平分线AE上，请添加一个适当的条件： ，使ABDABC（只填一个即可）14
22、如图11-145所示，RtABC中，C90，BAC60，AC 2按以下步骤作图以A为圆心，以小于AC长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，D；分别以D，E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧相交于点P；连接AP交BC于点F那么： （1）AB的长等于（直接填写答案）； （2）CAF（直接填写答案）15如图11-146所示，已知CDAB，若运用“SAS”判定ADCCBA，从图中可以得到的条件是 ，需要补充的直接条件是 16如图11-147所示，已知BFAC，DEAC，垂足分别为F，E，且BFDE，又AECF，则AB与CD的位置关系是 17如图11-148所示，12，34，且AB6，则CD 18如图
23、11-149所示，在ABE和ACD中，给出以下四个论断：ABAC；ADAE；AMAN；ADDC，AEBE以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使其组成一个正确的命题已知： 求证： 19如图11-150所示，DAAB，EAAC，ABAD，ACAE，BE和CD相交于O，AB和CD相交于P，则DOE的度数是20如图11-151所示，已知AE平分BAC，BFAE于E，EDAC，BAE 36，那么BED 三、解答题（每小题10分，共60分）21. 如图11-152所示，已知点B，E，C，F在同一条直线上，ABDE，AD，ACDF（1）求证ABCDEF； （
24、2）求证BECF22.如图11-153所示，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，ABDE，ACDF，BFCE求证ACDF23.如图11-154所示，点AB，CD在同一条直线上，EAAD，FDAD，AEDFABDC求证ACEDBF24如图11-155所示，在ABC 中，ACB90，ACBCCEBE，CE与AB相交于点F，ADCF于点D，且 AD平分FAC请写出图中的两对全等三角形，并选择其中一对加以证明25.如图11-156所示在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB，ED（1）求证BECDEC；（2）延长BE交AD 于F，当BED120时，求EFD的度数
25、26.（1）如图11-157所示，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B，C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是DCP的平分线上一点若 AMN90，求证AMMN下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明证明：在边AB上截取AEMC，连接ME在正方形ABCD中，BBCD90NMC180AMNAMB180BAMBMAB下面请你完成余下的证明过程（在同一三角形中，等边对等角）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图11-158所示），N是ACP的平分线上一点，则当AMN60时，结论AMMN是否还成立?请说明理由（3）若将（1）中的“正方形
26、ABCD”改为“正n边形ABCDX”，请你作出猜想：当AMN 时，结论AMMN仍然成立（直接写出答案，不需要证明）参考答案1D提示：由CD是ACB的平分线，ACB60，得ACD30，又因为A80，所以BDCACDA30801102C提示：由EF90，BC，AEAF可得出ACFABE，从而得出EABFAC，然后推出AEMAFN，所以EMFN，成立；由条件可证CANBAM，成立；同时易推出FANEAM，成立；只有CDDN不一定成立3D提示：全等三角形中相等边所对的角是对应角，a是边b所对的角4B提示：ABODCO，ABCDCB，ABDDCA5C提示：条件满足SSS，条件满足SAS，条件满足ASA，
27、都能判定ABCDEF只有条件满足SSA，不能判定ABCDEF 6C提示：添加选项A满足SSS，添加选项B满足SAS，添加选项D满足HL，都能判定ABCADC，添加选项C满足SSA，不能判定ABCADC7A提示：由角平分线的性质可知D到BC的距离等于D到AB的距离 8D9C提示：由ABAC，BAC90，可得ABC是等腰直角三角形，C45，由ADBC，可得ABD是等腰直角三角形，BAD45从而推出ABFCAE，ABFCAE由AED62可知CAE17，ABF17.DBF451728 10D提示：添加BPDP或ABCD或AC或BD或ABCD均可 1130提示：由A110，B40，可得C30，由ABCA1B1C1，可得C1C30 12BC（答案不唯一） 13A
