1、高等数学下册复习大全往届考题及答案讲解高等数学(下册)复习大全-往届考题及答案讲解 高等数学下册总复习资料 财管双语班 财管双语班 一多元函数微分法及其应用 . 1第九章 重积分 . 5第十章 曲线积分与曲面积分 . 错误！未定义书签。第十一章 无穷级数 . 7第十二章 微分方程 . 13二强化训练 . 16（）04、05、06期末试卷. 1620042005学年第二学期期末考试试卷 . 1620052006学年第二学期期末考试试卷 . 2020062007学年期末考试试卷 . 22（）自测训练 . 25试卷一 . 25附参考答案：. 28试卷二 . 29附参考答案：. 32试卷三 . 33附
2、参考答案：. 3620052006学年第二学期期末考试试卷（20XX级快班试卷）. 3820062007学年第二学期期末考试（20XX级快班试卷）. 41试卷四 . 44参考答案及提示 . 48试卷五 . 52参考答案及提示：. 56 高等数学下册总复习资料高等数学下册总复习一多元函数微分法及其应用一、基本概念1多元函数（1）知道多元函数的定义n元函数：y=f(x1,x2,L,xn)（2）会求二元函数的定义域1：分母不为0；2：真数大于0；3：开偶次方数不小于0；4：z=arcsinu或arccosu中|u|1（3）会对二元函数作几何解释2二重极限xx0yy0limf(x,y)=A这里动点(x
3、,y)是沿任意路线趋于定点(x0,y0)的（1） 理解二重极限的定义（2） 一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限；（3） 会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法）3多元函数的连续性（1）理解定义：limf(P)=f(P0) PP0（2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论；（3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。二、偏导数与全微分1偏导数（1）理解偏导数的定义（二元函数）zx=limf(x0+Dx,y0)-f(x0,y0)DxDx0zy=limf(x0,y0+Dy)-f(x0,y0)DyDy0（2）知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与
4、连续的关系（3）求偏导数法则、公式同一元函数2高阶偏导数（1）理解高阶偏导数的定义1 财管双语班 （2）注意记号与求导顺序问题（3）二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关：3全微分（1）知道全微分的定义若Dz=f(x0+Dx,y0+Dy)-f(x0,y0)可表示成ADx+BDy+o(r)，则z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微；称ADx+BDy为此函数在点(x0,y0)处的全微分，记zxy2=zyx2为dz=ADx+BDy（2）知道二元函数全微分存在的充分必要条件：函数可微，偏导数必存在；（A=zx，B=zy；dz=zxdx+zydy）偏导数存在，不一定可微（Dz-dz是否为o(r)）
5、偏导数连续，全微分必存在方向导数、梯度，只对快班要求三、多元复合函数与隐函数求导法则 1多元复合函数的求导法则 （1）zx=zuzv+ uxvxzy=zuzv+uyvy（2）对于函数只有一个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数（全导数）的求导法要熟练掌握（3）快班学生要掌握多元复合函数（主要是两个中间变量的二元函数）的二阶偏导数的求法2隐函数的求导公式 （1）一个方程的情形若F(x,y)=0确定了y=y(x)，则dydx=-FxFy；若F(x,y,z)=0确定了z=z(x,y)，则（2）方程组的情形zx=-FxFz，zy=-FyFz2 高等数学下册总复习资料若F(x,y,z)=0G(x,
6、y,z)=0能确定y=y(x)z=z(x)，则由dydxdydxdzdxdzdxFx+FyGx+Gy+Fz+Gz=0=0 可解出dydx与dzdx；若uyF(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0确定了u=u(x,y)，v=v(x,y)，象上边一样，可以求出ux，vx及，vy四、多元函数微分法的应用1几何应用（1）空间曲线的切线与法平面方程1：曲线G：x=j(t)，y=y(t)，z=w(t)，t=t0时，G上相应点(x0,y0,z0)处的切线方程：x-x0=y-y0=z-z0j(t0)y(t0)w(t0) 法平面方程：j(t0)(x-x0)+y(t0)(y-y0)+w(t0)(z-z0)
7、=0y=j(x)x-x0y-y0z-z02：曲线G：，则点(x0,y0,z0)处的切线方程： =z=y(x)1f(x)y(x)00法平面方程：(x-x0)+f(x0)(y-y0)+y(x0)(z-z0)=03：曲线G：F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0，则点P(x0,y0,z0)处的切线方程为y-y0FzGzFzGzx-x0FyGyFzGzP=FxGxFxGxP=Pz-z0FxGxFyGyP 法平面方程：FyGyFzGzP(x-x0)+(y-y0)+FxGxFyGyP(z-z0)=0（2）空间曲面的切平面与法线方程1：曲面S：F(x,y,z)=0，点(x0,y0,z0)处的切平面方程为：
8、3 财管双语班 Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0法线方程：x-x0Fx=y-y0Fy=z-z0Fz 2：曲面S：z=f(x,y)，在点(x0,y0,z0)处的切平面方程为：z-z0=fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0)法线方程为：2极值应用x-x0fx=y-y0fy=z-z0-1 z=0x（1）求一个多元函数的极值（如z=f(x,y)）：先用必要条件，求出全部驻点，z=0y再用充分条件求出驻点处的zxx，zyy与zxy； 2AC-B0，A0时有极小值；AC-B0时无极值2（2）求最值1
9、：纯数学式子时，区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较； 2：有实际意义的最值问题（3）条件极值求一个多元函数在一个或m个条件下的极值时，用拉格朗日乘数法如：u=f(x,y,z)在条件j1(x,y,z)=0与j2(x,y,z)=0下的极值时，取F(x,y,z;l1,l2)=f(x,y,z)+l1j1(x,y,z)+l2j2(x,y,z)FxFy解方程组Fzj1j2=0=0=0，求出x，y，z =0=0则(x,y,z)就是可能的极值点；再依具体问题就可判定(x,y,z)为极大（或极小）值点 4 高等数学下册总复习资料第九章 重积分 一、 二重积分n1 定义：f(x,y)ds=limDl0f(
10、xi,hi)Dsi(n)i=12 几何意义：当f(x,y)0时，f(x,y)ds表示以曲面z=f(x,y)为顶，以D为底的D曲顶柱体体积物理意义：以f(x,y)为密度的平面薄片D的质量 3 性质1：kf(x,y)ds=kf(x,y)dsDD2：f(x,y)g(x,y)ds=DDf(x,y)dsg(x,y)dsD 3：若D=D1+D2，则f(x,y)ds=DD1f(x,y)ds+D2f(x,y)ds4：f(x,y)1时，f(x,y)ds=sDD5：若在D上j(x,y)y(x,y)，则j(x,y)dsy(x,y)dsDDDf(x,y)dsDf(x,y)ds6：若f(x,y)在闭区域D上连续，且mf
11、(x,y)M，则msDf(x,y)dsMsDD7：（中值定理）若f(x,y)在闭区域D上连续，则必有点(x,h)D，使Df(x,y)ds=f(x,h)sD 4 二重积分的计算法 （1）在直角坐标系中1：若积分区域D为X-型区域axbD：j(x)yj(x)21则化为先y后x的二次积分：5 财管双语班 baDf(x,y)dxdy=dxj2(x)j1(x)f(x,y)dy 2：若积分区域D为Y-型区域D：cydy1(y)xy2(y) 则化为先x后y的二次积分：Df(x,y)dxdy=dcdyy2(y)y1(y)f(x,y)dx（2）在极坐标系中f(x,y)=f(rcosq,rsinq),ds=rdr
12、dq1：极点在D外：aqb： Dj1(q)rj2(q)则有Df(x,y)ds=adqjbj2(q)1(qf(rcosq,rsinq)rdrO极点在D外)r2：极点在D的边界上：aqbD：0rj(q)则有rO极点在D的边界上Df(x,y)ds=abdqj(q) f(rcosq,rsinq)rdr3：极点在D内：0q2pD：0rj(q)则有Df(x,y)ds=2p0dqj(q) f(rcosq,rsinq)rdr极点在D内 在计算二重积分时要注意：1：选系：是直角坐标系还是极坐标系；若积分区域是圆域、环域或它们的一部分；被积式含有x+y或两个积分变量之226 高等数学下册总复习资料比yx、xy时，
13、一般可选择极坐标系2：选序：当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，选错次序会出现复杂或根本积不出的情况（二次积分换次序） 3：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合，如：D关于x轴（或y轴）对称时，应配合被积函数对于y（或x）的奇偶性 4：若f(x,y)=f1(x)f2(y)，积分区域D:分的乘积。axbcyd,则二重积分可化为两个定积第十一章 无穷级数 一、 常数项级数 1 基本概念（1） 定义：形如un=u1+u2+L+un+L的无穷和式，其中每一项都是常数n=1n（2） 部分和：Sn=ui=1i （3） 常数项级数收敛（发散）limSn存在（不存在）n（4） 和S=limSn（存在时
14、）n注：发散级数无和（5） 余项：当limSn=S时，称级数rn=nui=1n+i为原级数第n项后的余项2 基本性质（1） kun与un敛散性相同，且若un=S，则kun=kS；n=1n=1n=1n=1（2） 若un=S，vn=s，则(un+vn)=s+s推论1：若un收敛，vn发散，则(un+vn)必发散； 推论2：若un与vn都发散，则(un+vn)不一定发散7 财管双语班 （3） 在级数前面去掉或添加、或改变有限项后所得级数与原级数的敛散性相同（收敛级数的和改变）（4） 收敛级数加括号（按规则）所得级数仍收敛于原来的和； （收敛级数去括号不一定收敛）（5） 若级数un收敛，则必有limu
15、n=0n=1n（若limun0，则un必发散）nn=13 几个重要的常数项级数n-1（1） 等比级数aqn=1a=1-q发散|q|0），p1时收敛，0p1时发散）；（4） 倒阶乘级数n=11n!收敛4 常数项级数的审敛法 （1） 正项级数的审敛法设un与vn均为正项级数n=2n=11：un收敛Sn有界；n=12：比较法若un收敛（发散），且unvn，（unvn），则vn收敛（发散）n=1n=1推论1：若limunvnn=l，0l1），则un收敛nn=1p8 高等数学下册总复习资料3：比值法r1时r=1时un=1n收敛若limun+1unnun=1n发散 un=1n待定4：根值法r1时r=1时u
16、n=1n收敛若limnunun=1n发散 un=1n待定（2） 交错级数的审敛法莱布尼兹定理：若交错级数(-1)n-1un（un0）满足：n=11：unun+1 2：limun=0n则(-1)n-1un收敛，且其和Su1，|rn|un+1 n=1（3） 任意项级数的审敛法1：若limun0，则un发散；nn=12：若|un|收敛，则un绝对收敛；n=1n=13：若|un|发散， un收敛，则un条件收敛n=1n=1n=1二、 函数项级数 1 基本概念（1） 定义：形如un(x)=u1(x)+u2(x)+L+un(x)+L；n=1（2） 收敛点、发散点、收敛域、发散域；9 财管双语班 n（3）
17、部分和：Sn(x)=ui=1i(x)；（4） 和函数：在收敛域上S(x)=limSn(x)=nun=1n(x)2 幂级数（1） 定义：an(x-x0)，当x0=0时有：anxn；nn=0n=0（2） 性质n1：若anx在x0处收敛，则当|x|x0|时，anxn发散n=0n=02：幂级数a(x-x)n n=0n的收敛域，除端点外是关于x0对称的区间(x0-R,x0+R)，两端点是否属于收敛域要分别检验3：在anxn的收敛区间(-R,R)内，此级数的和函数S(x)连续n=0（3） 收敛区间的求法1：不缺项时，先求r=liman+1ann，得收敛半径R=1r；再验证两端点，则收敛域(x0-R,x0+
18、R)收敛的端点un+1(x)un(x)=r(x)，解不等式r(x)1得x的所属区间2：缺项时，先求limnx1xx2，再验证端点x1，x2，则收敛域(x1,x2)收敛的端点3 幂级数的运算（1） 幂级数在它们收敛区间的公共部分可以进行加、减、乘、除运算 （2） 幂级数在其收敛区间内可以进行逐项微分与逐项积分运算，即an=0nx=S(x)，|x|R，则有：n10 高等数学下册总复习资料nanx=n=0(an=0nxn)=nan=0nxn-1=S(x)，|x|R；x0nanxdx=n=0n=0x0anxdx=nn+1xn=0ann+1=x0S(x)dx，|x|R4 函数展开为幂级数（1） 充要条件：若函数f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则f(x)=n=0f(n)(x0)n!(x-x0)nlimRn(x)=0n（2） 唯一性：若f(x)在某区间内能展开成幂级数f(x)=an=0nn(x-x0)，则其系数an=1n!f(n)(x0)，（n=0,1,2,L）（3） 展开法：1：直接法（见教材P218）2：间接法利用几个函数的展开式展开e=xn=0xnn!，(-,+)2n+12n-1sinx=(-1)n=0nx(2n+1)!n或(-1)n=1n-1x(2n-1)!，(-,+)cosx=(-1)n=0x2n(2n)!，(-,+)11-x=xn=0n，(-1,1)ln(1+x)=
