1、届二轮复习 集合及其运算 学案全国通用考试内容等级要求集合及其表示A子集B交集、并集、补集B命题的四种形式A充分条件、必要条件、充要条件B简单的逻辑联结词A全称量词与存在量词A 1.1集合及其运算考情考向分析集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和Venn图，考查 生的数形结合思想和计算推理能力，题型是填空题，低档难度1集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集
2、实数集符号NN*(或N)ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若xA，则xB)AB(或BA)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集AB3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合ABx|xA，且xB并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合ABx|xA，或xB补集设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合SAx|xS，且xA知识拓展1若有限集合A中有n个元素，则集合A的
3、子集个数为2n，真子集的个数为2n1.2ABABAABB.3A(UA)；A(UA)U；U(UA)A.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)任何一个集合都至少有两个子集()(2)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21()(3)若x2,10,1，则x0,1.()(4)x|x1t|t1()(5)对于任意两个集合A，B，关系(AB)(AB)恒成立()(6)若ABAC，则BC.()题组二教材改编2P18复习T3已知U|0180，Ax|x是锐角，Bx|x是钝角，则U(AB)_.答案x|x是直角3P13练习T5已知集合A(x，y)|x2y21，B(x，y)|yx，则AB中
4、元素的个数为_答案2解析集合A表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B表示直线yx，圆x2y21与直线yx相交于两点，则AB中有两个元素题组三易错自纠4若集合A1,1，B0,2，则集合z|zxy，xA，yB中的元素的个数为_答案3解析当x1，y0时，z1；当x1，y2时，z1；当x1，y0时，z1；当x1，y2时，z3，故集合z|zxy，xA，yB中的元素个数为3.5已知集合Ax|x22x30，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是_答案(3，)解析Ax|x22x30x|1x3，AB，Bx|x3.6若集合AxR|ax23x20中只有一个元素，则a_.答案0或解析若a0，则A，符合题意
5、；若a0，则由题意得98a0，解得a.综上，a的值为0或.题型一集合的含义1若集合Aa3,2a1，a24，且3A，则实数a_.答案0或1解析若a33，则a0，此时集合A中含有元素3，1，4，满足题意；若2a13，则a1，此时集合A中的三个元素为4，3，3，不满足集合中元素的互异性；若a243，则a1，当a1时，集合A中的三个元素为2,1，3，满足题意；当a1时，集合A中的三个元素为4，3，3，不符合题意综上可知，a0或a1.2设P，Q为两个非空实数集合，定义集合PQab|aP，bQ，若P0,2,5，Q1,2,6，则PQ中元素的个数是_答案8解析当a0时，ab1,2,6；当a2时，ab3,4,8
6、；当a5时，ab6,7,11.由集合中元素的互异性，知PQ中有1,2,3,4,6,7,8,11，共8个元素题型二集合的基本关系典例 (1)(2017徐州模拟)已知集合A1,1,2，B0,1,2,7，则集合AB中元素的个数为_答案5解析AB1,0,1,2,7，AB中元素个数为5.(2)已知集合Ax|x22 019x2 0180，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是_答案2 018，)解析由x22 019x2 0180，解得1x2 018，故Ax|1x2 018又Bx|xa，AB，如图所示，可得a2 018.引申探究本例(2)中，若将集合B改为x|xa，其他条件不变，则实数a的取值范围是_答案
7、(，1解析Ax|1x2 018，Bx|xa，AB，如图所示，可得a1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等 直观解决这类问题跟踪训练 (1)(2015江苏)已知集合A1,2,3，B2,4,5，则集合AB中元素的个数为_答案5解析A1,2,3，B2,4,5，AB1,2,3,4,5故AB中元素的个数为5.(2)已知集合A，Bx|xm21，若AB，则实数m的取值范围是_答案解析因为y2，x，所以y.又因为AB，所以1
8、m2，解得m或m.题型三集合的基本运算命题点1集合的运算典例 (1)设全集UR，Ax|2x100，Bx|x25x0，且x5求：U(AB)；(UA)(UB)(2)已知集合Aa2，a1，3，Ba3，a2，a21，且AB3，求AB.解(1)Ax|x5，Bx|0x5，则ABx|x0，于是U(AB)x|x0UAx|x5，UBx|x0或x5，于是(UA)(UB)x|x0(2)由AB3知3B.又a211，故有a33或a23.当a33时，a0，此时A0,1，3，B3，2,1由于AB3，故a0舍去当a23时，a1，此时A1,0，3，B4，3,2满足AB3，从而AB4，3,0,1,2命题点2利用集合的运算求参数典
9、例 (1)已知q0，集合Ax|x2pxq0，Bx|qx2px10当tA时，求证：B；当AB时，求p，q的值(2)已知集合A，Bx|x(a1)x(a4)0分别根据下列条件，求实数a的取值范围：ABA；AB.(1)证明因为tA，所以t2ptq0.由q0知t0，从而q2p10，即B.解由可知，集合A与B中的相应元素互为倒数，故由AB，知A或A1,2当A时，1p且1q，得p，q；当A1,2时，同理可得p3，q2.综上，p，q或p3，q2.(2)解由10，得0，解得1x0，故A(1,0，B(a1，a4)ABA，即AB，故得4a2，故a的取值范围是(4，2若AB，则得5a1，故a的取值范围是(5，1)思维
10、升华 (1)一般 讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化跟踪训练 (1)(2014江苏)已知集合A2，1,3,4，B1,2,3，则AB_.答案1,3解析AB2，1,3,41,2,31,3(2)已知集合Ax|x2x120，Bx|2m1xm1，且ABB，则实数m的取值范围为_答案1，)解析由x2x120，得(x3)(x4)0，即3x4，所以Ax|3x4又ABB，所以BA.当B时，有m12m1，解得m2；当B时，有解得1m2.综上，m的取值范围为1，)题
11、型四集合的新定义问题典例 已知集合A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合A B(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B，则A B中元素的个数为_答案45解析如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”，集合A B显然是集合(x，y)|x|3，|y|3，x，yZ中除去四个点(3，3)，(3,3)，(3，3)，(3,3)之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A B表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”所有圆点“”，共45个故A B中元素的个数为45.思维升华 解决以集合为背景的
12、新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在(2)用好集合的性质解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质跟踪训练 定义一种新的集合运算：ABx|xA，且xB若集合Ax|x24x30，Bx|2x4，则按运算，BA_.答案x|3x4解析Ax|1x3，Bx|2x4，由题意知，BAx|xB，且xAx|3x41(2017无锡模拟)已知集合A1,2,4，B2,4，则AB_.答案1,2,42(2016江苏)已知集合A1,2,3,6，Bx|2x3，
13、则AB_.答案1,2解析由于Bx|2x3对集合A中的4个元素逐一验证，1B,2B,3B,6B.故AB1,23(2017江苏)已知集合A1,2，Ba，a23，若AB1，则实数a的值为_答案1解析AB1，A1,2，1B且2B.若a1，则a234，符合题意又a2331，故a1.4(2017苏锡常镇一模)已知集合U1,2,3,4,5,6,7，Mx|x26x50，xZ，则UM_.答案6,7解析由Mx|x26x50，xZx|1x5，xZ，可得M1,2,3,4,5，即UM6,75已知全集UR，集合A1,2,3,4,5，BxR|x2，则图中阴影部分所表示的集合为_答案1解析因为AB2,3,4,5，而图中阴影部
14、分为集合A去掉AB部分，所以阴影部分所表示的集合为16已知复数f(n)in(nN*)，则集合z|zf(n)中元素的个数是_答案4解析复数f(n)in(nN*)，可得f(n)kN.集合z|zf(n)中元素的个数是4.7(2017全国改编)设集合A1,2,4，Bx|x24xm0若AB1，则B_.答案1,3解析AB1，1B.14m0，即m3.Bx|x24x301,38已知集合Ax|1x0，Bx|xa，若AB，则a的取值范围为_答案0，)解析用数轴表示集合A，B(如图)，由AB，得a0.9若全集UR，集合Ax|x2x20，Bx|log3(2x)1，则A(UB)_.答案x|x1或x2解析集合Ax|x2x
15、20x|x1或x2，log3(2x)1log33，02x3，1x2，Bx|1x2，UBx|x1或x2，A(UB)x|x1，所以ABx|x1或x112已知集合Ax|ylg(xx2)，Bx|x2cx0，若AB，则实数c的取值范围是_答案1，)解析由题意，知Ax|ylg(xx2)x|xx20(0,1)，Bx|x2cx0(0，c)由AB，画出数轴，如图所示，得c1.13已知集合Ax|1x3，Bx|2mx1m，若AB，则实数m的取值范围是_答案0，)解析AB，若当2m1m，即m时，B，符合题意；若当2m1m，即m时，需满足或解得0m或，即0m.综上，实数m的取值范围是0，)14已知集合AxR|x2|3，
16、集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_.答案11解析AxR|x2|3xR|5x1，由AB(1，n)，可知m1，则Bx|mx2，画出数轴，可得m1，n1.15设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A，且k1A，那么称k是A的一个“孤立元”给定S1,2,3,4,5,6,7,8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_个答案6解析依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数故这样的集合共有6个16设集合M，N，且M，N都是集合x|0x1的子集，如果把ba叫做集合x|axb的“长度”，那么集合MN的“长度”的最小值是_答案解析由已知，可得即0m；即n1，当集合MN的长度取最小值时，M与N应分别在区间0,1的左、右两端取m的最小值0，n的最大值1，可得M，N，所以MN，此时集合MN的“长度”的最小值为.
