1、电磁学赵凯华答案第1篇静电场1.有两个相距为2a，电荷均为+q的点电荷。今在它们连线的垂直平分线上放置另一个点电荷q，q与连线相距为b。试求： （1）q所受的电场力； （2）q放在哪一位置处，所受的电场力最大？解：解法一 用直角系分解法求解。取直角坐标系，两q连接的中点为坐标原点O，如图所示。(1) 由库仑定律可知，两电荷q施加给q的电场力F1和F2的大小分别为: F1和F2分别在X轴和Y轴上的投影为:于是电荷q所受的合力F在X轴方向的分量为:因此，电荷q所受的合电力F的为在Y轴方向的分量,大小为:方向沿Y轴方向。(2) 根据q所受的电力F=Fj,设式中b为变量，求F对变量b的极值，有:可得:
2、得:由于：所以，当q放在处时，所受的电场力最大。解法二 本题也可以直接用矢量合成法求解。 (1)根据库仑定律，q所受的电力F1和F2分别为 有电场力叠加原理可知，q所受的合力F为:此结果与解法一相同。如果选取的电荷q与q同号，F方向与Y轴同向；如果q与q异号，F方向与Y轴反向。(2) 同解法一（略）。.如图所示，在边长为a的正方形的4个顶点上各有一带电量为q的点电荷。现在正方形对角线的交点上放置一个质量为m，电量为q0(设q0与q同号)的自由点电荷。当将q0沿某一对角线移动一很小的距离时，试分析点电荷q0的运动情况。解:如图所示，取坐标轴OX，原点O在正方形的中心，顶点上的点电荷到O电的距离为
3、。沿X轴方向使q0有一小位移x(xa), 左右两个点电荷q对q0的作用力Fx(1)为:因为xa，故xR），带宽为dr，则圆环带的面积为dS=2rdr,其上带电量为dq=dS=2rdr; 应用已知带电细圆环在轴线上的场强公式， 可得该圆环带在轴线上P点产生电场的大小: ，因此，该系统在P点产生总场强的大小为: 方向沿X轴正方向。解法二 半径为R的圆孔能够看成是其上均匀地散布着电荷面密度为+和-的两种电荷。若在圆孔上补一个半径为R、电荷面密度为+的圆盘，则P点处的场强能够看成是电荷面密度为+的无穷大均匀带电平面在P点产生的场强E1和电荷面密度为-、半径为R的带电圆盘在P点产生的场强E2的矢量和，由
4、于E1和E2方向均沿X轴方向，P点的总场强E的大小为: 方向沿X轴正方向。7.如图所示，一半径为R的半球面，其上均匀地带有正电荷，电荷面密度为，试求球心处的电场强度E。解: 取坐标轴OX，将带电半球面分成许多宽度极窄的半径不同的带电圆环，其上任意一个圆环上的带电量为:为便于计算，可采用角量描述。因为: ,dl=Rd,所以dq=2R2sind.又带电圆环在轴线上一点的场强公式，可得该带电圆环在P点产生场强dE的大小为: ,由于dq为正，故dE方向沿X轴正方向。将dq 带入上式，可得: ,为所有圆环在P点产生场强的矢量和，则整个半球面在球心P点处产生的场强的大小为:方向沿X轴正方向 8. 如图所示
5、，一点电荷Q处于边长为a 正方形平面的中垂线上，Q与平面中心O点距a/2。试求通过正方形平面的电通量。解: 以正方形为一面，取一个立方体状的闭合面S将Q包围起来。由高斯定理可知，通过该闭合面的电通量为:由于立方体的六个表面均相等，且对中心（即Q所在处）对称，所以，通过每一面的电通量为Q/60 ，也就是通过正方形面积的电通量。9.一个电荷按体密度对称散布的球体，试求带电球体场强的散布。解:由于电荷散布具有球对称性，所以它所激发的电场也具有球对称性，其场强的方向沿径向，而且在同一球面上场强处处相等。因此，可用如图所示求解E。设球内任意点P到球心O的距离为r，如图所示，在以O为中心，r为半径的球面上
6、各点的场强数值相等，而方向均垂直于球面。因此能够选择此球面作为高斯面，按照高斯定理可得:由于电荷沿径向散布，所以: 代入上式得: 若球体半径为R，求解球外一点P的场强时，由高斯定理可知:此时 :10. 如图（a）所示，在一电荷体密度为e的均匀带电球体中，挖去一个球体，形成一球形空腔，偏心距为a。试求腔内任一点的场强E。解: 可用补偿法求解。由题意可知，能够假想不带电的空腔等效于腔内有体密度相同的等值异号的两种电荷。这样本题就可归结为求解一个体电荷密度为e的均匀带电大球体和一个体电荷密度为-e的均匀带电小球体，在空腔内产生的场强叠加。设P点为空腔内任一点，大球O的场强分布具有球对称性，小球O的场
7、强分布也具有球对称性，于是可分别以O和O为球心，以r和r为半径（均通过P点），作高斯面S和S。按照高斯定理，可求得大球在P点产生的场强为:同理，可求得小球在P点产生的场强为:如图（b）所示，由电场叠加原理可知，P点的总场强为:结果表明，空腔内的场强是均匀的，其大小为，其方向为平行于两球心的连线a，由O指向O， 如图（b）所示。11.有一半径为R的均匀带电球体，电荷体密度为+，今沿球体直径挖一细隧道，设挖隧道前后其电场散布不变，如图所示。此刻洞口处由静止释放一点电荷-q，其质量为m，重力在此忽略不计。试求点电荷在隧道内的运动规律。解: 沿隧道取坐标轴OX，以球心为坐标原点O，如图所示。若点电荷-
8、q位于某位置x处时，以x为半径，可作一球形高斯面S，由高斯定理可求出x处的场壮大小为:其方向沿X轴正方向。因此在此处点电荷-q受到的电场力为:不难看出，F的方向始终是指向球心的。若令k=q/30 ，则F为:F=-kx,这表明点电荷受的力F知足线形回答力的关系，则-q以O点为平衡位置作简谐振动。由简谐振动知识可知，点电荷-q在隧道中谐振的圆频率为: , 响应的运动周期为: 12. 半径为R的无限长圆柱体，柱内电荷体密度=ar-br2,r为某点到圆柱轴线的距离，a、b为常量。试求带电圆柱体内外电场分布。解: 因为电荷相对轴线呈对称分布，所以距轴线为r的场点的场强数值相等，场强方向沿圆柱径向，因此可
9、用高斯定理求解。选取长为l，半径为r，与带电圆柱同轴的柱形高斯面S，由高斯定理可知:当rR时，高斯面S内所包围电荷的代数和为: 代入(1)可得: 13.三块面积均为S，且靠的很近的导体平面A、B、C分别带电Q1、Q2、Q3，如图所示。求：(1)6个导体表面的电荷面密度1，2，6 (2) 图中a,b,c三点的场强。 解： （1）因3导体板靠的很近，可将6个导体表面视为6个无限大带电表面。导体表面电荷分布可认为是均匀的，且其间的场强方向垂直于导体表面。作如图虚线所示的圆柱型高斯面，因导体在到达静电平衡后内部场强为零，又导体外的场强方向与高斯面的侧面平行，故由高斯定理可得2 = 3，4 = 5，再由
10、导体板A内d点场强为零，可知:所以:1=6，故点a的场强为6个导体表面产生场强的矢量和:根据上述已知结果，可知：，再由于:得:(2)a,b,c点的场强:同理14.将一块两面总电荷面密度为0的无限大带电金属平板置于与板面垂直的匀强电场E0中，如图所示，试求金属板与电场垂直的两个面上电荷的分布以及金属板外的场强分布。解: 金属板未放入外电场E0中时，其两个面上的电荷均匀分布。将其放入外电场E0中，金属板在外电场E0的作用下产生静电感应，引起导体表面电荷的重新分布。设E0方向如图所示，金属板在外电场中电荷的重新分布后，A、B两表面的电荷面密度分别为A和B。根据无限大带电平面的场强分布公式可知，金属板
11、A、B两表面在空间激发电场的场强大小分别为： 方向如图所示，由静电平衡条件所知，金属板中任意点P处的场强为零，即：又有电荷守恒定律，有A+B=0联立求解上述关系式，得：可见，这时金属板与外场垂直的两个表面上电荷面密度不相等。由对称性分析可知，电场强度方向仍垂直于无限大平面，由场叠加原理可知，金属板左边电场中的场强大小为：右边电场中的场强大小为：可见，静电场中放入金属板后，不仅是金属板上的电荷重新分布，而且板外电场的分布也相应改变，无限大带电平板的左方与右方分别为场强数值不同的均匀电场。15. 已知点电荷q与一无限大接地导体相距为d，试求：(1)导体板外附近一点P处的场强EP，q与P点相距为R；
12、 (2) 导体板面上的感应电荷q。解 题意如图（a）所示。由于静电感应，导体板上有感应电荷q分布在导体板的表面。设P点附近导体板面元?S的面电荷密度为P，由于P点靠近导体板，则该点的场强为:EP=P/0.如图（b）所示，根据导体静电平衡性质，在导体平面内与P点邻近的P点处的场强：EP=0。由场叠加原理可知，P点的场强为点电荷q在P点产生的场强EP1，电荷面密度为p的面元?S产生的场强EP3 的叠加，即EP = EP1 + EP2 + EP3 = 0.其中： （R0为q指向?S的单位向量）（n为平板外法向）EP3 沿 平板的切向t。因此EP3又可写为:EP=EPnn + EPtt.由图（b）分析
13、可知EPn=0 EPt=0. 所以:由此可知:EP垂直于平板指向下方，即-n方向。导体平板上的感应电荷是以垂足O为中心，成圆心对称分布的。取离O点为r处，宽度为dr的细宽环，面积元dS=2rd r，如图（c）所示。DS上的带电量为:则导体板上的感应电荷为: 16. 如图所示一导体球原为中性，今在距球心为r0处放一电量为q的点电荷，试求：(1)球上的感应电荷在球内P点上的场强EP和电势VP；(2) 若将球接地，EP和电势VP的结果如何。解 （1）由静电平衡条件和场叠加原理可知，P点的场强为点电荷q和球面感应电荷在该处产生的矢量和，且为零，即:所以:式中r 为P点到点电荷q的距离。由电势叠加原理可
14、知，P点的电势为点电荷q和球面感应电荷的总电量为 O,所以感应电荷在O点产生的 电势为0，即V0=0，因此，上式为: 由此，球面感应电荷在P点产生的电势为:即:(2) 当球体接地后，球体电势为V=0。由上述分析可知P点的电势: 所以:而EP仍知足静电平衡条件，即:所以:17. 如图所示，在一个接地导体球周围放一个点电荷q，已知球的半径为日，点电荷q与球心的距离为a。试求导体表面上总的感应电荷q。解: 按照静电感应规律，导体是一个等势体。因导体接地，故令导体球的电势为零，球心O的电势也为零。接地后导体球表面的感应电荷q在球面上的分布是不均匀的，设感应电荷面密度为。由电势叠加原理可知，球心O处的电
15、势V0是点电荷q以及球面上感应电荷q一路产生的。点电荷q在球心O处产生的电势为:因导体球上感应电荷q在球面上的散布不均匀，遍地也不一样，所以感应电荷q在球心的电势由积分计算，为:所以，球心O处的总电势为: 故 q = Rq/a （负号表示感应电荷与球外电荷q的符号相反）18. 如图所示，半径为R1的导体球面电荷为q，在它外面同心的罩一金属球壳，其内外壁的半径为R2与R3，已知R2=2R1，R3=3R1，令在具球心为d=4R1处放一电量为Q的电电荷，并将球壳接地。试求：(1) 球壳带的总电量；(2) 用导线将壳内导体球与可相连，球壳所带电量。解: （1）取球心O处进行分析，比较简便。球心O处的电
16、势点电荷Q和三个导体球面上的电荷在O点产生电势的叠加，分别为:由高斯定理可得，球壳内表面S2上的总电量为q=-q，所以:设球壳外表面S3上的总电量为Q，则有:由电势叠加原理可知，球心处的总电势为:V0 = VQ + VS1 + VS2 +VS3,又因为: 其中E为球体与球心处的电场强度，由于球壳接地V壳=0，所以二者之间的电势差就等于球体的电势。 因此: , 解得Q=-3Q/4,则球壳带的总电量为: Q+q=-3/4Q-q。(2) 当内外球用两线相连时，仍用上述的电势叠加原理计算中心球心O的电势,有:即: , 将R3=3R1,d=4R1带入上式，得:Q=-3Q/4 19. 如图(a)所示，半径
17、为R1的导体球带有电荷+q，球外有一内、外半径别离为R一、R二、R3的通心导体球壳，壳上代有电荷+Q。试求：(1) 两球的电势V1和V2及两球的电势差；(2) 用导线把球和球壳连在一体后，V一、V2和?V为多少？(3) 在情景（1）中，若外球壳接地，V一、V2和?V为多少？(4) 设外球面离地面很远，若内球接地，情形又如何？解: 如图(a)所示，在导体抵达静电平衡后，q散布在导体球的表面上。 由于静电感应在外球壳的内表面上感应出负电荷-q，外表面上感应出正电荷q，则在球壳外表面上共带电荷（q+Q）。(1) 解法一 由于场的散布具有对称性，可用高斯定理求得各区域的场强散布为:E1 = 0 (rR
18、1) , E2 = q/40r2 (R1 r R2 ), E3= 0 ( R2 r R3 )E的方向均沿径向向外。导体为有限带电体，选无限远处为电势零点。由电势定义可计算两球的电势V1和V2。内球体内的任意场点P1（rR1）的电势: 外球壳体内的任意场点P2（R2rR3）的电势为:aa由V1和V2可求出导体和球壳间的电势差为:解法二 能够把球体与球壳的电势V1和V2视为由带电量为q、半径为R1；带电量为-q、半径为R2和带电量为（q+Q）、半径为R3的三个同心带电球面别离在场点P1和P2所一路产生的电势叠加。由于球内任意场点P1（r R1）在三个同心带电球面之内，故有: ,在外球壳内任意场点P
19、2（R2rR3的空间中，即:。同时球体与球壳成为一个等势体，即V1=V2，于是，aaV= V1-V2=0。按照电势的概念，可得:（3）在情形（1）中，若外球接地，球壳外表面的电势为零，等量异号电荷散布在球体表面和球壳内表面，现在电场只散布在R1r R2的空间内，如图(c)所示。由于外球壳电势V2=0，则内球体内任意场点P1（r R1）的电势为: （4）当内球接地时，内球的电势V2=0。但无穷远处的电势也为零这就要求外球壳所带电量在内外表面上重新分布，使球壳外的场强沿着径向指向无限远处，球壳内的场强沿着径向指向球心处。因此，内球必然带负电。因为内球接地，随着它上面正电荷的减少，球壳内表面上的负电
20、荷也相映减少，当球壳上的负电荷全部消失时，球壳内表面上的负电荷也消失完。但就球壳来说，仍带有电荷+Q，由于静电感应，在内球和大地这一导体系便会感应出等量的负电荷-Q，此负电荷（-Q）的一部分（设为-q）均匀的分布在内球表面上。球壳内表面上将出现等量的正电荷（+q）与之平衡。因此，在到达静电平衡后，内球带电荷-q,球壳内表面带电量为 +q,外表面带电量为（Q-q），如图(d)所示。解法一 按照高斯定理可知，可区域内的场强为： 球壳上任意场点 P2（R2r R3）相对于无限远处和相对于接地内球的电势，应用电势定义式分别计算，可得: 连立上述两式，求得: , 将q的结果带入V2的表达式中，可得:相应
21、的球体与球壳间的电势差为: 解法二 亦可根据带电导体球的电势公式和电势叠加原理求解。根据电势叠加原理，电势V1是由-q(r=R1的球面)，+q(r= R2的球面)和Q-q(r= R3的球面)在内球体任意场点P1（r R1）共同产生的电势的叠加，由于内球接地，有:在外球壳内任意场点P2（R2r R3）的电势为:连立上述两式，求得:与解法一相同。20. 一根无穷长直导线的横截面半径为a，该导线外部套有一内半径为b的同轴导体圆筒，二者彼此绝缘，且外筒接地，电势为零。现若导线的电势为V，试求导线与圆筒之间的电场强度散布。解: 如图所示，设无穷长直导线单位长度上所带电量为，P点为导线与圆筒之间距轴线为r
22、处的任意场点，由于系统具有轴对称性,用高斯定理，可求出导线与圆筒之间的场强分布为:方向沿径向向外。因外筒接地，V筒=0。由电势概念式可求出电势为:联立上述E和V式，消去未知数，可得导线与圆筒之间的场强散布为: 21. 如图(a)所示，一中性导体内有一球形空腔，若在腔的中心放一点量为+q0的点电荷，在导体外，距腔的中心为e处放一点量为+q的点电荷，试求：（1）腔表面上的感应电荷，导体外表面上的感应电荷；（2）腔表面上的感应电荷、点电荷q、导体外表面上的感应电荷别离对点电荷q0的作使劲及合力；（3） 当点电荷q0的位置偏离腔的中心位置时，上述结果为多少？解: （1）围绕空腔在导体在内部做一高斯面，
23、由于导体静电平衡后，内部场强为零，所以由高斯定理可得腔表面上的感应电荷的总电量为-q0。由静电感应分析可得导体外表面上感应电荷的总电量q0，二者的散布如图(b)所示。（2）欲求腔表面上的感应电荷、点电荷q、导体外表面上的感应电荷别离对点电荷q0的作使劲，就必需先求出它们在q0处的电场强度。由于q0处于空腔中心，则腔表面上的感应电荷均匀散布。因此球形表面上的感应电荷q0处电场强度E1为零，即E1=0。点电荷q的场强在q0处电场强度为: , 因导体外表面上的感应电荷和点电荷q在腔内的电场彼此抵消，故导体外表面上的感应电荷的电场在q0处电场强度为: aa由F=q0E可知，腔表面上的感应电荷对q0的作使劲为F1=q0E1=0,点电荷q对q0的作使劲为:导体外表面上的感应电荷对q0的作使劲为: , q0所受的合力为F（合）=F1+F2+F3=0,这表明q0所受的合力为零。(3) 当点电荷q0偏离空腔中心时，导体外表面上的感应电荷仍为q0，而且分布也不改变；腔表面上的感应电荷仍为-q0，但其分布改变了，如图(c)所示。 导体外表面上的感应电荷和点电荷q在腔内的电场仍彼此抵消，导体外表面上的感应电荷的电场在腔内的
