1、费业泰误差理论与数据处理课后答案全误差理论与数据处理练习题参考答案第一章绪论1-7用二等标准活塞压力计测量某压力得，该压力用更准确的办法测得为，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞压力计测量值的绝对误差二测得值实际值=- = -（ Pa）。0 3相对误差=一一100% 0.3%100.52 21-9使用凯特摆时，g由公式g=4 n （ hi+h2） /T给定。今测岀长度（hi+h2 ）为（士）m，振动时间T为（士）2s。试求g及其最大相对误差。如果（h1+h2）测岀为（士） m，为了使g的误差能小于0.001m
2、/s，T的测量必 须精确到多少？【解】测得（h1+h2）的平均值为（m），T的平均值为（s）。4 2由g 亍（h h2）,得：当（h1 h2）有微小变化 （g h2）、T有T变化时，令h h2g的变化量为： g的最大相对误差为:如果（h1 h2）测岀为（士） m，为使g的误差能小于0.001m/s2,即： g 0.0014 22 T也即 g 厂T2(h1 h2) t (h1 h2)0.001求得：T 0.00055(s)1-10.检定级（即引用误差为 %）的全量程为100V的电压表，发现 50V刻度点的示值误差 2V为最大误差， 问该电压表是否合格？【解】 引用误差二示值误差/测量范围上限。所
3、以该电压表的引用误差为：rm VUjm 2% 由于：2%Um 100所以该电压表合格。1- 13多级弹导火箭的射程为 10000km时，其射击偏离预定点不超过，优秀射手能在距离 50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高解:多级火箭的相对误差为:射手的相对误差为： 多级火箭的射击精度高。0.00001 伽0帧術0.00020.001%0.002%02” ,试求测量的绝对误差和相对误差绝对误差等于：180o00 02 180o 2相对误差等于：2 2 2- = 0.00000308641 0.000031%180o 180 60 60 648000附加1- 1测得某三角块的三
4、个个角度之和为180o00解:第二章误差的基本性质与处理2-2.试述单次测量的标准差和算术平均值的标准差 ，两者物理意义和实际用途有何不同?x【解】单次测量的标准差表征同一被测量n次测量的测量值分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。2 2 l 21 2 nV n算术平均值的标准差是表征同一被测量各个独立列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值X不可靠性的评定标准Xn，当测量次数n愈大时,在n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的算术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高。【解】（1）误差服从正态分布时2-4.测量某物体重量共8次，测得数据（单位为 g
5、）为，求其算术平均值及其标准差。Xo和残差 Vi等列于表中【解】选参考值 xo 236.00，计算差值 Xi Xi 236.00、或依算术平均值计算公式，n=8，直接求得：X 1 8 x 236.43（g）8 i 12-6测量某电路电流共 5次，测得数据（单位为mA）为， 。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。解：若测27在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量 5次，测得数据（单位为mm为20 . 0015，量值服从正态分布，试以 99%的置信概率确定测量结果。2-11已知某仪器测量的标准差为卩 m。若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测得值为26.2025mm ,试写出测量结果。若重
6、复测量 10次，测得值（单位为 mm）为， 试写出测量结果。若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由中 10次重复测量的测量值，写出上述、的测量结果。解： 单次测量的极限误差以 3 b计算：所以测量结果可表示为：士 （mm）10重复测量10次，计算其算术平均值为:XXii 126.2025(mm)取与相同的置信度，算术平均值的标准差X ,n0.0005 = 1 5810-4 mmJ0lim X 3 x3 1.58 10-4-44.74 10 510-4 mm则测量结果为：X3 x 26.20250.0005(mm)若无该仪器测量的标准差资料，则依10次重复测量数据计算标准差和表示测量结果。选参
7、考值x0 26.202，计算差值 x 人 26.202、 x0和残差vi等列于表中算术平均值的标准差：42.2 10 4x = = 0.00007 mm、.n .10取与相同的置信度，则测量结果为： X； 32=13.8 ”，试求加权算术平均值及其标准差。【解】已知各组测量的标准差，可确定各组的权。取：p1 19044, p2 961选取24 1336，可由公式直接计算加权算术平均值和标准差:加权算术平均值的标准差的计算，先求两测量结果的残余误差：算术平均值的标准差为：1 1 n 1 ,Px : Pi 2 : 2 : n :1x i2-17对某量进行10次测量，测得数据为，试判断该测量列中是否
8、存在系统误差。 解：先计算算术平均值： x 14.96。各测量数据的残余误差分别为：1根据残余误差观察法：计算出的残余误差符号正负个数相同，且无显着变化规律，因此可判断该测 量列无变化的系统误差存在。2采用不同公式计算标准差比较法。nVi用别捷尔斯法计算：i 22 1.253 J-2 1.253 0.264Jn(n 1) V10 910 13（马利科夫准则）按残余误差校核法：前 5个残余误差和与后 5个残余误差的差值为两部分之差显着不为 0,则有理由认为测量列中含有系统误差。4阿卑-赫梅特准则所以测量列中含有周期性系统误差（为什么会得出互为矛盾的结论？问题出在本题给出的数据存在粗大误差 -这就
9、提醒我们在判断是否有系统误差前，应先剔除粗大误差，然后再进行系统误差判断。）2-18、对某一线圈电感测量 10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后 4次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为 mH）：试判断前4次和后6次测量中是否存在系统误差。【解】将两组数据混合排列，用秩和检验法有:所以有根据怀疑存在系统误差2-19等精度测得某一电压 10次，测得结果（单位为 V）为，。测量完毕后，发现 测量装置有接触松动现象，为判明是否因接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新做了 10次等精度测量，测得结果（单位为 V ）为，。试用 t检验法（取a =）判断两组测量值之间是否有系统误
10、差。【解】计算两组测量结果的算术平均值：由v =10+10-2=18及取a =，查t分布表，得t 2.1因t 1.48 t 2.1，故无根据怀疑两组数据间存在线性系统误差。2-20.对某量进行了 12次测量，测得数据为，试用两种方法判断该测量列中是否 存在系统误差。12【解】先计算算术平均值： x x 20.125。各测量数据的残余误差分别为：i 11根据残余误差观察法：计算出的残余误差有规律地递增，在测量开始与结束时误差符号相反，故可判 断该测量列存在线性系统误差。2（马利科夫准则）按残余误差校核法：前 6个残余误差和与后 6个残余误差的差值为两部分之差显着不为 0，则有理由认为测量列中含有
11、线性系统误差。3采用不同公式计算标准差比较法。0.11，故无根据怀疑测量列存在系统误差。4阿卑-赫梅特准则 因为：u n 1 2，所以测量列中含有周期性系统误差（又岀现互为矛盾的结论，如何解释呢？）2-21对某量进行两组测量，测得数据如下：| | | | | | | | | | | | |试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。Xi 解：按照秩和检验法要求，将两组数据混合排列成下表:yiT123456789101112131415XiyiT161718192021222324252627282930XiyiT=1+2+5+6+7+8+9+12+14+15+18+20+25=174因n
12、n2 15 10，秩和T近似服从正态分布， N （吋也一宜卫,Jnin2（ni 岐卫）由 a（ni（ni n2 1）232.5 ；（厂n厂% 24.11 求出：2 12选取概率2 （t） 0.95，即（t） 0.475，查教材附表1有t 1.96。由于t t，因此，可以认为两组数据间有系统误差。选取置信概率99% （显着度），即取 （t） 0.495，由附录表1查得：t 2.60。由于t 2.43 t 2.60，故无根据怀疑两组数据间有系统误差。2-22对某量进行15次测量，测得数据为，若这些测得值已消除系统误差，试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判别该测量列中是否含有粗大误差的测量
13、值。【解】将有关计算数据：平均值、残差 Vi等列于表中：直接求得15个数据的算术平均值及其标准差：用莱以特准则判别粗大误差因V4 0.95 3 0.795，故第4个测量数据含测量误差，应当剔除。再对剩余的14个测得值重新计算，得：由表知第14个测得值的残余误差： v（14） 0.17 3 0.1011，故也含粗大误差，应剔除。再重复验算，剩下的 13个测得值已不包含粗大误差。 用格罗布斯准则判别 已经计算岀15个测量数据的统计特征量： X 28.57, 0.265。将测得的数据按从小到大的顺序排列，有：2-26对某被测量x进行间接测量得：2x 1.44,3x 2.18,4x 2.90，其权分别
14、为5:1:1，试求x的测量结果及其标准差？1.442.18 小 c2.90 小 c【解】20.72,x20.727,x30.725,4选取p1 5, p21, P3 1可由公式直接计算加权算术平均值和标准差：加权算术平均值的标准差的计算，先求残余误差：算术平均值的标准差为：2-28测量圆盘的直径 D （72.003 0.052） mm，按公式计算圆盘面积 S D2 / 4，由于选取 的有效数字位数不同，将对面积 S计算带来系统误差，为保证 S的计算精度与直径测量精度相同，试确定 的有效数字位数？【解】测得 D的平均值为72.003mm D由S ，得：4S的变化量为:当D有微小变化 D、 有 变
15、化时,取4位有效数字a 161.6mm, b 44.5mm,c 11.2mm，已知测量的系0.5mm，测量的极限误差为3-2为求长方体体积V，直接测量其各边长为:统误差为 a 1.2mm, b 0.8mm, ca 0.8mm, b 0.5mm, c 0.5mm，试求立方体的体积及其体积的极限误差。【解】立方体体积： V abc，若不考虑测得值的系统误差，则计算体积为： 体积V的系统误差为：考虑测量系统误差后的立方体体积：又直接测量值存在极限误差，则间接测量体积存在的极限误差为：解：长方体的体积计算公式为:若:若:求所耗功率P UI及其标准差 P。【解】若不考虑测得值的误差，则计算所耗功率为：且
16、u、丨完全线性相关，故 P=1，所以若电压、电流的测量结果相互独立，则所耗功率标准差为2 23-6已知x与y的相关系数 xy 1，试求u x ay的方差 u。【解】属于函数随机误差合成问题。3-12 按公式V= n r2h求圆柱体体积，若已知 r约为2cm，h约为20cm，要使体积的相对误差等于 1%，试问r和h测量时误差应为多少解： 若不考虑测量误差，圆柱体积为根据题意，体积测量的相对误差为 1%，即测定体积的相对误差为：即 V 1% 251.2 1% 2.51现按等作用原则分配误差，可以求岀测定r的误差应为：测定h的误差应为：第四章测量不确定度评定与表示测量不确定度的步骤可归纳为1） 分析
17、测量不确定度的来源，列岀对测量结果影响显着的不确定度分量。2） 评定标注不确定度分量，并给岀其数值 Ui和自由度Vi。3）分析所有不确定度分量的相关性，确定各相关系数 p ij4） 求测量结果的合成标准不确定度，则将合成标准不确定度 Uc及自由度V.5） 若需要给岀展伸不确定度，则将合成标准不确定度 W乘以包含因子k，得展伸不确定度 U=kuc。6） 给岀不确定度的最后报告，以规定的方式报告被测量的估计值 y及合成标准不确定度 Uc 或展伸不确定度U，并说明获得它们的细节。根据以上测量不确定度计算步骤。41某圆球的半径为r，若重复10次测量得r 士 ur = 士 cm，试求该圆球最大截面的圆周
18、和面积及圆球体 积的测量不确定度，置信概率 P=99 %。【解】求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度已知圆球的最大截面的圆周为：D 2 r其标准不确定度应为： U .2L 一 r2 V 2 2 r2 (4 3.141592 0.0052r=0.0314cm确定包含因子。查 t分布表（9）=，及K =故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为:U = Ku = x =求圆球的体积的测量不确定度4圆球体积为：V 43其标准不确定度应为：最后确定的圆球的体积的测量不确定度为U = Ku = x =4-3测量某电路电阻 R两端的电压U，由公式I U r算岀电路电流|。若测得校准一年后，对标称值为 1V的电
19、压进行16次重复测量，得观测值的平均值为，并由此算得单次测量的标准差为，若以平均值作为测量的估计值，试分析影响测量结果不确定度的主要来源，分别求岀不确定度分 量，说明评定方法的类别，求测量结果的合成标准不确定度及其自由度。【解】（1 ）测量误差根据相对标准差为 20%由B类评定，根据112.5, V服从均匀分布， 2（亠）2u且2V量程测量误差6 6（14 10读数 1 10 量程），所以在区间（x-a,x+a ）中一年后，对标称值为 1V的电压进行16次重复测量（2）不确定度评定影响测量结果不确定度的主要来源：A 16次重复测量误差B电压表的示值误差C电压表的稳定度A测量重复误差引起的不确定
20、度电压重复性引起的标准不确定度 ux属于A类评定B标准电压表的示值误差引起的标准不确定度 Ux2示值误差按均匀分布计算，属于 B类评定C稳定度引起的标准不确定度 Ux3电压表稳定度按均匀分布，属 B类评定合成标准不确定度uc .、u厂 ujUx32 , （9一10 6）2一（8.08一10 6）2一（1.15一10 6）2 28.0 10 6 28.0 V 自由4度：c 4 4 28.0 10 6 28.0 Vux1 ux2 ux31 2 34-9用漏电测量仪直接测量正常使用中微波炉的泄漏电流， 5次测量的平均值为，平均值的标准差为；已知漏电测量仪的示值误差范围为 5%,按均匀分布，取相对标准
21、差为 10%;测量时环境温度和湿度的影响范围为 2%,按三角分布，其相对标准差为 25%;试给岀泄漏电流测量的不确定度报告（置信概率为99% ）。【解】（1）不确定度评定对泄漏电流测量不确定度影响显着的因素有:A泄漏电流测量重复性引起的不确定度 u1B示值误差引起的不确定度 u2C环境温度与湿度引起的不确定度 U3求5、氏、U3A测量重复误差引起的不确定度示值误差（均匀分布）：环境温度（三角分布）：（2） 不确定度合成因不确定度各个分量相互独立，即 ij 0，合成的不确定度为：4自由度：c 4 Uc4 4 57.1Ui U2 U31 2 3根据“三分之一准则”，对标准不确定度进行修约得（3）
22、展伸不确定度取置信概率P 99%， =57，查t分布表，得t0.99（57） 2.68，泄漏电流测量的展伸不确定度为根据“三分之一准则”，对展伸不确定度进行修约得（4） 不确定度报告1） 用合成标准不确定度评定泄漏电流，则测量结果为：2） 用展伸不确定度评定泄漏电流，则测量结果为：第五章 最小二乘法原理参数最小二乘法估计矩阵形式的简单推导及回顾：由误差方程TVLAX且要求 V V最小，则：所以：VTV(L AX )T(L AX )理论基础：(LTXTAT)(L AX )LTLLTAX XT ATL XTATAX5-1由测量方程试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。【解】方法一（常规）1、列岀
23、误差方程组分别对x,y求偏导，并令它们的结果为 0即：14x 5y 1345x 14y 4.6由上式可解得结果：x= y=2.直接列表计算给岀正规方程常数项和系数得,13191321-214-232-349-6-1414-5-可得正规方程将x,y的结果代入分别求得:0.00146由题已知，n 3, t 2得 由不定乘数的方程组解得 d11 0.0819 d22 0.0819方法二（按矩阵形式计算）：由误差方程 上式可以表示为V1l131xV2l212即c yV3l 323可得：XxC 1atlT 1 T(ata)1atly式中：所以：x0.9626即解得，y0.0152将最佳估计值代入误差方程
24、可得,将计算得到的数据代入式中1dj是矩阵C中各元素，即为求岀估计量x,y的标准差，首先求岀不定常数 dij （i, j 1,2）由已知，不定常数 dij的系数与正规方程的系数相同，因而则可得估计量的标准差为5-5测力计示值与测量时的温度 t的对应值独立测得如下表所示。151821242730设t无误差，F值随t的变化呈线性关系 f k。 kt，试给岀线性方程中系数 ko和k的最小二乘估计及其 相应精度。解法一：利用矩阵求解，误差方程 V L AX可写成即可得 X ko C 1AtL (AtA) 1atlk式中所以将最佳估计值代入误差方程 V L AX,得为求岀估计量ko, k的标准差，需要求
25、岀不定乘数 dj的系数，而不定乘数 dj的系数与正规方程的系数相同，因而dj是矩阵C 1中各元素，即则可得估计量的标准差为解法二：，由 V Fi (k0 kti)得正规方程组：135k 262.15正规方程为：135k0 3195k 5900.19解得：k0 43.4324k 0.01152:/ d11解得：d11 3.38095K)0.00647 3.380950.00119d22 0.00635k1炖d220.00647 0.006350.0005165 -7不等精度测量的方程组如下:x 3y 5.6,R 14x y 8.1,F2 2 ，;2x 3y 0.5,P3 3试求x,y的最小二乘法
26、处理及其相应精度。 解法一：利用矩阵计算由另得145 114 114 11 141 456291 45将最佳估计值代入误差方程AX，得可计算又知可得估计量的标准差为 解法二：正规方程为3Pa：i 13Ra；i 1451445xy14y62.2解得:dud225- 10解:3Rai1&2i 13Rai/i31.531.5解得0.02230.07153Rai1hi 11.4352.35262.2代入正规方程得:将下面的非线性误差方程组化成线性的形式，并给岀未知参数X1, X2的二乘法处理及其相应精度。1.由前面三个线性的误差方程 V LAX可解得xb X2的近似估计值X20利用矩阵形式求解:可得X
27、人X2=C 1atlT 1 T（ata）1atl式中所以2.取 X1,X2得近似值x10=5.0700,X20= 8.200，令可将误差方程线性化，现分别对测量方程求偏导则误差方程化成线性方程组 V L A &可得1 = C 1ATL （ata）1atl式中所以解得:0.01640.0100x1 x10 -1=5.0700 0.01645.0536X2 X20 2=8.2000 0.0100=8.1900将为，X2的最佳估计值代入误差方程计算可得,可得则 * 6272d22 0.6658再由 C- 0.6272 0.32760.3276 0.6658可得估计量的标准差为,解法二：设x10=5.13,x20=8.26，则X1X25.13 1
